1、- 1 -2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修）解析 重庆合川太和中学 杨建一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分） 。1.集合 A= ，B= ，则 =【D】|12x|1x()RACB（A） （B） （C） （D）|2x|12x解析：本题考查集合的基本运算 1|,1| AxXCRR2.复数iz在复平面上对应的点位于 【A】A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（ 位于第一象限1iii21)()21,3.对于函数 f(x)=2sinxcosx
2、，下列选项中正确的是 【B】A.f(x)在（ 4， ）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为 22解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为 的奇函数4. 展开式中 的系数为 10，则实数 a等于【D】5aR3xA.-1 B. C.1 D.2 12解析：本题考查二项展开式的通项公式 2,10,325, 52551 aCrxCaxTrrrr 有得由- 2 -5.已知函数 f(x)= 21xa， ，若 f（f（0） ）=4a，则实数 a等于【C】A.1B. 45C.2 D.9 解析： f（0）=2， f
3、（ f（0） ）=f(2)=4+2a=4a，所以 a=26.右图是求样本 ， ， 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】1x210xA.S=S+ nB.S=S+xC.S=S+nD.S=S+ 1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A. B. C.1 D.2 32解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为 12128.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 p的值为【C】2(0)ypx2670xyA. B. 1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线 y22 px（ p0）的准线方程为
4、，因为抛物线 y22 px（ p0）的准线与2px圆（ x3） 2 y216 相切，所以 ,43法二：作图可知，抛物线 y22 px（ p0）的准线与圆（ x3） 2 y216 相切与点（-1,0）所以 ,1p21- 3 -9.对于数列 ， “ ”是“ 为递增数列”的【B】na1(.)na， 2， naA.必要不充分条件 B. 充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 知 所有项均为正项，1(.)na， 2， na且 ，即 为递增数列121n反之， 为递增数列，不一定有 ，如-2，-1,0,1,2，.n 1(.)n， 2，10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10人
5、推选一名代表 ，当各班人数除以 10的余数大于 6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y与该班人数 x之间的函数关系用取整函数 y=x( x表示不大于 x的最大整数)可以表示为 【B】A. B. C. D. y10x3y10410x510解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B法二：设 ，)9(mx ，时 10103103,6xmx，所以选 B103103,96 m时当二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）.11.已知向量 a=（2，-1） ，b=（-1，m） ，c=（-
6、1,2） ，若（a+b）c，则 m=-1 解析： ，所以 m=-10)1(21/)(),1,( cbaba得由12.观察下列等式： ， ， ，根据上述3233633224规律，第五个等式为 。45解析：第 i个等式左边为 1到 i+1的立方和，右边为 1+2+.+（i+1）的平方所以第五个等式为 。333226113.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M取自阴影部分部分的概率为 13- 4 -解析：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为 ，所以点 M取自阴影部13210dx分部分的概率为 114.铁矿石 A和 B的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的的 排放量 b及每万
7、吨铁矿石的价格2COc如下表：a B(万吨) C（百万元）A 50 1 3B 70 0.5 6某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 的排放量不超过 2（万吨）则购买铁矿石2CO的最少费用为 15（万元）解析：设购买铁矿石 A和 B各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用 yxz63x,y满足约束条件表示平面区域为则当直线 过点 B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用yxz63z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A （不等式选做题）不等式 的解集为x321x解析：法一：分段讨论 x，时 ， 原 不 等 式 等 价 于 53 213122 xx，
