1、 1一、本章知识结构：二、高考要求1 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前 n 项.2 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前 n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳猜想证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的 10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能
2、要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用
3、非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如 a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52 ，从而有 a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5 ）2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： 借助特殊数列. 灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练 数列问题对能力要求较高，特别是运算能力
4、、归纳等差数列的性质通项及前 n 项和正 整 数 集 数 列 的 概 念等 差 数 列等 比 数 列 等比数列的性质有 关 应 用2猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。6这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1 对基础
5、知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前 n 项和.2 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前 n 项和的求和方法.4 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.5 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。五、典型例题数列的概念与性质【例 1】 已知由正数
6、组成的等比数列 ，若前 项之和等于它前 项中na2n2的偶数项之和的 11 倍，第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍，求数列的通项公式.na解：q=1 时 ，12naS1naS偶 数 项又 显然 ，q1 01a1 222 )()(aSSnnn 偶 数 项依题意 ；解之2121)()(qqann 10q又 ，4122143),(a依题意 ，将 代入得 qqa010annn210)(0【例 2】 等差数列a n 中， =30， =15，求使 an0 的最小自然123a33数 n。解：设公差为 d，则 或 或 或3012da3012da3012da3012da解得： a
7、33 = 30 与已知矛盾 或 a33 = - 15 与已知矛盾213d或 a33 = 15 或 a33 = - 30 与已知矛盾213d031da n = 31+(n - 1) ( ) 31 0 n63 2满足条件的最小自然数为 63。【例 3】 设等差数列a 的前 n 项和为 S ，已知 S4=44,S7=35n（1）求数列a 的通项公式与前 n 项和公式；n（2）求数列 的前 n 项和 Tn。|a解：（1）设数列的公差为 d，由已知 S4=44,S7=35 可得 a1=17,d=-4a =-4n+21 (nN),S =-2n +19 (nN).2（2）由 a =-4n+210 得 n ,
8、 故当 n5 时，a 0, 当 n6 时，41n0na当 n5 时,T =S =-2n +19n 当 n6 时,T =2S5-S =2n -19n+90.2 2【例 4】 已知等差数列 的第 2 项是 8，前 10 项和是 185，从数列 中a na依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，第 项，依次排列一个新数列 ，求数n b列 的通项公式 及前 n 项和公式 。nbbSn解：由 得 185290102daS31da 3)(5)(1ndnan 22nnb61212 bbS4【例 5】 已知数列 ：an ， 10210321求证数列 为等差数列，并求它的公差an设 ，求 的和。Nbn1 n
9、bb21解：由条件，2121 nna ；21na 21 n故 为等差数列，公差nd 21442121nnb又知 n 214b 214 214321nnn 2lim21 bbn【例 6】 已知数列 1，1，2它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前 n 项和 Sn；解：(1)记数列 1，1，2为A n，其中等比数列为a n，公比为 q；等差数列为b n，公差为 d，则 An =an +bn (nN）依题意，b 1 =0，A 1 =a1 +b1 =a1 =1 A =a +b =a q+b +d=1 221A =a +b =a q2 +b +2d=2 33由
