1、1doi:10.6043/j.issn.0438-0479.201706031采用独立双应力函数分析纯弯曲复合材料厚壁管张灿辉 *, 张建霖, 柯淼宏(厦门大学建筑与土木工程学院， 福建 厦门 361005)摘要：在纯弯曲复合材料组合管的统一参数法分析中，采用独立双应力函数求解 0和 90特殊缠绕层以及各向同性层，从而代替统一参数当普通层趋向于特殊缠绕层的极限分析，避免了弹性系数关于缠绕角的复杂导数，特别有利于不存在缠绕角而难以计算导数的各向同性材料层，推广了统一参数法的应用范围，是统一参数法的一个重要改进。数值算例中采用本文改进的统一参数法分析了不同复合材料组合管，结果与有限元精细模拟吻合较
2、好，说明本文方法的有效性。关键词：复合材料管；纯弯曲载荷；统一参数法；独立双应力函数法中图分类号：O 39 文献标志码： A早期复合材料的应用主要局限于薄壁非承力构件如夹层结构的表皮（壁厚 3 mm 左右） ，目前已逐步应用于承力构件且已从次承力构件转向主承力构件例如一些大型飞机的复合材料厚壁结构（壁厚 50mm 左右） 1。复合材料厚壁管是一种典型的主承力构件，在航空、航天器结构中有着广泛的应用 2，同时在民用方面也十分普遍如跳高运动员撑竿 3和自行车支架 4等。作为主承力构件复合材料厚壁管在设计中更需要准确计算，但由于截面厚且曲率大，经典层合板壳理论 5及其他近似方法 6和实验研究 78难
3、以满足精度要求，而实际工程中由于层数众多且单层极薄，在有限元等数值模拟中也难以在厚度方向上进行精细建模 9，因此，需要采用弹性理论精确求解，而大曲率导致的材料高度各向异性以及较为复杂的弯曲载荷工况又具有很大的挑战 1011，但也充满机遇，因此，对此进一步研究具有重要的经济价值和深远的社会意义。复合材料结构的三维弹性力学理论求解主要包括 Lekhnitskii12的柔度法和 Stroh13的刚度法，Ting 14作了较为详细的总结，Tarn 等 15、Jolicoeur 及 Cardou16和 Zhang 及 Hoa 等1718进一步发展了 Lekhnitskii12的双应力函数柔度法。对全由
4、0和 90特殊缠绕层以及各向同性材料层组合的特殊复合材料管，由于不存在面外应力而只需要单个应力函数求解 121920。但当有其他普通缠绕层与之相邻时，即便是特殊缠绕层和各向同性层也需要采用双应力函数进行求解 21。对复合材料管的普通缠绕层可以采用统一联系参数法 17求解双应力函数，但当普通缠绕层趋向于 0或 90特殊缠绕层时需要分析统一参数的极限，由于与具收稿日期：2017-06-24 录用日期：2017-08-24*通信作者：2体复合材料的弹性系数导数有关而十分复杂，特别是对于各向同性材料层由于不存在缠绕角度而难以进行导数计算。本文采用独立双应力函数法直接求解特殊层，代替了统一参数中当普通层
5、趋向于特殊缠绕层的极限分析，避免了复杂的弹性系数求导，特别有利于与缠绕角无关而难以求导的各向同性材料层。1 双应力函数及其传统方法图 1 纯弯曲载荷作用下的复合材料管Fig 1 composite tube subjected to pure bending loading复合材料管是由多层纤维以不同角度缠绕而成的高度各向异性的复杂结构，纯弯曲载荷 和 作用下的复合材料管如 图 1 所示，其中， 和 以及 为xMy nb1n(,2)NL第 层的内外半径及其纤维缠绕角。柱坐标系下复合材料管内各层均具有以下形式的本构n关系 12* MERGEFORMAT (1)12134231423456000r
6、 rz zrz rzCC 式中， 为圆柱坐标系下的弹性系数。复合材料管中的主要应力分量为沿着轴线的弯曲应ijC力分量 ，主要受复合材料管整体弯曲变形影响，而次要应力分量面内应力分量包括平行z3于横截面的面内应力分量 、 和 以及垂直于横截面的面外应力分量 和 ，仅与rr zr横截面的局部变形包括形状改变和翘曲有关（应力单元如 图 1 所示）。Lekhnitskii 提出如下缩减弹性系数 12* MERGEFORMAT (2)3 (,2,456)ijijijC当缠绕角为 或 时材料主坐标系与圆柱坐标系重合，为圆柱型正交各向异性材料。09在实际工程应用中，复合材料管可以根据需要采用数量不同的纤维材
