1、 中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析1中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析【例 1】 （山西省中考第 26 题）如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y2134yx轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为 (m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1 ）求点 A、B、C 的坐标；（2 ）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行
2、四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；（3 ）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（2 ）题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQDC 列方程2第（2 ）题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3 ）题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1 ）由 ，得 A(2,0)，B(8,0) ，C (0,4) 2314(2)8yxx（2 ）
3、直线 DB 的解析式为 y由点 P 的坐标为 (m, 0)，可得 ， (,4)2Mm213(,4)Qm所以 MQ 2134) 82当 MQDC8 时，四边形 CQMD 是平行四边形解方程 ，得 m4，或 m0 （舍去） 8中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析2此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,2)，Q(4, 6)所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分所以四边形 CQBM 是平行四边形图 2 图 3（3 ）存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0) ，(6,4) 考点伸展第（3）题可以这样解：设点 Q 的坐标为 1(,2)(84x如图 3，当D
4、BQ 90时， 所以 GBHD)(12x解得 x6此时 Q(6,4)如图 4，当BDQ 90时， 所以 2B14()8x解得 x2此时 Q(2,0)图 3 图 4【例 2】 （广州市中考第 24 题）中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析3如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y2384yx轴交于点 C（1 ）求点 A、B 的坐标；（2 ）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3 ）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直
5、角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1 思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB 90的点 M 有 2 个；当直线 l与圆相切时，符合AMB90 的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1 ）由 ，23(4)2848yxx得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1（2 ） ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线
6、的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H由 BD/AC，得DBGCAO所以 34COBA所以 ，点 D 的坐标为 394G9(1,)因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG而 DHDH，所以 DG3DG 所以 D的坐标为 27427(1,)4中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析4图 2 图 3（3 ）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2 个点M以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了联结
7、GM，那么 GMl 在 Rt EGM 中，GM3 ，GE 5，所以 EM4 在 Rt EM1A 中，AE8， ，所以 M1A6113tanMEA所以点 M1 的坐标为(4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为 yx根据对称性，直线 l 还可以是 34yx考点伸展第（3）题中的直线 l 恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式在 Rt EGM 中，GM3 ，GE 5，所以 EM4 在 Rt ECO 中， CO3，EO4 ，所以 CE5 因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线 CM 过点 C中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析5【例 3】 （杭州市中考第
8、22 题）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x 2x1)的图象交于点 A(1,k)和点B(1, k)（1 ）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2 ）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3 ）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k的值思路点拨1由点 A(1,k)或点 B(1,k) 的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 题目kyx中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B(1,k) 的坐标还可以知道，A 、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O3根据
9、直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1 ）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 kyx当 k 2 时，反比例函数的解析式是 2yx（2 ）在反比例函数 中，如果 y 随 x 增大而增大，kyx那么 k 0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大抛物线 yk (x2x1) 的对称轴是直215()4kk线 图 11所以当 k0 且 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大2x（3 ）抛物线的顶点 Q 的坐标是 ，A、B 关于原点 O 中心对称，15(,)4k当 OQ OAO
10、B 时，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析6由 OQ2OA 2，得 22215()14k解得 （如图 2） ， （如图 3） 13k图 2 图 3考点伸展如图 4，已知经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线 （k 0 ）交于 A、Byx和 C、D ，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形问平行四边形 ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5，当 A、C 关于直线 y x 对称时，AB 与 CD 互相平分且相等，四边形 ABCD 是矩形因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上
11、，所以 OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形图 4 图 5中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析7【例 4】 （浙江省中考第 23 题）设直线 l1：yk 1xb 1 与 l2： yk 2xb 2，若 l1l 2，垂足为 H，则称直线 l1 与 l2 是点 H的直角线（1 ）已知直线 ； ； ； 和点24yxC(0， 2)，则直线_ 和_ 是点 C 的直角线（填序号即可） ；（2 ）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点A(3， 0)、B (2，7) 、C(0 ，7)，P 为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P
12、 两点的直线为 l2，若 l1 与 l2 是点 P 的直角线，求直线 l1 与 l2 的解析式 图 1答案（1 ）直线和是点 C 的直角线（2 ）当APB90 时，BCPPOA 那么 ，即 解得BCPOA273POP 6 或 OP 1如图 2，当 OP6 时，l 1： ， l2：y2x6 y如图 3，当 OP1 时，l 1：y 3x1 ， l2： 13图 2 图 3中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析8【例 5】 （北京市中考第 24 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴的交点221534myxm分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1 ）
13、求点 B 的坐标；（2 ）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB
14、 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得FMQF ，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点M、 N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 1思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t 的方程就可以求解了满分解答中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形
15、问题 】精品解析9(1) 因为抛物线 经过原点，所221534myxm以 解得 ， （舍去） 因此 所以点 B 的230m12154yx坐标为（2 ，4 ） (2) 如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC 2t，点 C 的坐标为(3t, 2t)当点 C 落在抛物线上时， 解得 252(3)t9OP如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合此时 3t10解得 03t如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQ PE此时 解得 2tt如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形
16、，PQ PD此时 解得 104t107t图 1 图 2 图 3考点伸展在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切， 103t如图 6，当两圆外切时， 2t中考压轴题之 【因动点产生的直角三角形问题 】精品解析10图 4 图 5 图 6【例 6】 （嘉兴市中考第 24 题）如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A， B以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC ，设xAB（1 ）求 x 的取值范围；（2 ）若ABC 为直角三
17、角形，求 x 的值；（3 ）探究：ABC 的最大面积？图 1思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2 的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三角形内部和外部两种情况满分解答（1 ）在ABC 中， ， ， ，所以 解1ACxBxC3.31,x得 2x（2 ） 若 AC 为斜边，则 ，即 ，此方程无实根22)(x04x若 AB 为斜边，则 ，解得 ，满足 1)3(2x3521若 BC 为斜边，则 ，解得 ，满足 2xx因此当 或 时，ABC 是直角三角形35x4（3 ）在ABC 中，作 于 D，设 ，ABC 的面积为 S，则 ABChCxh21
