1、饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 1 页 共 10 页(八)幂函数、指数函数与对数函数一、幂函数指数函数与对数函数学习要点：1幂函数幂函数:函数 叫做幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数（这里我们只讨论 a 是有理数 n 的情况） 2.幂函数的定义域幂函数 （n 是有理数）的定义域：(1) 当 n 为正整数时，(2) 当 n 为零或负整数时，xR，x0；（3）当 为正分数 或负分数 （是互质的正整数， ）时， 的意义分别是 或pq1qnxqpx1qpx幂函数的定义域分别是使 或 有意义的实数 x 的集合qpx13.幂函数的图象4幂函数的性质(1) 当 n
2、0 时图象都通过（0，0） 、 （1，1）点；在第一象限内是增函数(2) 当 n0 时图象都过（1，1）点；在第一象限内是减函数； 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，向右与 x 轴无限地接近2指数函数：定义：函数 称指数函数，)1,0(ayx且1）函数的定义域为 R， 2）函数的值域为 ，),0(3）当 时函数为减函数，10a饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 2 页 共 10 页当 时函数为增函数.1a函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当 时，图象
3、向x10ax1a右无限接近 轴） ，3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称.),0(a且 xxy与 y函数值的变化特征： 1a1a ，0yx时 ，时 1yx时 ，0yx时 ，时 ，1yx时3对数函数：1）定义：函数 称对数函数，函数的定义域为 ， )1,0(logaxya且 ),0(2）函数的值域为 R，3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数，104）对数函数 与指数函数 互为反函数.xyal )1,0(ayx且1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近 轴；当 时，图象向y10ay1a下无限接近 轴）.4）对
4、于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称.),0(a且 xyxyaa1logl与 x饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 3 页 共 10 页函数值的变化特征：学习要点：1熟练掌握幂函数 y xa (a 为有理数 )的性质和图象之间的关系；2理解当 a0 与 a0 时，幂函数在第一象限的图象和增减性并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.4指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的 12 个小点）是解决含指数、对数式的
5、问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类.6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等.三、例题分析例 1一个幂函数 y f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数 y g(x)的图象过点(8, 2),427求不等式 的解集。fg例 2 （1）已知幂函数 9722)19(mxmy的图象不过原点，则
6、m 的值为_。（2） 当 x（1，+）时，函数 a的图象恒在 y=x 的下方，则 a 的取值范围是_。（3） 函数 562xy的减区间_。例 3（1）若 ,则 0loglba10a1a ，yx时 ，时 .01yx时 ，0yx时 ，时 .1x时饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 4 页 共 10 页A B C D10ba10ab1b1a（2）函数 图象的对称轴为 ，则 为 )(log2xy 2xaA B C D12（3） 时，不等式 恒成立，则 的取值范围2,xxxalog)1(aA B C D)1,0(2,2,1（4）已知函数 的值域为 ，则 的范围是 （
7、）34xxy7,xA B C D,2)0,(42)1(2,10例 4比较大小（1） ； （2）6.12.0. 4.0lg.lo.lg.0lo3211（3） 其中aba, b例 5对于函数 ，解答下述问题：)32(log)(1axxf（1）若函数的定义域为 R，求实数 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 的取值范围；（3）若函数在 内有意义，求实数 的取值范围；),1a（4）若函数的定义域为 ，求实数 的值；),3(,(（5）若函数的值域为 ，求实数 的值；（6）若函数在 内为增函数，求实数 的取值范围.1,(a饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 5