10、得 d=-1, q=2, nban1,2 2)1( )()(1(22n bASn n【例 7】 已知数列 满足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通项 an,并加以证n5明。解法 1：由 an+Sn=n,当 n=1 时，a 1=S1，a 1+a1=1，得 a1= 2当 n=2 时，a 1+a2=S2，由 a2+S2=2，得 a1+2a2=2， a2= 34当 n=3 时，a 1+a2+a3=S3，由 a3+S3=3，得 a1+a2+2a3=3a3= 87猜想， (1)下面用数学归纳法证明猜想成立。nn当 n=1 时,a 1=1- ,(1)式成立2假设,当 n=k 时,(1)
11、式成立,即 ak=1- 成立，21则当 n=k+1 时,a k+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+12ak+1=k+1-Sk 又 ak=k+Sk2ak+1=1+ak ak+1= 12)1(2)1( kk即当 n=k+1 时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数 n, 都成立。n解法 2：由 an+Sn=n 得 ，两式相减得： ，11S 11nnSa即 ，即 ，下略1na2a【例 8】 设数列 是首项为 1 的等差数列，数列 是首项为 1 的等比数nanb列，又。(1)求数列 的通项公式与前 n 项和公式；5479261)(32ccNnbacn ， 且 nc(2)当 时，试判断 cn的
12、符号（大于零或小于零），并给予严格证明。5解：(1) 设数列 的公比为 qnbda，的 公 差 为 11)1()( n qnda， )(Nbc 6由条件得 547313219261qddqd )()341(2)(2 11Nnnncn 34)1 10nS )(3)(413)(2)(1Nnnn(2) 050)(270)(565 nccc ，猜 想，证明：当 n=5，c 50 且 b 1。(1)求数列 的通项 an；(2)若对)2lg()1(lg1nbnS n4 ，试求 b 的取值范围。aN1时 ， 恒 有解：(1)由已知条件得 12nnS当 n=1 时， 1121 23)( nnbSaba时 ，；
13、 当故 )(3)(12nbnn(2)由 )4(0)31)(nba， 化 简 得为 所 求或故 或解 得 ， 31023211bnnb【例 11】 两个数列 、 中， 成等差anb120nnnabba， 且，数列，且 成等比数列。(1)证明 是等差数列；(2) 若ban21, n8的值。nnabba， 求 2112lim3解：(1) )0(12121 nnnn babb，是等差数列nnb12(2)又 ，2332112 baa，又 21bb 2)1(24limlim)1(222,1 nabbnndnnnn公 差数列的概念与性质练习一、选择题1设 （ D ） 则,13212nnnsA 3s时 ，项
14、， 当共 有B 4121nns时 ，项 ， 当共 有C 32s时 ，项 ， 当共 有D 4121nns时 ，项 ， 当共 有2等比数列 中， ，那么a 5681098765432 aaaa，的值为（ C ）1541321A B C D75663248311等比数列 a 中，a =7，前三项之和 S =21，则公比 q 的值是( C )n33（） 1 （） - （） 1 或 - （） -1 或2212194首项为 1，公差不为零的等差数列中的 是一个等比数列的前 3 项，则这一a346， ，等比数列的第四项为（ B ）A8 B8 C 6 D不确定5已知数列 的前 n 项和 ，那么这个数列中的奇数
15、项依照原来的顺序构asn23成的数列的通项公式是（ B ）A BNnbn98 Nnbn18C D 54 346数列a n的前 n 项和 Sn=3n-2n2 (nN)，当 n2 时，就有（ D ）AS nna1nan BS n nanna1 Cna 1Snnan D nanSnna17有下列命题：x= 是 a, x, b 成等比数列的充分但不必要条件)0(b某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列已知 Sn表示数列a n的前 n 项和，且 S ，那么a n一定是等比数列nnN1()设 ，则这三个数 a, b, c 成等差数列251245bc， ，其中正确的命题序号是：（ D ）A
16、B C D 8若两个等差数列 的前 n 项和 (nN)，则 的值等于（ nba、 2741BAn满 足和 1baC ）A B C D472347189在等差数列 中，3(a 3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列前 13 项之和为（ A ）nA26 B13 C52 D 15610等差数列 ， =5，它的前 11 项的算术平均值为 5。若从中抽去一项，余下 10n1项的算术平均值为 4，则抽去的是（ D ）A B C D8a910a1二、填空题101已知数列 的前 n 项和的公式为 ，则通项公式为 。a132nSn2541na2数列a 的通项公式为 前 n 项和为 S ，若n )32(1nan1limnaS(a 为实常数)，则 a 的值等于 。3三、解答题1 ,log),(2 2nnnn abRPSa .是 等 比 数 列若（1） （2）;P ;)1(lim21nab（3） 22431 nnn bbT 解：（1） )(211Sann,qann 得 公 比由是 等 比 数 列 1),(2 .1,2,1PNnaPSaq （2） 12log,log2nbabnn ,2)1()(31,22 nnnQa24得 2)(1)(2)1(223nnn nQ.12)(lim)1(lim1 nnnnbaba