8、时 ， 原 不 等 式 等 价 于x，时 ， 原 不 等 式 等 价 于综上，原不等式解集为 x法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究9.17.05.20,- 5 -法三：借助函数 的图像研究23xyB. (几何证明选做题)如图，已知 RtABC 的两条直角边AC,BC的长分别为 3cm,4cm，以 AC为直径的圆与 AB交于点 D，则 BA169解析： ,由直角三角形射影定理可得C516BD5,4,2 所 以又59A9C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C的参数方程为 （a 为参数）以原点为极cos1inxy点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 ，则直线 l与圆 C
9、的交点的直角坐标系为_(-1,1).(1,1)_解析：直线 l的极坐标方程为 化为普通方程为 y=1，sin1所以直线 l与圆 的交点坐标为(-1,1).(1,1)(22yx三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6小题，共 75分）16.（本小题满分 12分）已知 是公差不为零的等差数列， 且 成等比数列na1a139,a（1） 求数列 的通项公式n（2） 求数列的前 n项和 nS解：（1）由题设知公差 d0由 且 成等比数列得1a139,a12d8解得 d=1,d=0（舍去）故 的通项n()nn（2）由（1）知 ，由等比数列前 n项和公式得2a3 12(). 2nnS
10、- 6 -17. （本小题满分 12分如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A点北偏53东 45，B 点北偏西 60的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B点相距 海里的 C点的救援船立即即前往营救，其航行203速度为 30海里/小时，该救援船到达 D点需要多长时间？解：由题意知 海里，3)A=5(+906,45,DBB1在 中，由正弦定理得AsinsiDABsin5(3)45(3)sin45i10inco60coBD= （海里） ，53(1)2又 海里，30(96)0,23DBCABCBC在 中，由余弦定理得22cosD= 130103290
11、30（海里） ，则需要的时间 （小时） 。CDt答：救援船到达 D点需要 1小时。注：如果认定 为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分。B18. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC= ,E,F分别是 AD,PC的中点。2（）证明：PC平面 BEF；- 7 -（）求平面 BEF与平面 BAP夹角的大小。解法一：（）如图，以 A为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ，四边形 ABCD是2,2PBCD矩形 A,B,C,D,P 的坐标为 (0,)(,0)(2,),(02,)(,02)ABCDP
12、又 E,F分别是 AD,PC的中点， (0,2),(1,)EF ,(,21)(0)PCBEF 40PCAA ,FE ,PCBF 平面（）由（）知平面 BEF的法向量 ,1(2,)nPC平面 BAP的法向量 ，2(0,)AD =812nA设平面 BEF与平面 BAP的家教为 ，则 ，1212|82cos|(,)4nA ， 平面 BEF与平面 BAP的夹角为45 5解法二：（）连接 PE,EC，在 和 中，RtPAEtCDPA=AB=CD,AE=DE, PE=CE,即 是等腰三角形，- 8 -又 F是 PC的中点，EFPC，又 是 PC的中点，2,BAPBCF C又 ,FEE平 面（） PA平面
13、ABCD, PABC,又 ABCD是矩形， ABBC, BC平面 BAP，BCPB,又由（）知 PC平面 BEF, 直线 PC与 BC的夹角即为平面 BEF与平面 BAP的夹角，在 中，PB=BC, , PBCA90PBC45B所以平面 BEF与平面 BAP的夹角为 19. （本小题满分 12分）为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在 170185cm之间的概率；（）从样本中身高在 165180cm之间的女生中任选 2人，求至少有 1人身高在 17018cm之间的概率。解：（）
14、样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400人。（）由统计图知，样本中身高在 170185cm之间的学生有 14+13+4+3+1=35人，样本容量为 70，所以样本中学生身高在 170180cm之间的概率 p=0.5（）样本中女生身高在 165180cm之间的人数为 10，身高在 170180cm之间的人数为 4，- 9 -设 A表示事件“从样本中身高在 165180cm之间的女生中任取 2人，至少有 1人身高在 170180cm之间” ，则 （或 ）2610()3CP12640()3CPA20. （本小题满分 13分）如图，椭圆 的顶点为 ，焦点为2:xyab
15、12,B，12,F1|7AB1212ABBFSA（）求椭圆 C的方程；（）设 n是过原点的直线， 是与 n垂直相交于 F点、与椭圆相交于 A,B亮点的直线，|l|=1，是否存在上述直线 使 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，OP 1PAl请说明理由。解：（）由 知 ， 1|7AB27ab由 知 a=2c， 1212BFSA又 ， bc由解得 ，24,3ab故椭圆 C的方程为21xy（）设 A，B 两点的坐标分别为 ，12(,),xy假设使 成立的直线 存在，Pl（）当 不垂直于 x轴时，设 的方程为 ，l ykxm由 与 垂直相交于 P点且| |=1得nO- 10 -，即2|1mk21k ，| |=1，APBO ()()APB= 2 AP= 1+0+0-1=0,即 120xy将 代入椭圆方程，得km22(34)8(41)0x由求根公式可得 ， 1223k1224mxk121210()yx= 221(xkm= 12()x将，代入上式并化简得2222(1)4)8(34)0kmkk将 代入并化简得 ，矛盾51即此时直线 不存在l（）当 垂直于 x轴时，满足 的直线 的方程为 x=1或 x=-1，l|OPl当 X=1时，A,B,P 的坐标分别为 ，3(1,),(10)2 ，3(0,)0,2APB 914当 x=-1时，同理可得 ，矛盾1AP