7、料和铺层角，从而形成性能各异的复合材料管，由于 特殊缠绕角有利于复合材料管整体稳定，因而在工程0中应用广泛。当 0或 90特殊缠绕时* MERGEFORMAT (3)14234560C把式* MERGEFORMAT (3)带入* MERGEFORMAT (2)中可得该特殊层的缩减弹性系数如下：* MERGEFORMAT (4)142560Lekhnitskii12首先提出了包含两个应力函数的柔度法，其中，对于复合材料管纯弯曲问题，将面内应力分量表示成应力函数 的如下形式(,)Fr* 2221, , r rFrMERGEFORMAT (5)同时，将面外应力分量表示成应力函数 的如下形式(,)r*
8、 MERGEFORMAT (6)1, rzzr复合材料管纯弯曲的三维弹性力学问题是一个广义平面应变问题，其弯曲应力可以表示成如下形式 12* 1323431(sincos)zxyrzrrCCMERGEFORMAT (7)由* MERGEFORMAT (7)可见，弯曲应力与曲率 和 以及面内应力* xyMERGEFORMAT (5)和面外应力 * MERGEFORMAT (6)有关，但体现整体弯曲变形的轴线曲率是主要的而与横截面形状改变和翘曲的局部变形有关的面内应力和面外应力是次要的。在纯弯曲复合材料管分析中可以进一步采用变量分离方法将双应力函数假设为如下形式4* MERGEFORMAT (8)
9、(,)sincos)(xyFrfr将式* MERGEFORMAT (8) 带入相容方程 12可得到以下两个常微分方程* 43 21262 423256132142 32514 2432 () 1ddr rfrr Crddrrr 63534422 () ()drfrC MERGEFORMAT (9)对复合材料组合管纯弯曲的求解可以将联立的相容方程组* MERGEFORMAT (9)转化为更加高阶的微分方程 12，但在柱坐标系下比较困难，为此，Jolicoeur 和 Cardou16通过引进双应力函数之间的联系参数建立起它们之间的桥梁，但存在无穷大参数，Zhang 和Hoa1718对联系参数法 1
10、6进行了初步改进从而提出了统一联系参数法* MERGEFORMAT *2411313*2()i ii immiiiiiKfrrgrrg(10)式中 和 为与* MERGEFORMAT (9)两个与特解有关的参数， 为与* 12 (1,234)imMERGEFORMAT (2)中缩减弹性系数有关的特征参数， 与 和 与 为特征参数1g2*g所对应的统一联系参数。 (,34)imLekhnitskii12在求解复合材料管纯弯曲问题时只考虑 90特殊缠绕单层的情况，由于没有面外剪切应力事实上属于单应力函数问题。Zhang 和 Hoa20考虑了全部由特殊缠绕层组合的情况如0/90 ，但也属于单应力函数
11、问题。Xia 19分析了夹层复合材料管纯弯曲问题，由于把交叉缠绕面层等价为 90缠绕层，所以求解的是一个包含等价的 90特殊缠绕层和各向同性芯层的夹层组合管，也没有面外剪切应力从而只需要单应力函数即可。然而，并非所有特殊缠绕层和各向同性层都不存在面外切向应力而仅需要单应力函数，事实上当有其他缠绕层与之相邻时，不仅有面内应力而且有面外应力，所以，即便是特殊缠绕层和各向同性层，也需要引进双应力函数并采用统一参数法进行求解。但是，在统一参数法中当普通缠绕层趋向于特殊缠绕层时* 5MERGEFORMAT (10)中的联系参数 与 为 0/0 不定型，可以利用洛必塔法则通过材料*3g4参数关于缠绕角的导
12、数求解它们的极限，但比较复杂；特别是对于与普通缠绕层相邻的各向同性层，由于仍然存在面外剪切应力而必须采用双应力函数求解，而该各向同性层又不存在任何缠绕角度，所以难以采用关于缠绕角导数来求解统一联系参数的极限。为此，需要进一步对统一联系参数法进行研究。2 独立假设双应力函数法对于 0和 90特殊缠绕层以及各向同性材料，把* MERGEFORMAT (4)代入* MERGEFORMAT (9)可得* 43 2126 1322 45422 1()()0Cddr rfrrr MERGEFORMAT (11)由* MERGEFORMAT (11)可见双应力函数 和 互相独立，所以，虽然与普通缠()fr绕
13、层比邻的特殊缠绕层特别是各向同性层由于仍然存在面外剪切应力而必须采用双应力函数求解，但可以独立求解这两个应力函数而不需引进它们之间的任何联系参数。假设和 具有以下形式的解()fr* MERGEFORMAT (12)1(), ()I ImmfrKr代入* MERGEFORMAT (11)所对应齐次微分方程可得两个独立特征方程* MERGEFORMAT 2212645()()00II(13)由* MERGEFORMAT (13) 求得零特征根之外的如下特征根* MERGEFORMAT 1 1126542 2, I Imm(14)容易验证微分方程* MERGEFORMAT (11) 第一式的特解可表
