1、第三章 能量原理,第三章：能量原理,弹性力学问题的求解在数学上归结为微分方程的边值问题。然而一般情况下，要求得弹性力学问题的精确解是十分困难的，有时甚至是不可能的。 应用能量原理是求解弹性力学问题的一条新途径。各种近似解法:如里兹法、伽辽金法、以及有限单元法，都是基于能量原理推导出来的。,弹性力学,平衡微分方程几何方程物理方程,位移边界条件力边界条件,3.1 应变能,第三章：能量原理,功能原理,3.1 应变能,第三章：能量原理,对于线弹性系统:,3.1 应变能,第三章：能量原理,三维弹性体 - 在小变形情况下,三维弹性体 线弹性情况下,弹性体应变能:,三维应力状态下线弹性体的功能原理,3.2
2、余应变能,第三章：能量原理,3.2 余应变能,第三章：能量原理,对于线弹性系统,功等于余功,应变能密度余应变能密度,应变能与余应变能,第三章：能量原理,物理方程另一种形式的表达,3.3 虚位移原理和最小位能原理,第三章：能量原理,一、虚位移原理,虚位移原理是力学中最基本而且应用最普遍的原理之一 可以应用于处在平衡状态中的任何系统。,实位移 与 实功,虚位移 与 虚功,“虚位移”：是一种假想的、满足约束条件的、任意的微小位移,外力在虚位移上所做的功叫作“虚功”,在弹性力学中，虚位移一般常取在系统的真实位移u的基础上再假设的微小位移u。u在物理上称虚位移，而在数学上称为位移u的一阶变分。,3.3
3、虚位移原理和最小位能原理,第三章：能量原理,一、虚位移原理,如弹性系统在外力作用下处于平衡状态，则当系统发生满足变形连续条件和给定的几何约束条件的、任意的、微小的虚位移时，系统中所有的外力和内力所做的虚功总和为零。,对于弹性体，虚位移原理可以这样来叙述：,现以三维弹性体来证明上述虚位移原理,这就是说，虚位移原理是弹性体处于平衡的必要条件。反之，外力和内力所做的虚功总和为零是物体处于平衡的充分条件。,3.3 虚位移原理和最小位能原理,第三章：能量原理,一、虚位移原理,若外力虚功WE改成W表示即：,虚应变能用U表示，即：,如果一个弹性体处于平衡状态。则对于满足变形连续条件和给定的几何约束条件的、任
4、意的、微小的虚位移，外力所做的虚功等于弹性体的虚应变能。,第三章：能量原理,二、最小位能原理,最小位能原理可由虚位移原理导出,现定义外力位能为,系统发生虚位移时，外力与内力均保持不变，于是，外力位能的一阶变分为,第三章：能量原理,最小位能原理可叙述为：在满足变形连续条件和位移边界条件的所有容许的位移中， 真实位移（即又满足平衡条件的位移）必使弹性体的总位能最小。 使弹性体的总位能取最小的位移一定是弹性体平衡的真实位移。,二、最小位能原理,弹性体的总位能为应变能与外力位能之和,3.4 虚力原理和最小余能原理,第三章：能量原理,一、虚力原理,虚力原理也是力学中最基本而且应用最普遍的原理之一 用来考
5、察一组已满足平衡条件的应力分量是否满足变形协调条件和如何才能满足变形协调条件。,虚位移原理和虚力原理都与虚功相联系，统称虚功原理,“虚力”：是一种假想的、满足平衡条件的、任意的微小力,虚力在真实位移上所做的功叫作“虚功”,虚力原理与虚位移原理互补,第三章：能量原理,如果在外力作用下平衡的弹性体处于变形协调状态，则对于满足平衡条件的任意的、微小的虚力和相应的虚应力在真实位移上所做的虚余功的总和必为零。,对于弹性体，虚力原理可以这样来叙述：,现以三维弹性体来证明上述虚力原理,虚力原理既是弹性体处于变形协调状态的必要条件；又是充分条件。,3.4 虚力原理和最小余能原理,一、虚力原理,反之，如果对于满
6、足平衡条件的虚力和相应的虚应力，在实际位移上所做的余虚功之和为零，则实际位移为满足几何方程和位移边界条件的真实位移。,第三章：能量原理,一、虚力原理,若内力虚功WI*改成虚余应变能U*表示即：,则：,虚力原理又可叙述为：如果在外力作用下平衡的弹性体处于变形协调状态，则对于从平衡位置开始的任意的虚力和相应的虚应力，虚力的虚余功必等于虚余应变能。,3.4 虚力原理和最小余能原理,第三章：能量原理,二、最小余能原理,最小余能原理可由虚力原理导出,现定义外力余能为,系统发生虚力时，位移保持不变，于是，外力余能的一阶变分为,第三章：能量原理,最小余能原理可叙述为：满足平衡方程，和力的边界条件的所有容许的
7、应力中， 只有满足变形协调条件的应力才是使弹性体的总余能为最小。 使弹性体的总余能取最小的应力一定是弹性体满足协调条件的真实应力。,二、最小余能原理,弹性体的总余能为弹性体的余应变能与外力余能之和,3.5 能量原理在结构分析中的应用,第三章：能量原理,一、最小位能原理和最小余能原理,1、结构力学方法,平衡方程,几何方程,物理方程,3.5 能量原理在结构分析中的应用,第三章：能量原理,一、最小位能原理和最小余能原理,2、最小位能原理求解,桁架的应变能为,外力位能为,桁架的总位能为,3.5 能量原理在结构分析中的应用,第三章：能量原理,一、最小位能原理和最小余能原理,3、最小余能原理求解,外力余能
