1、与圆锥曲线有关的最值问题如果函数 y=f(x)在点 的附近有定义，并且 的值比在 附近所有各点的函数值都大（或都小），那么称 是函数 f(x)的极大值（或极小值）。函数 y=f(x)在区间 内有定义，如果在 上的一点 处的函数值不小于（或不大于）函数在 上其余各处的函数值，那么称 是函数y=f(x)在区间 上的最大值（或最小值）。函数 y=f(x)在区间 上的最大值是区间端点处的函数值 f(a)、 f(b)及所有极大值中的最大者；最小值则是在 上的 f(a)、 f(b)及所有极小值中的最小者。与圆锥曲线的关的最值问题，往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。下面分类介绍解析几何中求最值的方法一、
2、平面几何法例 1、在抛物线 上求一点 M，使点 M致到点 A（ 1， 0）和点 B（ 3， 2）两点距离之和最小，并求这最小值。xyMABloN解：如图，作抛物线 的准线 l:x=-1,再作 于 N点。为抛物线的焦点，显然， B、 M、 N三点共线且直线 时， |MN|+|MB|最小，也即 |MA|+|MB|最小。此时 M（ 1， 2）例 2、已知点 O（ 0， 0）、 B（ m， 0）（ m0)，动点 P到 O、 P的距离之比为2： 1，求（ 1） P点的轨迹方程；（ 2） P点在什么位置时，三角形 POB的面积最大，并求出最大面积。yxABP PPo解 ：（ 1）设 P（ x,y) 由已知
3、， |PO|： |PB|=2： 1化简，得即 P点轨迹为以 A 为圆心， 为半径的圆。（ 2）如图，三角形 POB的一边 OB（定长）在 x轴上，另一顶点 P在以 A点为圆心的圆上，由平面几何知识，知当 P点是与 x轴垂直的直径的两端时，三角形 POB的面积最大。过点 A且与 x轴垂直的直线方程为 它与圆 A交于故 P点坐标为 时，三角形 POB的面积最大，其值为例 3、已知 A（ 4， 0）、 B（ 2， 2）是椭圆 内的两定点， M是椭圆上一动点，求 |MA|+|MB|的最值。解：设椭圆左焦点为 A（ -4， 0）。显然 A（ 4， 0）为椭圆右焦点，因而由椭圆定义得 |MA|+|MA|=
4、10xyoMABAxyoA AMB如上图所示 ： |MA|+|MB| =|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10+|MB|-|MA|如下图所示 ： |MA|+|MB| =|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10-（ |MA|-|MB|）说明：在用平面几何法求最值问题时，主要利用平面几何的以下几个重要概念：（ 1）两点间线段最短；（ 2）点到直线的一切线段中，垂线段最短。（ 3）同圆的一切弦中，直径最长。二、一次函数法例 4、三角形 ABC中， AB=3， BC=4， AC=5，圆 O为内切圆，设 P为圆上一 点，求发 PA、 PB、 PC为直径的三圆面积之和的最值。xyoAB CE P
5、 D解：如图，以圆心 O为原点，以过 O且平行于 BC的直线为 x轴，建立直角坐标系，设 P（ x,y)。易知 A（ -1， 2）、 B（ -1， -1）、 C（ 3， -1）则所求面积之和为：例 5、已知椭圆 两焦点为 M点为椭圆上动点，求 f(M)的最值，并求此时 M点的坐标。由已知， a=5， b=4， c=3三、二次函数法例 6、 P为抛物线 上的动点，求 P点到直线 4x+3y+46=0的最短距离。解：设 P(x,y) 则 P点到直线 4x+3y+46=0的距离yxoPxyoM四、判别式法例 7、求曲线 的最高点、最低点的坐标 .解：曲线化为：化简，得 解之，得因此，所求最高点为（
6、6， 9），最低点为（ 4， 5）例 8、 A、 B为抛物线 上两个动点，且 |AB|=3，线段 AB中点为 M，求点 M到 y轴的最短距离，并求此时 M点的坐标。将（ 1）、（ 2）代入（ 3）得：yxoABM又 AB中点 M到 y轴距离 代入（ 4），得化简，得所以，此时 M点纵坐标为因此， M点到 y轴最短距离为 此时 M点坐标为五、切线性质法例 9、已知 P(x,y)为椭圆 上任一点，求 u=2x+3y的最值。解：由 u=2x+3y,得 求 u的最值，就是求与椭圆 有公共点且斜率为 的平行直线系在 y轴上截距的最值。xyoxoyMNBA由切线性质可知 ,当直线 与椭圆相切时 ,u取最值 .椭圆的切线方程为例 10、已知 A（ 3， 1）、 B（ -2， -2）是椭圆 上两定点， M、 N是椭圆上位于直线 AB两旁的两动点，求四边形 AMBN的最大面积。分析：如图所示，都平行于直线 AB时，过 M、 N的四边形 AMBN有最大面积。
