圆锥曲线考点考题分析.doc

1、第 1 页 共 10 页圆锥曲线考点考题分析一、20082013 江苏高考数学圆锥曲线考点考情一览时间 考题 考点分析2008 年 题 12 求椭圆的离心率，考查椭圆的性质，求椭圆的离心率，属中档题. (5 分)2009 年 题 13 求椭圆的离心率，考查椭圆的性质，求椭圆的离心率，属中档题. (5 分)题 6 考查双曲线的定义及性质，求双曲线上点到右焦点的距离，属基础题. (5 分)2010 年题 18直线与椭圆的综合问题，有关动点轨迹、定点坐标及直线过定点问题. 中档题 (16分)2011 年 题 18直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式

2、、直线的垂直关系的判断，共线问题，点在曲线上的性质. (16 分)题 8 考查双曲线的性质，根据离心率求参数的值，属中档题.（5 分）题 17 抛物线的性质、方程和基本不等式的应用，也可将其归为函数问题.（14 分）2012 年题 19 求椭圆的方程，直线斜率以及定值问题. 中档题(16 分)题 3 考查双曲线的性质，求双曲线的渐近线。基础题.（5 分）题 9 考查抛物线的切线及线性规划综合问题，属中档题. 也可将其归为函数问题（5 分）2013 年题 12 求椭圆的离心率，考查椭圆的定义及几何性质，属中档题. （5 分）二、常见题型解答要点归纳（一）求圆锥曲线基本量及其范围问题， （常以填空

3、题形式出现） ，或求与圆锥曲线有关的点的坐标、直线的斜率、点的轨迹（江苏 6 年考题中都有出现，这类考题是江苏高考对于圆锥曲线考查的常见考题）（二） 圆锥曲线中的范围问题（江苏 6 年新高考试题中还没出现此类考题）(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理（三） 圆锥曲线中的存在性问题（江苏 6 年新高考试题中还没出现此类考题）(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个( 某些)条件的点、直线、曲线(或参数) 等几何元素是否存在的问

4、题(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由第 2 页 共 10 页（四） 圆锥曲线中的证明问题（2011 年 18 题（3） ）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)（五） 定点问题（2010 年 18 题（3） ）(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点(2)定点问题是在变化中所表现

5、出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点（六） 定值问题（2012 年 18 题（2） ）解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等) 的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值（七） 最值问题（江苏 6 年新高考试题中还没出现此类考题）圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把

6、要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些) 参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解三重点讲解题目热点一. 求圆锥曲线的方程及基本量1(2013 全国卷改编)已知双曲线 C： 1( a0, b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 x2a2 y2b2 52解析：因为双曲线 1 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 y x.又离心率为 e x2a2 y2b2 ba ca ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 y x.a2 b2a 1 (ba)2 52 ba 12 12变式训练 1已知抛物线 y28x 的准线过双曲线 1(a0，b0) 的一个焦点， 且双曲线的离心x2a2 y2

7、b2率为 2，则该双曲线的方程为_解析：抛物线 y28x 的准线 x2 过双曲线的一个焦点，所以 c2，又离心率为 2，所以 a1，b ，所以该双曲线的方程为 x2 1.c2 a2 3y232 （ 2013 江苏题 12）在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，OC)0,(2byax右焦点为 ，右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，FlBBF1dFl2d若 ，则椭圆 的离心率为 126dC【考点】考查椭圆的几何性质及运算能力，属中档题. 解析：由已知可得 ， ， ，(c,0)(,)b1cdaOl:x=a2cBFyx第 3 页 共 10 页，因为 ，所以

8、 ，即 ，222acbdc126d26bca242,6()abcc可得 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以426040e22(1)30e210e，解得 (舍负)231e3e热点二.圆锥曲线中有关求范围问题3已知椭圆 C： 1(ab0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y 0)，求 y0 的取值范围解：(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c1.因为椭圆 C 的离心率为 ，12所以 a2 c2， b2 a2 c23.故椭圆 C 的方

9、程为 1.x24 y23(2)当 MN x 轴时，显然 y00.当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y k(x1)( k0)由Error!,消去 y 并整理得(34 k2)x28 k2x4( k23)0，则 x1 x2 .8k23 4k2设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3， y3)，则 x3 ， y3 k(x31)x1 x22 4k23 4k2. 3k3 4k2线段 MN 的垂直平分线的方程为 y .在上述方程中，令 x0，得3k3 4k2 1k(x 4k23 4k2)y0 .当 k0 时， 4 k4 .所以 y00, 0,21y。

10、（1 ）设动点 P 满足 2B4,求点 P 的轨迹；（2 ）设 3,1，求点 T 的坐标；（3 ）设 9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1 ）设点 P（ x, y） ，由两点距离公式将 2PFB4变成坐标表示式，整理即得点 P 的轨迹方程（2 ）将 3121分别代入椭圆方程，解出点 M 与点 N 的坐标由两点式写出直线 AM 与直线 BN的方程联立解出交点 T 的坐标 （3 ）求出直线方程的参数表达式，然后求出其与 x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过 x轴上的定点还可以这样证明：根据特殊

11、情况即直线与 轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于 x轴时两线DM 与 DN 斜率相等，说明直线 MN 过该定点解析：（1）设点 P（ x, y） ，则：F（2,0） 、B（3,0） 、A（-3,0） 由 2PFB4，得 22()(3)4,xy 化简得 92x故所求点 P 的轨迹为直线 9x（2 ）将 31,21x分别代入椭圆方程，以及 0,21y得：M（2, 53） 、N（ 1, 09） 第 7 页 共 10 页直线 MTA 方程为： 0352yx，即 1yx,直线 NTB 方程为： 03219yx，即 62yx联立方程组，解得：7103xy，所以点 T 的坐标为 10(7,)3（3 ）

