1、数学论文N-S 方程在平板间脉冲流动中的应用 摘要 粘性流体力学是一个历史悠久而又富有新生命力的学科。它与人们日常生活、健康和旅行无不息息相关。早在纪元前希腊学者阿基米德即建立了液体载物的浮力理论，其领先远超于力学建基之始。二千二百年前在李冰父子创导下，我国也建利灌舒洪的都江堰，这个伟大工程当时确已掌握现今的水力学原则和近代的工程设计理论。在流体粘性效应的问题上，不乏先进接连攻关，终难胜克，足见其艰困之甚。 近数年代里，由于工业发展的迫切需求，已促进不少新学科的萌芽滋长。诸如能源发展；海洋、大气和陆地交应干扰和持恒；农林牧业的生物科技新探索；城市、河流和山岳的环境保护；疾病防治的医疗科学以及自
2、然灾害的消减和救援等都赋予流体力学新的生命。 纳维-斯托克斯方程又称为 N-S 方程，是描述实际流体运动的微分方程式，纳维-斯托克斯方程在流体力学中有十分重要的意义。本文将在阐述粘性流体力学的基本方程的基础上，借助于数学软件 MAPLE，应用 N-S 方程解决平行平板间的脉冲流动问题。 关键词：N-S 方程，平行平板，脉冲流动，Maple1. 数学及物理背景 数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，主要是指力学、天文学、物理学及工程技术中提出来的偏微分方程，它是随着 17 世纪工业生产的发展，伴随着天文学、物理学等自然科学的发展而逐步形成的一门独立学科。描述许多自然现象
3、的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。所以数学物理方程在推动数学理论发展对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要作用。但是在使用函数和解方程中，针对表达式和符号运算的问题一直困扰着我们，只能依赖铅笔和演草纸进行纯手工计算，现在这些工作都可以借助计算机代数系统来完成。 计算机代数系统包括数值计算、符号计算、图形演示和编程等四部分。在科学研究、教育教学等各个领域得到广泛应用。Maple 是一种计算机代数系统，是目前广泛使用的数学计算工具之一。用 Mapl
4、e 不但可以进行简单的加减乘除运算，也可以求解代数方程、微分方程，进行微分运算或处理线性代数问题。 纳维斯托克斯方程是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。纳维斯托克斯方程依赖于微分方程来描述流体的运动。这些方程和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量的关系，而是建立这些变量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化量对应于变量的导数。这表示对于给定的物理问题的纳维斯托克斯
5、方程的解必须用微积分的帮助才能取得。2. 纳维斯托克斯方程 纳维斯托克斯方程为一组非线性二阶偏微分方程组，一般情况下在数学上求其精确解是非常困难的。只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性的迁移项为零的情况下，可以求得精确解。对于粘性不可压缩流体的方程而言，压力项及粘性性是线性的，而惯性项却是非线性的。这一非线性项的存在使得在解方程时，碰到很大的困难。在理想不可压缩流体的 Euler 方程，虽然也存在非线性的惯性项，但是因为相当一部分的实际问题是无旋的。对于无旋流动，问题可归结为求解线性的Laplace 方程（运动学方程），速度势求出后，压力可由拉格朗日积分或伯努力积分求出（动力学问题），问题得
6、到了很大的简化。 但是粘性不可压缩流体的运动中，运动都是有旋的，因而也不存在拉格朗日积分或伯努力积分，因此不得不求解原始的二阶偏微分方程组。到目前为止，还没有求解非线性偏微分方程到普遍有效的方法，在流体力学中，求解上述非线性偏微分方程组通常有两种主要途径： （1）准确解： 在一些简单到问题中，由于问题的特点，非线性的惯性项或者等于零，或者是非常简单的非线性方程组，此时基本方程组或者化为线性方程组，或者化为简单的非线性方程组，从而可以找出方程组的准确解来。但是具有准确解的问题为数很少，而且一般说来很少能直接地用到实际问题中去。（2）近似解： 根据问题到特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程
7、。在某些情况下，可以得出近似方程的解。这种途径称为近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列两种情况：（a）小雷诺数 Re 情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。 （b）大雷诺数 Re 情况，若将粘性力全部略去，并且在物面上相应地提滑移边界条件，这就是理想流体的近似模型。在这个近似模型中无法求出符合实际的阻力。 进一步研究发现，在贴近物面很薄的一层“边界层“中，必须考虑粘性的影响，但此时根据问题的特点，可以略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程 3.平行平面间的脉冲流动 平行平面间的脉冲流动是一个可以得到 NS 方程精确解的非恒定流动，它对研究血液
8、流动是有意义的。图 1 两个固定的平行平面位于 y= a处，x 处的压强梯度随时间振动，于是 x 方向的流速也将随压强梯度而振动。在,yz 方向流（仍是非线性的）。而在边界层外，仍可将粘性全部忽略。 （c）对于中等雷诺数 Re 的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求方程到数值解。为了直观地分析结果，将,Awn 分别赋予相应的具体数值，并应用 MAPLE 作出3D 图像（图像及 MAPLE 语句见附录），可以看出，流速与压强梯度具有相同的振动频率 w，但存在随 y 而变化的相位差。壁面附近的振幅与中心处振幅不同，由边界条件可以看出在避免处振幅趋近于零。参考文献 1唐晓寅.工程流体力学M.重庆：重庆大学出版社，2007. 2王元明.数学物理方程与特殊函数（第四版）M.北京：高等教育出版社，2012. 3章梓雄 董曾南.粘性流体力学（第二版）M.北京：清华大学出版社，2011.
