1、2016年教师资格考试高中数学学科知识专项试题2解析几何解答题1、椭圆G： 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知)0(12bayxF1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点 N（0，3 ）到椭圆上的点最远距离为 .5（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G 相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P （ 0， ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由32、已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，动直线 与圆 相切，且21xy12A、 :lykxm21y与双曲线左、右两支的交点分别为 .1(,)(,)Pxy（
2、）求 的取值范围，并求 的最小值；k2（）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，那么， 是定值吗？证明你的结论.1PA1k22k12k3、已知抛物线 2:Cyax的焦点为 F，点 (1,0)K为直线 l与抛物线 C准线的交点，直线 l与抛物线 C相交于 、 B两点，点A 关于 轴的对称点为D （1 ）求抛物线 的方程。（2 ）证明：点 F在直线 上；（3 ）设 89，求 的面积。4、已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，点 （2 ，3）、 在该椭圆上，线Ox1PAB、段 的中点 在直线 上，且 三点不共线ABTPAB、 、(I)求椭圆的方程及直线 的斜率；()求 面积的最大值5
3、、设椭圆 )0(12bayx的焦点分别为 1(,0)F、 2(,)，直线 l： 2ax 交 轴于点 A，且 12（）试求椭圆的方程；（）过 1F、 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、 E、 M、 N四点（如图所示），若四边形 的面积为 ，求 的直线方程DMEN7DE6、已知抛物线P：x 2=2py (p0)（）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ,)Mm3（）求抛物线 的方程；（）设抛物线 的准线与y轴的交点为E ，过E作抛物线 的切线，求此切线方程；P（）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B 两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，AOBD两点，求证：以CD为直径的圆过焦点 F7
4、、在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 .xOy(,),4)PxyMO（）求动点 的轨迹 的方程；PW（）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线(0,4)El,AByAAB是否恒过一定点，并证明你的结论.8、已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的2:1xyMab(0)23三角形周长为 46（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，l,ABC求 面积的最大值ABC9、过抛物线C: 2(0)ypx上一点 2(,)pM作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。（1 ）求证：直
5、线AB的斜率为定值；（2 ）已知 ,AB两点均在抛物线 C： 0yx上，若 M的面积的最大值为6，求抛物线的方程。10、已知椭圆21(0)xyab的左焦点 (,0)Fc是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y 轴垂直的直线 l交椭圆于C 、D两点，记直线 AD、BC的斜率分别为 12,.k（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线 x轴时，求 12:k的值；（2）求 12:k的值。11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 (ab0) 的离心率为 ，其焦点在圆x 2+y2=1上21xy2(1)求椭圆的方程；(2)设A ， B，M是椭圆上的三点 (异于椭圆顶点)，且存在锐
6、角，使cosinOOB(i)求证：直线OA与OB 的斜率之积为定值；(ii)求OA 2+OB212、已知圆 的圆心为 ，一动圆与圆2 251:(3),:(3)166MxyMNxy的 圆 心 为 圆 N内切，与圆 外切。N（）求动圆圆心 的轨迹方程； P（）（）中轨迹上是否存在一点 ，使得 为钝角？若存在，求出 点横坐标的取值范围；QQ若不存在，说明理由13、已知点 F是椭圆 )0(12ayx的右焦点，点 (,0)Mm、 (,)Nn分别是 x轴、 y轴上的动点，且满足 0NM若点 P满足 PON2()求点 P的轨迹 C的方程；()设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 A、 B两点，直线 A、 B与
7、直线 a分别交于点S、 T（ O为坐标原点），试判断 FST是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由14、在平面直角坐标系 中，已知圆B： 与点 ，P为圆B上的动点，线段PA 的xy2(1)6xy(1,0)A垂直平分线交直线PB于点R ，点 R的轨迹记为曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）曲线C 与 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与 轴重合的直线与曲线 C的交点记为M，Nx x，连结QM，QN，分别交直线 为常数，且 ）于点E ，F，设E，F的纵坐标分别为(xt212,y，求 的值（用 表示）。12yt答案：1、解：（1 ）根据椭圆的几何性质，线段F 1F2与线段B 1B2互相
8、垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 1分故该椭圆中 即椭圆方程可为 3分,2cba2byx设H（x,y）为椭圆上一点，则 4分byyxN 其 中,8)3()(| 22若 ，则 有最大值 5分30|,HN时 96由 （舍去）(或b 2+3b+927,故无解) 6分55096bb得若 7分1|,2有 最 大 值时当由 所求椭圆方程为 8分16182得 63yx（1 ） 设 ，则由 两式相减得),(),(),(021yxQFyxE163221yx又直线PQ直线m 直线PQ 方程为020kx 3k将点Q（ ）代入上式得， 11分,y3100xky由得Q（ ）12分3,k而Q点必在椭圆内部 ，1