12、 点 T 的坐标为 (9,)m， 直线 MTA 方程为： 09yxm，即 (3)12myx，直线 NTB 方程为： 03yx，即 3)6yx分别与椭圆 52联立方程组，同时考虑到12,x，解得：22(804M,)、223(0)N,)m当 12时，直线 MN 方程为：2222403(80)(0)8myx令 0y，解得： 1x。此时必过点 D（1,0） ；当 1x时，直线 MN 方程为： 1x，与 x 轴交点为D（1,0） 所以直线 MN 必过 轴上的一定点 D（1,0） 5.（2011 江苏题 18）如图，在平面直角坐标系 xOy中，M、N 分别是椭圆 24y的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P

13、、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k.（1 ）当直线 PA 平分线段 MN 时，求 k的值；（2 ）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3 ）对任意 0，求证：PAPB.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断，共线问题，点在曲线上的性质.【分析】 （1）由题设写出点 M，N 的坐标，求出线段 MN 中点坐标，根据线 PA 过原点和斜率公式，即可求出 k的值.（2 ）写出直线 PA 的方程，代入椭圆，求出点

14、 P，A 的坐标，求出直线 AB 的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d.（3 ）要证 PAPB，只需证直线 PB，AB 的斜率之积为 1。根据题意求出它们的斜率，即证得结果.xBPOAMN第 8 页 共 10 页【答案】解：（1）由题意知， 2,ba，故 M 0N 2(,)(,).线段 MN 的中点的坐标为)2,(.由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，1k.（2 ）直线 PA 的方程为 xy2，代入椭圆方程得 124x，解得 32x，44P A 33,于是 C 0,直线 AC 的斜率为 30.直线 A

15、B 的方程为 032yx.322d.（3 ）证明：将直线 PA 的方程为 kxy代入 124y，解得 21kx.记 21k，则 P A ,，于是 C 0,.直线 AB 的斜率为 20k，直线AB 的方程为 )(xy，代入椭圆方程得 )23(2)(2kxk，解得2)3(kx，或 . ,23(23B，于是直线 PB 的斜率为kk12)3(1. 1，所以 PAPB.6.（2012 年江苏 17 题）如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xoy， 轴 在 地 平 面 上 ， y轴 垂 直 于 地 平 面 ， 单 位长 度 为 1 千 米 某 炮 位 于 坐 标 原 点 已 知 炮 弹 发 射

16、 后 的 轨 迹 在 方 程 21()(0)0kxxk表 示 的 曲线上，其中 k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1 ）求炮的最大射程；（2 ） 设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行 物 （ 忽 略 其 大 小 ）， 其 飞 行 高 度 为 3.2 千 米 ， 试 问 它 的 横 坐 标 a不超过多少时，第 9 页 共 10 页炮弹可以击中它？请说明理由【考点】函数、方程和基本不等式的应用【解析】 （1）求炮的最大射程即求 21()(0)0ykxxk与 x轴的 横 坐 标 ， 求 出 后 应 用 基本不等式求解（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解

17、【答案】解：（1）在 21()(0)0ykxxk中 ， 令 0y， 得 21()=0kxx由 实 际 意 义 和 题设 条 件 知 0x， 2=1k， 当 且 仅 当 =时 取 等 号 炮的最大射程是 10 千米 （ 2） 0a，炮弹可以击中目标等价于存在 0k，使 21()=3.aka成 立 ， 即 关 于 k的方程 2264=0ak有 正 根 由 2=460得 6此时，20=（不考虑另一根） 当 a不超过 6 千 米 时 ， 炮弹可以击中目标。7.（2012 年江苏题 19）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 ， 椭 圆21(0)xyab的 左 、 右 焦 点 分 别 为

18、1(0)Fc， 2()， 已知 (1)e， 和 32， 都在椭圆上，其中 e为椭圆的离心率（1 ）求椭圆的方程；（2 ）设 ,AB是椭圆上位于 x轴上方的两点，且直线 1AF与直线 2B平行，F与 1交于点 P（i）若 26F，求直线 1的斜率；（ii）求证： 12PF是定值【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式【解析】 （1）根据椭圆的性质和已知 ()e， 和 32， 都在椭圆上列式求解（2）根据已知条件 126AFB，用待定系数法求解【答案】解：（1）由题设知， =cabea， ，由点 (1)e， 在椭圆上，得第 10 页 共 10 页2222211=1ecbcababa， 2=1

19、ca由点 32e， 在椭圆上，得22224224433131 =0ecaaaaba椭圆的方程为2xy（ 2） 由 （ 1） 得 (0)F， ， 2(1)， ，又 1AF 2B，设 1AF、 2B的方程分别为 =1myx， ，1212AxyBy， ， ， ， ， 2111 0=xymy 2222222111=0= mFxymy 同理，222B（i）由得，2121mAF。解216=m得 2=2注意到 0m， =2直线 1的斜率为 =（ii）证明： 1AF 2B， 21FPA，即 212111BFPFBAPA 112=P由点 在椭圆上知， 2， 122=F同理： 112BFAA 2 21221121 1+= 2BFAFBP ，由得，12mAFB， 2=mA， 123+=2P 12P是定值