1、3.8 函数的最大值与最小值高三数学选修（ ）第三章 导数与微分Maximum Value & Minimum Value of Function 授课教师：游建龙更多资源 实际问题如图，有一长 80cm宽 60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求 , 长方体的高不小于 10cm且 不大于 20cm,设长方体的高为 xcm，体积为 Vcm3问 x为多大时， V最大 ?并求这个最大值解：由长方体的高为 xcm， 可知其底面两边长分别是 （ 80 2x） cm，（60 2x)cm, (10x20). 所以体积 V与高 x
2、有以下函数关系V=（ 80 2x）（ 60 2x） x=4（ 40 x）（ 30 x） x.一般地，在闭区间 a,b上连续的函数 在 a,b上必有最大值与最小值 .若改为 (a,b)情况如何 ?最值存在定理一般地，在闭区间 a,b上连续的函数 在 a,b上必有最大值与最小值 .若改为不连续呢 ?连续最值存在定理 求函数 在 内的极值 ； 求 上的 连续 函数 的最大值与最小值的步骤 : 将 f (x)的各极值与 f (a)、 f (b)比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值 例 1 求函数 在 区间 上的最大值与最小值 求 a,b上连续函数 最值的方法例题讲解例 1 求函数 在区间
3、 上的最大值与最小值 解 ：从表上可知，最大值是 13，最小值是 413454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0当 x 变化时 ， 的变化情况如下表 ：令 ，有 ，解 得单调性（ 2） 将 的解对应的 函数值 f(x)与 f(a)、 f(b)比较 ， 其中最大的一个是最大值 ， 最小的一个是最小值 （ 1） 在 (a,b)内解方程 , 但不需要判断是否是极值点 ,更不需要判断是极大值还是极小值 ；例题讲解例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值 解 ：从上表可知 ， 最大值是 13， 最小值是 4当 x 变化时 ， 的变化情况如下表 ：令 ， 有 ，
4、解得13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0例题讲解 所求最大值是 13，最小值是 4例 1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值 解： 令 ，有 ,解得又（ 2） 将 的解对应的 函数值 f(x)与 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 （ 1） 在 (a,b)内解方程 , 求 上的 连续 函数 的最大值与最小值的简化步骤 :课堂练习 求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值 .实际问题例 如图，有一长 80cm宽 60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求 , 长方体的高不小于 10cm且 不大于 20cm,设长方体的高为 xcm，体积为 Vcm3问 x为多大时， V最大 ?并求这个最大值解：由长方体的高为 xcm， 可知其底面两边长分别是 （ 80 2x） cm，（60 2x)cm, (10x20). 所以体积 V与高 x有以下函数关系V=（ 80 2x）（ 60 2x） x=4（ 40 x）（ 30 x） x=4x3 280x2 4800x.
