1、2014 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1 已知 ,xy为整数，且满足2 2 4 41 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )3x y x y x y ， 则 xy 的可能的值有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2 已知非负实数 ,xyz 满足 1x y z ，则 22t xy yz zx 的最大值为 （ ） A 47 B 59 C 916 D 12253 在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知3BP ， 1PE ， 则 AE （ ）
2、 A 62 B 2 C 3 D 6 4 6 张不同的卡片上分别写有数字 2， 2， 4， 4， 6， 6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ） A 12 B 25 C 23 D 345 设 t 表示不超过实数 t 的最大整数，令 t t t .已知实数 x 满足 331 18x x，则 1 x x（ ） A 12 B 35 C 1(3 5)2 D 1 6 在 ABC 中， 90C ， 60A ， 1AC ， D 在 BC 上， E 在 AB 上，使得ADE 为等腰直角三角形 , 90ADE ,则 BE 的长为 （ ） A 4 2 3 B 23 C
3、 1( 3 1)2 D 31 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1 已知实数 ,abc满足 1abc ， 111 1a b c b c a c a b ，则 abc _ _ 2 使得不等式 9817 15nnk 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为 3 已知 P 为等腰 ABC 内一点， AB BC ， 108BPC ， D 为 AC 的中点， BD 与PC 交于点 E ，如果点 P 为 ABE 的内心，则 PAC 4 已知正整数 ,abc满足 :1 abc ， 111abc ， 2b ac ，则 b 第二试 （ A） 一、（本题满分 20 分） 设实数 ,ab满足 2
4、2( 1 ) ( 2 ) 4 0a b b b a ， ( 1 8a b b ，求2211ab的值 二（本题满分 25 分） 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，且满足 ECD ACB , AC 的延长线与 ABD 的外接圆交于点 F . 证明： DFE AFB 三（本题满分 25 分） 设 n 是整数，如果存在整数 ,xyz 满足 3 3 3 3n x y z x y z ，则称 n 具有性质 P .在 1， 5， 2013， 2014 这四个数中，哪些数具有性质 P ，哪些数不具有性质 P ？并说明理由 . FCABDE第二试 （ B） 一（本题满分 20 分）
5、 同（ A）卷第一题 . 二（本题满分 25 分） 如图 ， 已知 O 为 ABC 的外心， AB AC ， D 为 OBC 的外接圆上一点，过点 A 作直线 OD 的垂线，垂足为 H .若 7BD ， 3DC ，求 AH . 三（本题满分 25 分） 设 n 是整数，如果存在整数 ,xyz 满足 3 3 3 3n x y z x y z ，则称 n 具有性质 P . （ 1）试判断 1， 2， 3 是否具有性质 P ； （ 2）在 1， 2， 3， ， 2013， 2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 P 的数 有多少个？ HOCABD2013 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试
6、 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.计算 4 3 2 2 4 1 2 4 2 （ ） （ A） 21 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 2.满足等式 2 221mmm 的所有实数 m 的和为（ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 3.已知 AB 是圆 O 的直径， C 为圆 O 上一点， 15CAB， ABC 的平分线交圆 O 于点D，若 3CD ，则 AB=（ ） （ A） 2 （ B） 6 （ C） 22 （ D） 3 4.不定方程 23 7 2 5 1 7 0x x y x y 的全部正整数角（ x,y）的组数为（ ） （ A） 1 （
7、 B） 2 （ C） 3 （ D） 4 5 矩形 ABCD 的边长 AD=3， AB=2， E 为 AB 的中点， F 在线段 BC 上，且 BF： FC=1： 2， AF 分别与 DE， DB 交于点 M， N，则 MN=（ ） （ A） 357 （ B） 5514 （ C） 9528 （ D） 11528 6.设 n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n 为 好数 ，那么，所有 好数 之和为（ ） （ A） 33 （ B） 34 （ C） 2013 （ D） 2014 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1.已知实数 ,xyz 满足 4 , 1 2
8、 9 ,x y z x y y 则 23x z 2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 3( 2)nn 个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 n= 3.在 ABC 中， 6 0 , 7 5 , 1 0A C A B ， D， E， F 分别在 AB， BC， CA上，则 DEF的周长最小值为 4.如果实数 ,xyz 满足 2 2 2 8x y z x y y z zx ，用 A 表示 ,x y y z z x 的最大值，则 A 的最大值为 第二试（ A） 一、（本题满分 20 分）已知实数 , , ,abcd 满足 22 2 2 22
9、3 2 3 6 ,a c b d ad bc 求 2 2 2 2a b c d的值。 二、（本题满分 25 分）已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、 C 作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，若 92OP AC ，求 PBAC 的值。 三、（本题满分 25 分）已知 t 是一元二次方程 2 10xx 的一个根，若正整数 ,abm 使得等式 31a t m b t m m 成立，求 ab 的值。 第二试（ B） 一、 （本题满分 20 分）已知 21t，若正整数 ,abm 使得等式 17a t m b t m m 成立，求 ab 的值。 二、（本题满分 25 分）在 ABC
10、中， ABAC， O、 I分别是 ABC 的外心和内心，且满足 AB-AC=2OI。求证： （ 1） OI BC； （ 2） 2A O C A O B A O IS S S 。 三、（本题满分 25 分）若正数 ,abc满足 : 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2b c a c a b a b cb c c a a b ， 求代数式 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2b c a c a b a b cb c c a a b 的值。 2012 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1 已知 21a， 32b， 62c，
11、那么 ,abc的大小关系是（ ） A. abc B. a c b C. bac D. b c a 2 方程 222 3 34x xy y 的整数解 (, )xy 的组数为 （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1， E 为 BC 边的延长线上一点， CE 1，连接 AE，与 CD交于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE交于点 G，则 BG 的长为 （ ） A 63 B 53 C 263 D 253 4 已知实数 ,ab满足 221ab，则 44a ab b的最小值为 （ ） A 18 B 0 C 1 D 98 5 若方程 2 2 3 2 0x p x p
12、 的两个不相等的实数根 12,xx满足 2 3 2 31 1 2 24 ( )x x x x ，则实数 p 的所有可能的值之和为 （ ） A 0 B 34 C 1 D 54 6 由 1， 2， 3， 4 这四个数字组成四位数 abcd （数字可重复使用），要求满足 a c b d .这样的四位数共有 （ ） A 36 个 B 40 个 C 44 个 D 48 个 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1 已知互不相等的实数 ,abc满足 1 1 1a b c tb c a ，则 t _ 2 使得 5 2 1m是完全平方数的整数 m 的个数为 3 在 ABC 中，已知 AB AC，
13、A 40， P 为 AB 上一点， ACP 20，则 BCAP 4 已知实数 ,abc满足 1abc ， 4abc ，2 2 2 43 1 3 1 3 1 9a b ca a b b c c ，则 2 2 2abc 第二试 一、 已知直角三角形的边长均为整数，周长为 60，求它的外接圆的面积 . 二、 如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， AD OP 于点 D， ADC 的外接圆与 BC的另一个交点为 E.证明： BAE ACB 三、 已知抛物线 216y x bx c 的顶点为 P，与 x 轴的正半轴交于 A 1( ,0)x 、 B 2( ,0)x（ 12xx ）两点，与 y 轴交于点 C， PA 是 ABC 的外接圆的切线 .将抛物线向左平移24( 3 1) 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点 Q，且 QBO OBC.求抛物线的解析式 . EDPOB CA
