1、1初 中 数 学 辅 助 线 的 添 加 浅 谈人 们 从 来 就 是 用 自 己 的 聪 明 才 智 创 造 条 件 解 决 问 题 的 ， 当 问 题 的 条 件 不够 时 ， 添 加 辅 助 线 构 成 新 图 形 ， 形 成 新 关 系 ， 使 分 散 的 条 件 集 中 ， 建 立 已 知与 未 知 的 桥 梁 ， 把 问 题 转 化 为 自 己 能 解 决 的 问 题 ， 这 是 解 决 问 题 常 用 的 策 略 。一 添辅助线有二种情况： 1 按定义添辅助线： 如 证 明 二 直 线 垂 直 可 延 长 使 它 们 ,相 交 后 证 交 角 为 90； 证 线 段 倍 半 关系
2、 可 倍 线 段 取 中 点 或 半 线 段 加 倍 ； 证 角 的 倍 半 关 系 也 可 类 似 添 辅 助 线 。2 按基本图形添辅助线： 每 个 几 何 定 理 都 有 与 它 相 对 应 的 几 何 图 形 ， 我 们 把 它 叫 做 基 本 图 形 ，添 辅 助 线 往 往 是 具 有 基 本 图 形 的 性 质 而 基 本 图 形 不 完 整 时 补 完 整 基 本 图 形 ，因 此 “添 线 ”应 该 叫 做 “补 图 ”！ 这 样 可 防 止 乱 添 线 ， 添 辅 助 线 也 有 规 律 可循 。 举 例 如 下 ： （1）平行线是个基本图形： 当 几 何 中 出 现 平
3、行 线 时 添 辅 助 线 的 关 键 是 添 与 二 条 平 行 线 都 相 交 的 等 第三 条 直 线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当 几 何 问 题 中 出 现 一 点 发 出 的 二 条 相 等 线 段 时 往 往 要 补 完 整 等 腰 三 角 形 。出 现 角 平 分 线 与 平 行 线 组 合 时 可 延 长 平 行 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出 现 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点 添 底 边 上 的 中 线 ； 出 现 角 平 分 线 与 垂 线 组合 时 可 延 长 垂
4、 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 2出 现 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 点 往 往 添 斜 边 上 的 中 线 。 出 现 线 段 倍 半 关 系且 倍 线 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 边 则 要 添 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 得 直 角 三 角 形斜 边 上 中 线 基 本 图 形 。 （5）三角形中位线基本图形 几 何 问 题 中 出 现 多 个 中 点 时 往 往 添 加 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 进 行 证 明 当有 中 点 没 有 中
5、位 线 时 则 添 中 位 线 ， 当 有 中 位 线 三 角 形 不 完 整 时 则 需 补 完 整 三角 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 倍 线 段 有 公 共 端 点 的 线 段 带 一 个 中 点 则 可 过这 中 点 添 倍 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且与 半 线 段 的 端 点 是 某 线 段 的 中 点 ， 则 可 过 带 中 点 线 段 的 端 点 添 半 线 段 的 平 行线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 。 （6）全等三角形： 全 等 三 角 形 有 轴 对
6、称 形 ， 中 心 对 称 形 ， 旋 转 形 与 平 移 形 等 ； 如 果 出 现 两条 相 等 线 段 或 两 个 档 相 等 角 关 于 某 一 直 线 成 轴 对 称 就 可 以 添 加 轴 对 称 形 全 等三 角 形 ： 或 添 对 称 轴 ， 或 将 三 角 形 沿 对 称 轴 翻 转 。 当 几 何 问 题 中 出 现 一 组 或两 组 相 等 线 段 位 于 一 组 对 顶 角 两 边 且 成 一 直 线 时 可 添 加 中 心 对 称 形 全 等 三 角形 加 以 证 明 ， 添 加 方 法 是 将 四 个 端 点 两 两 连 结 或 过 二 端 点 添 平 行 线 （7
7、）相似三角形： 相 似 三 角 形 有 平 行 线 型 （ 带 平 行 线 的 相 似 三 角 形 ） ， 相 交 线 型 ， 旋 转 型 ；当 出 现 相 比 线 段 重 叠 在 一 直 线 上 时 （ 中 点 可 看 成 比 为 1） 可 添 加 平 行 线 得平 行 线 型 相 似 三 角 形 。 若 平 行 线 过 端 点 添 则 可 以 分 点 或 另 一 端 点 的 线 段 为 平行 方 向 ， 这 类 题 目 中 往 往 有 多 种 浅 线 方 法 。 （8）特殊角直角三角形 当 出 现 30， 45， 60， 135， 150 度 特 殊 角 时 可 添 加 特 殊 角 直 角
8、 三 角 形 ，利 用 45 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1： 1： 2； 30 度 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为1： 2： 3 进 行 证 明 3（9）半圆上的圆周角 出 现 直 径 与 半 圆 上 的 点 ， 添 90 度 的 圆 周 角 ； 出 现 90 度 的 圆 周 角 则 添它 所 对 弦 -直 径 ； 平 面 几 何 中 总 共 只 有 二 十 多 个 基 本 图 形 就 像 房 子 不 外 有 一砧 ， 瓦 ， 水 泥 ， 石 灰 ， 木 等 组 成 一 样 。二基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加
9、倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对
10、角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形4（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归
11、为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法5在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，
12、顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“ 这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“ 这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交
13、作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。6作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的
14、两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。 ”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
15、六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离） ，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，7条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为
16、辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边” 。8三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来
17、，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDD
18、GGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：ABCDENM1图 ABCDEFG21图9例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：BDCBAC。分析 ：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使 B
19、DC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证 B
20、ECFEF ，可利用三角形三 边关系定理 证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 对应边相等，把EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中： )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法EDBNDBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。ABCDEFG12图 ABCDEFN13图 2410注意：当证题有角平分线时，常可考 虑在角的两边截取相
21、等的 线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中， )(1辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等中 点 的 定 义DECBBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90，即：EDF90FDMEDF 90在EDF 和MDF 中 )(公 共 边 已 证辅 助 线 的 作 法DFMEEDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通 过延长 加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到： ABCDE14图 ABCDEFM1234