8、为,桁架的余应变能为,桁架的总余能为,第三章：能量原理,一、最小位能原理和最小余能原理,试用最小位能原理来推导梁的平衡微分方程,梁的应变能为,外力位能为,梁的总位能为,推导,第三章：能量原理,一、最小位能原理和最小余能原理,试用最小位能原理来推导梁的平衡微分方程,简支梁的边界条件有: 在x = 0及x = L处,3.5 能量原理在结构分析中的应用,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,1、首先，把位移函数用一组满足边界条件 且具有一定系数的函数序列来表示。 例如,2、将设定的近似函数u、v、代入系统的总能量 中，经过必要的简单积分之后，系统总位能成 为待定系数ai、b
9、i、的二次式,3、真正的位移函数还必需满足平衡条件， 因此，利用最小位能原理来确定这些 待定系数。由多元函数的极值条件,4、求解上列方程组，可得出能使总位能有 极值的mn个待定系数ai、bi、，并 进一步得到问题的近似解,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求其挠度函数,梁两端的位移边界条件是,梁的应变能为,梁的外力位能为,梁的总位能为,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求其挠度函数,解得,梁的挠度函数为,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayl
10、eigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求板的挠度,弹性体弯曲应变能为,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求板的挠度,对于四边简支或固支的板,对于仅受横向载荷的薄板，其外力位能为,矩形板的总位能为,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求板的挠度,假设双三角级数的为挠度函数,代入总位能表达式为,第三章：能量原理,二、瑞利李兹(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求板的挠度,对于四边固支矩形板，可选择挠度函数为,满足变形协调条件和几何边界条件,若挠度函数只取一项,代入总位能,第三章：能量原理,二、瑞利李兹
11、(Rayleigh-Ritz)法,试用瑞利李兹法求板的挠度,由总位能的一阶变分等于零，得,得挠度函数为,最大挠度为,第三章：能量原理,三、伽辽金法,1、选择一个满足边界条件（包括位移边界条件和 力的边界条件）的函数来表示位移函数,2、取挠度函数近似解的变分作为虚位移，由虚位 移原理得,伽辽金法是寻求微分方程近似解的一种方法，它的理论基础是虚位移原理，应用伽辽金法通常要预先知道所研究问题的平衡微分方程。,由于变分的任意性，为使上式为零，只有每个积分都恒等于零，则有,3、联立求解上面的代数方程组，即可确定常数ai，最后求得 问题的近似解。,第三章：能量原理,三、伽辽金法,梁的平衡微分方程为,满足位
12、移边界条件及力的边界条件,设挠度函数为,代入上述伽辽金方程，可得,第三章：能量原理,三、伽辽金法,解得,则挠度函数为,在跨度中点处,若仅取前两项,则得,伽辽金法与里兹法不同之处在于伽辽金法要求基函数同时满足位移及力的边界条件。当有平衡微分方程时，通常伽辽金法比较方便，它与能量的泛函无关。,Thank you very much!,外力所做的功为:,功能原理,体力:,面力:,应力:应变:位移:,利用平衡微分方程和几何方程,格林公式,边界条件,虚位移原理的证明,弹性体在体力、面力作用下,产生应力、应变和位移,设弹性体在平衡状态基础上发生虚位移及相应的虚应变,则外力虚功为,内力虚功为,虚功总和为,虚位移原理的证明,因为虚应变是由虚位移引起的，它们相互协调，于是有,则,虚位移原理的证明,推导过程 ,即,虚位移原理是弹性体处于平衡的必要条件,外力和内力所做的虚功总和为零是物体处于平衡的充分条件,反之,虚力原理的证明,弹性体在体力、面力作用下,产生应力、应变和位移,设弹性体有满足平衡状态的虚力及相应的虚应力,力边界,位移边界,虚力原理的证明,则虚外力引起的虚余功为,虚内力引起的虚余功为,虚余功的总和为,进行变换,虚力原理的证明,经整理得到,反之,如上式等于零,由于虚力和虚应力是任意的,则必得变形协调条件,如弹性处于变形协调状态，即在弹性体内部必满足几何方程，边界上满足位移边界条件，则,
