1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例 : 变力沿曲线所作的功 .设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小 ” “常代变 ”“近似和 ” “取极限 ”变力沿直线所作的功解决办法 :动过程中变力所作的功 W.目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小 ”.2) “常代变 ”把 L分成 n 个小弧段 ,有向小弧段近似代替 , 则有所做的功为F 沿则用有
2、向线段 上任取一点在目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和 ”4) “取极限 ”(其中 为 n 个小弧段的最大长度 )目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义 . 设 L 为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条 有向光滑弧 ,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点 , 都存在 , 在有向曲线弧 L 上对 坐标的曲线积分 ,则称此极限为函数或 第二类曲线积分 . 其中 ,L 称为 积分弧段 或 积分曲线 .称为 被积函数 , 在 L 上定义了一个向量函数极限记作目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分 ;称为对 y 的曲线积分.若记 , 对坐标的曲线积分也可写作类似地 , 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用 L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例 .说明 : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的 方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法定理 : 在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为 则曲线积分连续 ,证明 : 下面先证存在 , 且有目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点根据定义由于对应参数因为 L 为光滑弧 ,同理可证目录 上页 下页 返回 结束 特别是 , 如果 L 的方程为 则对空间光滑曲线弧 : 类似有定理