14、示如下* MERGEFORMAT (15)211()fr6式中* MERGEFORMAT (16)1321126C于是微分方程* MERGEFORMAT (11) 的通解为* MERGEFORMAT 2 2131 1(), ()I Ii immi iKfrrrKr (17)显然，在统一联系参数法中当特殊缠绕层特别是各向同性层时，直接在* MERGEFORMAT (10)中令* MERGEFORMAT (18)*123420gg即可得到与* MERGEFORMAT (17)完全等价的结果，换言之，* MERGEFORMAT (17)就是统一联系参数法中当普通缠绕层趋向于特殊缠绕层的极限，可以代替
15、在统一联系参数法中代替该极限，从而避免了与弹性系数复杂导数有关的极限分析过程，这对于与缠绕角无关从而难以求导的各向同性层尤其重要，推广了统一参数法的应用范围，是统一参数法的一个重要改进。利用* MERGEFORMAT (17)可以由* MERGEFORMAT (5)求得应力分量，再利用所求应力分量由* MERGEFORMAT (1)得到应变并进一步利用几何方程得到关于位移的微分方程，最后对位移微分方程进行积分可以求得位移表达式。在此基础上，采用完全类似于常规联系参数法 16或者统一联系参数法 1718的求解步骤，可以由复合材料管表面自由边界条件和层间应力和位移连续性得到每个普通缠绕层的 和 或
16、者特殊层的1,2,nK*3,4,n和 ，其中 。最终，利用弯曲应力* MERGEFORMAT (7)1,2,InK1,2,IIn1,2NL和杆端载荷条件求得复合材料管轴线的曲率如下* MERGEFORMAT (19), ()()yxMEII其中， 为复合材料管等效抗弯刚度，可以表示成每层等效抗弯刚度 之和的形式()EI ()nEI如下* MERGEFORMAT (20)1()()NnEII式中对普通缠绕层的等效抗弯刚度表示如下 17187* ,222 1.13,2,34,3. 224* 1,13,23,34,3 ,1,23,2,34,()(1)()1ininjnjnmninninii ijnj
17、njnjnjj jnnnbEIKCmCggb 1MERGEFORMAT (21)而对于特殊缠绕层的等效抗弯刚度表示如下* ,222 1,13,2,3, ,411,23,()()ininmIninnii innbEIKCMERGEFORMAT (22)特别对于复合材料组合管中的各向同性层，由于* MERGEFORMAT (23)12312324562(1), , CCCEEE式中 和 分别是杨氏弹性模量和泊松比，把* MERGEFORMAT (23)代入* EMERGEFORMAT (2)可得* MERGEFORMAT (24)21212456(1)2(1), , EEE把* MERGEFORM
18、AT (24) 代入* MERGEFORMAT (14)和* MERGEFORMAT (16) 可得* MERGEFORMAT (25)11122, , 0IIm因此，各向同性层等效抗弯刚度可表示如下* MERGEFORMAT (26)1,()4)InnnEIKEI式中* MERGEFORMAT (27)41()nbI由* MERGEFORMAT (26)可见，由于通常 所以 即和材料力学中理论1,0InK()nEI所得结果略有不同。83 数值算例考虑纯弯曲载荷作用下的八根简单复合材料组合管，左端固支而右端作用线性分布荷载所示，等效弯矩为 和 。复合材料组合管的内部为钢管而外部缠绕8kNmxM
19、0y复合材料，钢管的弹性模量和泊松比分别为 和 ，采用表 1 所示复合21GPaE0.25材料(Carbon/Epoxy)，长度为 ，铺层顺序及其几何参数见 图 2，其中，复合材料组60合管Steel/90只包含 90特殊缠绕层和各向同性材料层，而Steel/25和Steel/25在特殊的各向同性材料层之外还包含有一般的 25缠绕层和25 交叉缠绕层。采用本文改进的统一联系参数法进行计算，并与精细有限元数值模拟结果进行对比，其中精细有限元采用三维六面体单元，以复合材料组合管Steel/90为例，有限元模型如 图 3 所示，包括单元个数24000，节点个数 28633，本文的理论解析求解和有限元