8、 页 共 10 页例 6若关于 的方程 有实根，求 的取值范围。x054211mxx变式 1：设有两个命题：关于 的方程 有解；函数x9(4)30xxa是减函数。当与至少有一个真命题时，实数 的取值范围是2()logafx a变式 2：方程 的两根均大于 1，则实数 a 的取值范围是。042例 7已知函数 ，)10)(1log)(l)( axxxf aa 且（1）讨论 的奇偶性与单调性；饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 6 页 共 10 页（2）若不等式 的解集为 的值；2|)(|xf ax求,21|四、练习1如图中函数 21xy的图象大致是2函数 3xy
9、与 31的图象（ ） 。A关于原点对称 B关于 x 轴对称C关于 y 轴对称 D关于直线 y=x 对称3 21.a， 219.0b， 21.c的大小关系是Acab Bacb Cbac Dcba4.函数 的图象不经过第二象限，则有 ),()(yxA B C D1,0100,1ba0,1ba5.函数 （ 为常数） ，若 时， 恒成立，则)2lg()bxfx,x)(xfA B C Dbb6.若 ，当 时， 的大小关系cax 3223log,)(1ca,A B C Dcacb饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 7 页 共 10 页7.已知函数 )(,21)(,1lg
10、)( afafxf 则若A B C2 D228.函数 的图象xyeA与 的图象关于 y 轴对称 B与 的图象关于坐标原点对称xxyeC与 的图象关于 y 轴对称 D与 的图象关于坐标原点对称xye x9.在 这四个函数中，当 时，使x2cos,log,222 1021x恒成立的函数的个数是)()(11ffxfA0 B1 C2 D310.若函数 f(x)= , 则该函数在(-,+)上是 2XA单调递减无最小值 B 单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值11.函数 的定义域为 ，值域为 。1xy_12. 为奇函数且 时， ，当 时，解析式为)(f0xf10)(_13.函数 在 上最
11、大值比最小值大 ，则,(ayx2, 2a14.函数 是减函数，则实数 a 的取值范围是 .xf)1)215.求 的定义域。)1,0(logya16.已知 ， ，试比较 与 的大小关系。3log1)(xf2log)(x)(xfg17.设 ，如果函数 在 上的最大值为 ，求 的值。1,0a12xxay,14a饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 8 页 共 10 页18.设集合 ，若函数 ，其中的03log14)(l22xxA 2log)(axxf，当 时，其值域为 ，求实数 的值。1,0a241yB（八）幂函数、指数函数与对数函数答案例 1：一个幂函数 y f
12、(x)的图象过点(3, ),另一个幂函数 y g(x)的图象过点(8, 4272), 求不等式 f (x)g(x)的解集。解：设 f (x) xa, 将 x3, y 代入，得 a , 42743设 g(x) xb, 将 x8, y2 代入，得 b ,1由 ，解得 0x1.314例 2：1m=3；2a1；33，5。例 3（1）B （2）A （3）B （4）D 例 4、 （1） （2） 0.21.630.112log0.4l.log4l.（3） bab例 5.解答记 ，2223)(3)( axaxgu（1） 恒成立， ，R对030min u的取值范围是 ；a),3(（2）这是一个较难理解的问题。从
13、“ 的值域为 R”，这点思考， “ 的值域xalogu21log为 R”等价于“ 能取遍 的一切值” ，或理解为“ 的值域包含)(xgu),0()(x饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 9 页 共 10 页了区间 ”),0(的值域为xgu),0(),32a命题等价于 ，3min a或 a 的取值范围是 ；),(（3）应注意“在 内有意义”与定义域的概念是不同的，)1命题等价于“ 恒成立” ，应按 的对称轴 分类，),10(xgu对 )(xga0，31224)1( aaaga 或或的取值范围是 ；)3,(（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式 的解集为 ，0
14、2ax31|x或是方程 的两根，3,1032ax即 a 的值为 2；,21x（5）由对数函数性质易知： 的值域为 ，由此学生很容易得 ，但这是不)(xg),2)(xg正确的.因为“ ”与“ 的值域为 ”并不等价，后者要求 能取遍)(x2的一切值（而且不能多取）.),2 的值域是 ，(xg),32a命题等价于 ；1)(mina即 a 的值为1；（6）命题等价于： ，0)1(,(0)(, gaxxg恒 成 立对 为 减 函 数在饶平二中 2007 届高三文科数学第一轮复习（幂、指数对数函数 8）第 10 页 共 10 页即 ，得 a 的取值范围是 .21)2,1例 6、 变题 1、 变题 2、 3
15、,01,8,0,25,例 7 （1） 定义域为 为奇函数；)(,xf)(;,xf，求导得 ，xflog)(2 eexf aalog12log1当 时， 在定义域内为增函数；1a)(,0)(xf当 时， 在定义域内为减函数；0f（2）当 时， 在定义域内为增函数且为奇函数，)(xf；3,23log,1)2(afa得命 题当 在定义域内为减函数且为奇函数，0xa时3,21log,)21( afa得命 题练习：110、DDDDABBDB A 11、 ； 12、 1, 10,()xf 13、 14、 15、当 ；当 32或 )2,0(),(,1ax,a16、当 ；当 ；当4013xfxg或 时 4()3xfg 时 41,()3fg时17、3 或 18、2
