1、- 1 -教学设计整体设计教学分析 对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过向量知识给予证明的一是进一步加深学生对向量工具性的认识，二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处，感受向量法在解决问题中的威力课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言叙述出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角由上可知，余弦定理是勾股定理的推广还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解
2、题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的应用余弦定理及其另一种形式，并结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理用余弦定理的另一种形式，可以(根据角的余弦值 )直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小根据教材特点，本内容安排 2 课时一节重在余弦定理的推导及简单应用，一节重在解三角形中两个
3、定理的综合应用三维目标 1通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形2通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美3加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体
4、数学- 2 -知识的理解和掌握重点难点 教学重点：掌握余弦定理；理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形教学难点：余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形课时安排 2 课时教学过程第 1 课时导入新课 思路 1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受思路 2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角
5、关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？推进新课 Error!Error!1通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？2能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？3余弦定理的内容是什么？
6、你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？- 3 -4余弦定理的另一种表达形式是什么？5余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？6正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点， 结合课件“余弦定理猜想与 验证” ，教 师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及 夹角来表示第三边呢？下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题如下图，在ABC 中，设 BCa， ACb，ABc， 试根据 b、
7、c、A 来表示 a. 教师引导学生进行探究由于初中平面几何所接触的是解直角三角形 问题，所以 应添加辅助线构成直角三角形在直角三角形内通过边角关系作进 一步的转化工作，故作 CD 垂直于AB 于点 D，那么在 RtBDC 中，边 a 可利用勾股定理通 过 CD、DB 表示，而 CD 可在 RtADC 中利用边角关系表示，DB 可利用 AB，AD 表示，进而在 RtADC 内求解探究 过程如下：过点 C 作 CD AB，垂足为点 D，则在 RtCDB 中，根据勾股定理，得a2CD 2BD 2.在 RtADC 中， CD2b 2AD 2，又BD 2(c AD) 2c 22cADAD 2，a 2b
8、2AD 2c 22cAD AD2b 2c 22cAD.又在 RtADC 中， ADbcosA，a 2b 2c 22bccosA.类似地可以证明 b2c 2a 22cacosB.c2a 2b 22abcosC.另外，当 A 为钝角时也可证得上述结论，当 A 为直角时，a 2b 2c 2 也符合上述结论这就是解三角形中的另一个重要定理余弦定理下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知 识的工具性作用教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容- 4 -易想到向量的数量积的定义式：ab|a|b|cos，其中 为 a，b 的夹角用向量法探究余弦
9、定理的具体过程如下：如下图，设 a， b， c ，那么 cab，CB CA AB |c|2cc(ab)(ab)aab b2a ba 2b 22abcosC.所以 c2a 2b 22abcosC.同理可以证明 a2b 2c 22bccosA，b2c 2a 22cacosB.这个定理用坐标法证明也比较容易， 为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如下图，以 C 为原点，边 CB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 设点 B 的坐标为(a,0)，点 A 的坐标为(bcosC，bsinC)，根据两点 间距离公式 AB ，bcosC a2 bsinC 02c 2b 2cos2C
10、2abcosC a 2 b2sin2C，整理，得 c2a 2b 22abcosC.同理可以证明：a 2b 2c 22bccosA，b2c 2a 22cacosB.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2 b2 c2 2bccosAb2 c2 a2 2accosBc2 a2 b2 2abcosC- 5 -余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三 角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式：cosA b2 c
11、2 a22bccosB c2 a2 b22cacosC a2 b2 c22ab教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的 结构特征， 发现 余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之 间的关系学生容易看出，若ABC中，C 90，则 cosC0，这时余弦定理变为 c2a 2b 2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广；勾股定理是余弦定理的特例另外，从余弦定理和余弦函 数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和 等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 钝角；如果两边的平方和大于第三 边的平方，那么第三 边所