9、620yx由此得 ,故当294094,472 kk或又 ),0(),9(k时，E 、F两点关于点 P、Q的直线对称 14分2、解：（） 与圆相切, l21mk221k由 , 得 ,21ykxm2()()0kx,2221204()14()8kmkx,故 的取值范围为 .,k(,)由于 ， 2122112241mxxk201k当 时， 取最小值 . 6分0k（）由已知可得 的坐标分别为 ，12,A(,0)， 12,yx1212ykx12()kxm2112()kmx2221mk，22211k22由，得 ， 为定值. 12分2(3)k3、解：（1 ） 4yx设 1(,)Axy， 2(,)B， 1(,)
10、Dxy， l的方程为 1(0)xmy（2）将 m代人 4并整理得 24，从而 1,.y直线 D的方程为 212()x，即 214()yxy令 10,.4yy得所以点 (,0)F在直线 B上（3）由知， 222()()mm121.xy因为 1,FAxyur2(1,)FBxyur，2122() 48Axyur故 849，解得 43所以 l的方程为 30,0x又由知 126ym 故 121623SKFy4、解：（I）设椭圆的方程为 ，2()yab则 ，得 ， .2291ab216a2所以椭圆的方程为 .3分2xy设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)，kt设 ，则由 ，得12(,)(,Ax
11、yB216xykt,由 ，得 ，234840ktx2216bk，设12234xtk0,Ty,易知，00223,txy0x由OT与OP斜率相等可得 ，即 ，012k所以椭圆的方程为 ，直线AB的斜率为 .6分216xy（II）设直线AB的方程为 ，即 ，xt0yt由 21.6yxt，得 ，10xt， .8分24()4t. 12,t22 22112515|()4(483)6ABkxxtt点P到直线AB的距离为 . |8|5td于是 的面积为10分231|82|116(4)2)5PABtSttt设 ， ，其中 .3()4()ft(f 4t在区间 内， ， 是减函数；在区间 内， ， 是增函数.所以,
12、0ft)t(,)()0f()ft的最大值为 .于是 的最大值为18.12 分42PABS5、解：（）由题意， -1分21|,(,0)Fca为 的中点-2分12 A1,3ba即：椭圆方程为 .2yx -3分 （）当直线 DE与 轴垂直时， 342|abDE，此时 32|aMN，四边形 MN的面积 |S不符合题意故舍掉；-4分同理当 与 x轴垂直时，也有四边形 的面积 |42DES不符合题意故舍掉； -5分当直线 DE， 均与 轴不垂直时，设 : )1(xky，代入消去 y得： .0)63(6)32(22xk -6分设,32,),(121 kxx则-7分所以 14)(| 2212121 kxxx
13、， -8 分所以 3)(|kDE， -9分同理221143()43()| .kkMN-11分所以四边形的面积223)1(43)1(42| kkMNDES 13)(6242k由 ， -12分272Sk所以直线 或:0DElxy:20DElxy或 或 -13分6、解：（）（）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点 F的距离与到准线距离相等，即(,)Mm到 的距离为3；(,2)Mmpy ，解得 2 抛物线 的方程为 4分P4xy（）抛物线焦点 ，抛物线准线与y轴交点为 ，(0,1)F(0,1)E显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 Ek1ykx由 ， 消y得 ， 6分24xk2xk，解
14、得 7分21601切线方程为 8分（）直线 的斜率显然存在，设 ： ，ll2pykx设 ， ，1(,)Axy2(,)B由 消y得 且 2pk20xpk ， ；12x12 ， 直线 ： ， (,)AyOA1yx与 联立可得 ， 同理得 10分2p1(,)2pC2(,)pxDy 焦点 ，(0,)F ， ， 12分12pxy2(,)pxy 12(,)(,)2pxxFCDpyy 221214xpxyy442121204p 以 为直径的圆过焦点 14分F7、解：（1）由题意可得 ， 2分OPM所以 ，即 4分0OP(,)0xy即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5分24xyW2xy（2）设直线 的方程为 ,
15、 ，则 .l4k1(),()AB1(,)Axy由 消 整理得 ， 6分k26x则 ，即 . 7分21640|. 9分,xx直线 212:()yABx12分2122121221()44 y4yxxxx即 所以，直线 恒过定点 . 13分AB(0,4)8、解：（）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，M246所以 ， 1分262ca又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 2分323ca3ca所以 ， . 4分所以 ，椭圆 的方程为 . 5分1b192yx（）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 .BC(3),0nAC)3(1xny由 得 ， 6分2(3),19ynx 16)9(22x设
16、 ， ，因为 ，所以 ， 7分),(yxA),(2yB2893n1932nx同理可得 ， 8分21937nx所以 ， ， 10分16|BC296|nAC， 12分4)(|212nSAB设 ，则 ， 13分nt 23689tSt当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 . 14分38tABC方法二：不妨设直线 的方程 .xkym由 消去 得 ， 6分2,19xkym22(9)90设 ， ，),(A),(2xB则有 ， . 7分129ky219yk因为以 为直径的圆过点 ，所以 .C0AB由 ，12(3,)(3,)Cxx得 . 8分210y将 代入上式，12,kymk得 . 21212()(3)(
17、3)0m将 代入上式，解得 或 （舍）. 10分5所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点），5AB(,)D所以 12|2ABCSDy. 12分212395()14()459ky设 ，21,09ttk则 .245ABCSt所以当 时， 取得最大值 . 14分1(0,89tABCS839、解：（1 ）不妨设221,)(,)yyp（2112,MABABykypkp5分（2 ） AB的直线方程为：22111y-(),0yyx即点M 到AB的距离23pd。7分2121 12112yABxyypyp 9分又由 1yp且 2,0,t令212313y42MABSP 11分设 ()4ftt为偶函数，故只
18、需考虑 0,tp，所以 32,()4()pftpf在 ， 上递增，当 t时， 32maxmax1()MABftS236。 故所求抛物线的方程为 4yx13分10、（ ）解：由题意椭圆的离心率 2cea， ，所以 2,13acb，故椭圆方程为2143xy， 3分则直线 :l， (,0)(,AB，故 (1,),2CD或 1,)2CD， 当点 在 x轴上方时， 1231,2kk，所以 12:3k，当点 C在 轴下方时，同理可求得 12:，综上， :为所求 6分() 解：因为 12e，所以 ac， 3b，椭圆方程为 34xy, (2,0)(,AB,直线 :lxmyc，设 1,(,)CD，由22cm消 得， 22(43)690myc，
