1、一元二次方程及其应用一、选择题1. （ 2014广东，第 8 题 3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ）A B C D考点： 根的判别式专题： 计算题分析： 先根据判别式的意义得到=（3） 24m0，然后解不等式即可解答： 解：根据题意得=（3） 24m0，解得 m 故选 B点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根2. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 9 题 3 分）x 1，x 2 是关于 x
2、 的一元二次方程x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成立？则正确的是结论是（ ）A m=0 时成立 B m=2 时成立 C m=0 或 2 时成立 D不存在考点： 根与系数的关系分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x2=m，x 1x2=m2假设存在实数 m 使+ =0 成立，则 =0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可解答： 解：x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，x 1+x2=m，x 1x2=m2假设存在实数 m 使 + =0 成立，则 =0， =0，m=0 当 m=0 时，方程 x2mx +m2=0
3、即为 x22=0 ，此时=8 0，m=0 符合题意故选 A点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果 x1，x 2 是方程 x2+px+q=0 的两根时，那么 x1+x2=p，x 1x2=q3(2014 年天津市，第 10 题 3 分) 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）A x（x+1）=28 B x（x 1）=28 C x（x +1）=28 D x（x1）=28考点： 由实际问题抽象出一元二次方程分析： 关系式为：球队总数每支球队需赛的场
4、数2=47，把相关数值代入即可解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为： x（x 1）=47 故选 B点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 24 （2014 年云南省，第 5 题 3 分）一元二次方程 x2x2=0 的解是（ ）A x1=1，x 2=2 B x1=1，x 2=2 C x1=1，x 2=2D x1=1，x 2=2考点： 解一元二次方程 因式分解法分析： 直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答： 解：x 2x
5、2=0（x2） （x+1） =0，解得：x 1=1，x 2=2故选：D点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键5 （2014 四川自贡，第 5 题 4 分）一元二次方程 x24x+5=0 的根的情况是（ ）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C 只有一个实数根 D没有实数根考点： 根的判别式分析： 把 a=1，b=4，c=5 代入=b 24ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况解答： 解：a=1，b=4，c=5 ，=b 24ac=（4） 2415=40，所以原方程没有实数根故选：D点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b
6、，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根6.（2014云南昆明，第 3 题 3 分）已知 、 是一元二次方程 的两个根，1x2 0142x则 等于（ ）21xA. B. C. 1 D. 44考点： 一元二次方程根与系数的关系.分析： 根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答解答： 解：由题可知： ，1,4,cba12acx故选 C点评： 本题考查一元二次方程 根与系数的关系)0(2x7.（2014云南昆明，第 6 题 3 分）某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果产量为144 吨，求该果园
7、水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为 ，则根x据题意可列方程为（ ）A. B. 10)(142x 14)(102xC. D. 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程分析： 果园从 2011 年到 2013 年水果产量问题，是典型的二次增长问题解答： 解：设该果园水果产量的年平均增长率为 ，由题意有x，14)(102x故选 D点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做本题的关键8 （2014 浙江宁波，第 9 题 4 分）已知命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，当 b0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）Ab=1
8、 Bb=2 Cb=2 Db=0考点： 命题与定理；根的判别式专题： 常规题型分析： 先根据判别式得到=b 24，在满足 b0 的前提下，取 b=1得到0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例解答： 解：=b 24，由于当 b=1 时，满足 b0，而0，方程没有实数解，所以当 b=1 时，可说明这个命题是假命题故选 A点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了根
9、的判别式9. （2014 益阳，第 5 题，4 分）一元二次方程 x22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（ ）A m1 B m=1 C m1 Dm1考点： 根的判别式分析： 根据根的判别式，令0，建立关于 m 的不等式，解答即可解答： 解：方程 x22x +m=0 总有实数根，0，即 44m0，4m4，m1故选 D点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10 （2014 呼和浩特，第 10 题 3 分）已知函数 y= 的图象在第一象限的一支曲线上有一点 A（a，c）
10、 ，点 B（b，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x 2 判断正确的是（ ）A x1+x21，x 1x20 B x1+x20，x 1x20C 0x 1+x21， x1x20 Dx1+x2 与 x1x2 的符号都不确定考点： 根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征分析： 根据点 A（a，c ）在第一象限的一支曲线上，得出 a0，c0，再点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出 b0，c1，再根据 x1x2= ，x 1+x2= ，即可得出答案解答： 解：点 A（a，c ）在第一象限的一支曲线上，a0，c0，点 B（b，c+1）
11、在该函数图象的另外一支上，b0，c+10，c1，x 1x2= 0，0x 1+x21，故选 C点评： 本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2= ，x 1x2= 11.（2014 菏泽，第 6 题 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，则 ab 的值为（ ）A1 B1 C0 D2考点： 一元二次方程的解分析： 由于关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，那么代入方程中即可得到 b2
12、ab+b=0，再将方程两边同时除以 b 即可求解解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，b2ab+b=0，b0，b0，方程两边同时除以 b，得 ba+1=0，ab=1故选 A点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题12 （2014 年山东泰安，第 13 题 3 分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（ ）A （3+x） （40.