20、数值求解的应力结果对比如 图 4 所示。表 1 复合材料（Carbon/Epoxy）的材料参数Tab. 1 Composite material (Carbon/Epoxy) properties/GPa1E/Gpa2/GPa3E/GPa12G/GPa13/GPa23G1232155 12.1 12.1 4.4 4.4 3.2 0.248 0.248 0.4580.243.stel25(c)stel/250.24.stel(a)stel0.243.stel90(b)stel/90 0.243.6stel25(d)Stel/25图 2 复合材料组合管横截面几何参数Fig 2 Geometrica
21、l dimension of cross section for composite tubes91bN+1L图 3 复合材料组合管有限元模型Fig 3 FEM model for composite tubes24 28 32 36 40-5-2.502.557.5r(m)Stres(MPa) (9),180rz24 28 32 36 40-50-2502550r(m)Stres(MPa)(90)z24 28 32 36 40-8-404r(m)Stres(MPa) ()rz24 28 32 36 40-40-2002040r(m)Stres(MPa)(90)24 28 32 36 4001
22、00200300400r(m)Stres(MPa)9)zrz,rzr24 28 32 36 40-15-10-50510r(m)Stres(MPa)Stel元元元元Stel元元元元元元Stel/90元元元元Stel/90元元元元元元Stel/25元元元元Stel/25元元元元元元Stel/25元元元元Stel/25元元元元元元图 4 复合材料组合管的典型应力规律Fig 4 Typical stresses for composite tubes通过复合材料组合管应力分量随半径的变化曲线可见，本文方法与精细有限元数值模拟结果吻合较好，验证了本文方法是准确和可靠的。从计算结果可见：复合材料组合管S
23、teel/90由于不包含其他普通缠绕层面外剪切应力为零 ，而其他复合材料组0zr10合管由于同时包含了普通层，使得与之相邻的各向同性层（钢管）也存在面外剪切应力和 。但复合材料组合管Steel/25由于交叉缠绕层在一定程度上可以近似等0zrz价为 90特殊缠绕层，该钢管面外剪切应力虽不为零但比较小。在上述算例中需要指出，因为特殊层外紧邻有普通缠绕层，所以必须采用双应力函数求解，以往的单应力函数法 121920难以求解；还需要指出，由于包含了各向同性材料层，因此，以往的统一参数法 1718也难以有效处理。另外还需要指出，本文虽然对层数较少且相对厚度较小的简单复合材料管采用有限元进行精细分析以验证
24、本文理论方法的准确性和可靠性，但一般实际工程中的复合材料管由于层数众多且相对层厚极小所以很难在厚度方向上采用有限元进行精细建模，因此通常需要采用经典层合板理论或有限元分析中的层合单元进行近似；然而，一旦通过简单复合材料管验证了本文理论方法的准确性和可靠性，就可以采用这种理论方法去准确分析层数众多且相对层厚极小的实际工程复合材料管了，而这种实际复合材料管是有限元等数值方法难以精细模拟的。4 结 论本文采用独立双应力函数求解复合材料管中 0和 90特殊缠绕层以及各向同性层，由于可以代替统一参数的极限分析，避免了弹性系数关于缠绕角的复杂导数，特别有利于不存在缠绕角而难以计算导数的各向同性材料层，从而
25、很好地改进了传统的统一参数法。参考文献：1 肖加余, 曾竟成, 彭超义. 碳纤维复合材料作用主承力结构在航空航天上的应用C. 第十三届全国复合材料学术会议, 成都, 2004: 1258-1264.2 杜善义. 先进复合材料与航空航天J. 复合材料学报 , 2007, 13(4): 1-12.3 王臻, 戴瑛, 嵇醒. 复合材料撑竿性能对撑竿跳高高度的影响J, 力学与实践, 2008, 30(3): 67-704 陈阳, 李雪清, 孙志宏等. 基于碳纤维管状复合材料自行车架的有限元分析 J, 纺织机械, 2014(2): 26-295 张亮泉, 李惠 , 欧进萍. 纤维缠绕 CFRP 圆管强度特性分析及试验研究J, 玻璃钢/复合材料, 2010(3) : 3-66 SHADMEHRI F, DERISI B, HOA S V. On bending stiffness of composite tubes. Composite Structures, 2011, 93(9), 2173-2179.7 易洪雷, 周祝林, 吴妙生. 复合材料圆管弯曲强度研究J. 纤维复合材料, 2008, (2): 1-