12、对的角是锐角从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：已知三角形的三边解三角形， 这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；已知两边和它们的夹角解三角形， 这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一不会产生利用正弦定理解三角形所 产生的判断解的取舍的 问题把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的 问题教 师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理
13、的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择 用正弦定理去计算比较小的 边所对的角教 师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧讨论结果：(1)、(2)、(3)、 (6)见活动(4)余弦定理的另一种表达形式是：- 6 -cosA b2 c2 a22bccosB c2 a2 b22cacosC a2 b2 c22ab(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角Error!例 1 如图，在ABC 中，已知 a5，b4，C120 ，求 c. 活
14、动：本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可 让学生独立完成解：由余弦定理，得c2a 2b 22abcos120 ，因此 c .52 42 254 12 61例 2 如图，在ABC 中，已知 a3，b2，c ，求此三角形各个角的大小及其面19积( 精确到 0.1) 活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出最大 边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角教材中 这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理实际教学时可让学生自己探求解 题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角， 这些教 师都要给予鼓励，然后让学生自己比较
15、这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的内涵解：由余弦定理，得cosBCA ，a2 b2 c22ab 32 22 192232 9 4 1912 12因此BCA120，- 7 -再由正弦定理，得sinA 0.596 0，asin BCAc 33219 33219因此A36.6或A143.4(不合题意，舍去)因此B180 ABCA23.4.设 BC 边上的高为 AD，则ADcsinB sin23.41.73.19所以ABC 的面积 31.732.6.12点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异当所求的 角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直
16、接判定变式训练在ABC 中，已知 a14，b20，c12，求 A、B 和 C.(精确到 1)解：cosA 0.725 0，b2 c2 a22bc 202 122 14222012A44.cosC 0.807 1，a2 b2 c22ab 142 202 12221420 113140C36.B180(AC)180 (4436)100.例 3 如图，ABC 的顶点为 A(6,5)，B(2,8)和 C(4,1)，求A.(精确到 0.1) 活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点 拨 学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出 A.可由学生自己解决，教师给予适当的指导解：根据两点间
17、距离公式，得- 8 -AB ，6 22 5 82 73BC ， 2 42 8 12 85AC 2 .6 42 5 12 5在ABC 中，由余弦定理，得cosA 0.104 7，AB2 AC2 BC22ABAC 2365因此A84.0.点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数 值 变式训练用向量的数量积运算重做本例解：如例 3 题图， (8,3)， (2，4) ，AB AC | | ，| | .AB 73 AC 20cosA AB AC |AB |AC | 8 2 3 47320 0.104 7.2365因此A84.0.例 4 在ABC 中，已知 a8，b7，B60 ，求 c 及 SAB
18、C .活动：根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A，再结合三角形内角和定理求出角 C，再利用正弦定理求出边 c，而三角形面积由公式 SABC acsinB 可以求出若用余弦定理求 c，12可利用余弦定理 b2c 2a 2 2cacosB 建立关于 c 的方程，亦能达到求 c 的目的解法一：由正弦定理，得 ，8sinA 7sin60A 181.8 ，A 298.2.- 9 -C 138.2， C221.8.由 ，得 c13，c 25，7sin60 csinCS ABC ac1sinB6 或 SABC ac2sinB10 .12 3 12 3解法二：由余弦定理，得 b2c 2a 22cacosB，
19、7 2c 28 228ccos60.整理，得 c28c150，解之，得 c13，c 25.S ABC ac1sinB6 或 SABC ac2sinB10 .12 3 12 3点评：在解法一的思路里，应 注意用正弦定理应有两种结 果，避免 遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作 为公式而直接应用的另外用 处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二 应引起学生的注意综合上述例题，要求学生总结 余弦定理在求解三角形时的适用范 围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时 注意余弦定理在求角时的优势 以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之
20、变式训练在ABC 中，内角 A，B ，C 对边的边长分别是 a，b，c.已知 c2，C60.(1)若ABC 的面积等于 ，求 a，b；3(2)若 sinB2sinA，求ABC 的面积解：(1)由余弦定理及已知条件，得 a2b 22abcos60c 2，即 a2b 2ab4，又因为ABC 的面积等于 ，所以 absinC ，ab4.312 3联立方程组Error!解得 a2，b2.(2)由正弦定理及已知条件，得 b2a，联立方程组Error!解得 a ，b .233 433所以ABC 的面积 S absinC .12 233Error!1在ABC 中，已知 C120，两边 a 与 b 是方程 x
21、23x20 的两根，则 c 的值- 10 -为( )A. B7 C3 D.3 72已知三角形的三边长分别为 x2x1，x 21,2x1(x1) ，求三角形的最大角答案：1D 解析：由题意，知 ab3，ab2.在ABC 中，由余弦定理，知c2a 2b 22abcosC a 2b 2ab(ab) 2ab7，c .72解：比较得知，x 2x1 为三角形的最大边，设其对角为 A.由余弦定理，得cosAx2 12 2x 12 x2 x 122x2 12x 1 .120A180，A120 ，即三角形的最大角为 120.Error!1教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题2教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的3思考本节学到的探究方法，定性发现定量探讨得到定理Error!课本习题 11A 组 4、5、6；习题 11B 组 15.设计感想