13、5x ）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15C （x+4） （30.5x ）=15 D （x +1） （40.5x）=15分析：根据已知假设每盆花苗增加 x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（40.5x）元，由题意得（ x+3） （40.5x ）=15 即可解：设每盆应该多植 x 株，由题意得（3+x） （40.5x ）=15，故选 A点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键二.填空题1. （ 2014广西贺州，第 16 题 3 分）已知关于 x 的方程 x2+（1m）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整
14、数值是 0 考点： 根的判别式专题： 计算题分析： 根据判别式的意义得到=（1m） 24 0，然后解不等式得到 m 的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可解答： 解：根据题意得=（1m） 24 0，解得 m，所以 m 的最大整数值为 0故答案为 0点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根2 （2014 舟山，第 11 题 4 分）方程 x23x=0 的根为 考点： 解一元二次方程 因式分解法分析： 根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分
15、解，然后解得原方程的解解答： 解：因式分解得，x（x 3）=0，解得，x 1=0，x 2=3点评： 本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用3. （2014 扬州，第 17 题，3 分）已知 a，b 是方程 x2x3=0 的两个根，则代数式2a3+b2+3a211ab+5 的值为 23 考点： 因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系专题： 计算题分析： 根据一元二次方程解的定义得到 a2a3=0，b 2b3=0，即 a2=a+3，b 2=b+3，
16、则2a3+b2+3a211ab+5=2 a（a+3）+ b+3+3（a+3 ）11a b+5，整理得2a22a+17，然后再把 a2=a+3 代入后合并即可解答： 解：a，b 是方程 x2x 3=0 的两个根，a 2a3=0，b 2b3=0 ，即 a2=a+3，b 2=b+3，2a 3+b2+3a211ab+5=2 a（a+3）+ b+3+3（a+3 ）11 ab+5=2a22a+17=2（a+3）2a+17=2a+62a+17=23故答案为 23点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题也考查了一元二次方程解的定义4.（20
17、14 呼和浩特，第 15 题 3 分）已知 m，n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，则m2mn+3m+ n= 8 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解专题： 常规题型分析： 根据 m+n= =2，mn=5，直接求出 m、n 即可解题解答： 解：m、n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，且一元二次方程的求根公式是解得：m= 1，n= 1 或者 m=1 ，n= 1，将 m= 1、 n=1 代入 m2mn +3m+n=8；将 m= 1 、n= 1 代入 m2mn +3m+n=8；故答案为：8点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和 n 的值是解决问题的
18、关键5.（2014 德州，第 16 题 4 分）方程 x2+2kx+k22k+1=0 的两个实数根 x1，x 2 满足x12+x22=4，则 k 的值为 1 考点： 根与系数的关系分析： 由 x12+x22=x12+2x1x2+x222x 1x2=（x 1+x2） 22x 1x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于 k 的方程，从而求得 k 的值解答： 解；x 12+x22=4，即 x12+x22=x12+2x1x2+x222x 1x2=（x 1+x2） 22x 1x2=4，又x 1+x2=2k ，x 1x2=k22 k+1，代入上式有 4k24（k 22k +1）=4 ，解得 k=1故答案为：1点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 6 （2014 济宁，第 13 题 3 分）若一元二次方程 ax2=b（ab0）的两个根分别是 m+1 与2m4，则 = 4 考点： 解一元二次方程 直接开平方法专题： 计算题分析： 利用直接开平方法得到 x= ，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m4=0，解得 m=1，则方程的两个根分别是 2 与2，则有 =2，然后两边平方得到 =4
