1、纯数学是这样一门学科，在其中我们并不知道我们在谈论什么，或者我们不知道我们所谈论者是否是真的。罗素Bertrand Russell （1872-1970）定理与真理1.梦想与悖论1.1 笛卡尔(Ren Descartes ,1596-1650)笛卡尔，法国哲学家、数学家、物理学家、解析几何的奠基人。1596 年 3 月 31 日生于法国的图伦，1650 年 2 月 11 日在斯德哥尔摩去世。他在科学史上首次提出了运用少数几条基本法则来理解所有物理变化；致力于把所有知识融为一个统一整体，并对这一新科学的方法论和哲学意义进行了系统的研究。年轻时，笛卡尔以数学经验为基础，创立了一种实用的研究方法；中
2、年后，他转向哲学，提出“我思故我在”的怀疑观，使同时代的思想家从中世纪基督教思想的束缚下获得解放。但 他终生信仰天主教，也致力于科学与宗教的协调。1619 年 11 月 10 日，笛卡尔陷入了对“在我的一生中，我该走哪条路（Ausonius: Quod vitae sectabor iter） ”的思索中,随后，他产生了一系列幻觉和梦幻，这促使他进一步明确自己的生活、工作。他作了三个梦。第一个梦，他看到自己在旋风里蹒跚，而这股旋风对其他人似乎没有什么影响。他被惊醒后祈求保护，在重新入睡前，对善恶沉思了大约两小时。一阵刺耳的喧闹又把他惊醒，他看到了房间里充满了亮光，眨了眨眼，他又睡着了。第三个梦
3、是几本书，还有一个陌生人给了他一首以“是与否”开始的诗。其中有一本书是百科全书，笛卡尔认为它代表了众多科学的统一，那首以“是与否”开头的诗，代表了真理与谬误。笛卡尔将这些梦理解为一种启示，即他的著作应根据几何学原理将所有知识统一起来。这一发现使他认为自己掌握了一门非凡的新科学，从此，笛卡尔便开始寻找能够揭开宇宙奥秘并展示科学统一的方法。1928 年，他结束探求真理的指导原则的写作，于 1701 年才发表。1637 年 6 月 8 日，笛卡尔发表了著名的哲学著作更好的指导推理和寻求科学真理的方法论 ，简称方法论 ；揭示了在科学中正确运用理性和追求真理的方法论。该书有三个附录：折光学 、 气象学
4、、 几何学 。在几何学一书中笛卡尔创立了解析几何。1.2 笛卡尔之梦探求真理的指导原则是指导心智的 21 条原则。原则一:：指出研究的目的，应该是指导我们的心灵，使他得以对于世上呈现的一切事物，形成确凿的、真实的判断。原则二：指出应该仅仅考察凭我们的心灵似乎就足以获得确定无疑的认识的那些对象。笛卡尔原则四：指出方法，对于探求事物真理是绝对必要的。原则五：指出全部方法，只不过是：为了发现某一真理而把心灵的目光应该观察的那些事物安排为秩序，如欲严格遵循这一原则， ，那就必须把混乱暧昧的命题逐级简化为其它较单纯的命题，然后从直观一切命题中最单纯的那些出发，试行同样逐级上升到认识其它一切命题。在方法论
5、中，笛卡尔给出了寻求知识的一般途径，我们可以表示为下图。在方法论的附录几何学中，笛卡尔又给出了一种大胆的设想：一切问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题都归结为单个代数方程的求解问题。即：这样人类的所有问题，都可以通过逻辑计算，理性地、系统地加以解决。笛卡尔的梦想就是设计寻求知识的一般途径，将世界数学化。即数学真理 =数学定理笛卡尔计划的一个具体的实现方案就是将思维演算化、计算化，以至于可以计算机化。1642 年，帕斯卡发明了加法机，即可以进行加减运算的计算机。1673 年莱布尼兹创制了第一台能做四则运算的计算机。同时他指出解析几何如同一台庞大的绞肉机，你把问题塞进去，只要摇动曲柄，就可以得
6、到答案。莱布尼兹（Gottfried Leibniz ,1646-现实问题数学问题（几何问题）代数问题（解析几何）多项式方程组一元高次方程仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西从简单到复杂的推理进行检验把大的困难拆分成小的困难莱布尼兹1716） 德国数学家、哲学家。1647 年 7月 1日生于莱比锡，1716 年 11月 14日卒于德国西北部的汉诺威。他的多才多艺在科学史上少有人能及。莱布尼兹终身致力于寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，他和牛顿各自独立的创立了微积分。他是现代计算机设计所用二进制语言的发明者，并将其与中国的八卦联系起来；对此，莱布尼兹曾高兴地说“可以让我加入中国籍了吧” 。
7、沙勒（Michel Chasles,1793-1880） 法国数学家。1793 年 11月15日生于艾佩尔农，1880 年 12月 18日卒于巴黎。他利用几何方法研究确定代数问题的解的个数，开创了枚举几何。他一贯强调要以历史发展的眼光来观察数学史上的创造。1837 年，怀着对几何思想发展史的浓厚兴趣，他写了几何方法的起源和发展的历史概述这本重要的数学史著作。在这本著作中，他指出“为几何大厦添砖加瓦，从此就用不着天才那样的人物了” 。1.3 逻辑悖论的出现1900年前后,集合论中出现的 3个著名的悖论:布拉利-福尔蒂悖论（1897） 、康托尔悖论（1899） 、罗素悖论（1903） 。布拉利-福
8、尔蒂悖论是一个关于序数的悖论：设 W为一切序数所组成的集合。因为 W按自然大小顺序成一良序集，故 W有一序数 。由序数性质，这 必比 W中任一序数都大；但由定义， 也出现于 W中，从而有 ，而这是矛盾的。康托尔悖论是关于基数的悖论：设 S为一切集合所组成的集合。考虑 S的势 。因为任s何集合都是 S的子集，故不存在其势大于 的集合；但由康托尔定理知道，S 的幂集 P(S)的s势 (s)大于 。这就得到了矛盾。ps罗素悖论中，罗素指出了在日常语言和逻辑中可以出现悖论：设 R 为一切不属于自身的集合所组成的集合。在朴素集合论中这样的 R 是合法的。 R 是否属于 R？若 R 属于 R，则 R 是
9、R 的元素，于是 R 不属于自身，即 R 不属于 R；若 R 不属于 R，则 R 不是 R 的元素,于是 R 属于自身，即 R 属于 R。这是矛盾的。由于布拉利-福尔蒂悖论、康托尔悖论都涉及非常专门的术语和概念，在当时并没有引起重视，人们认为这些悖论只是因为某些推理环节上的失误所造成的。而罗素悖论清楚明了地指出了集合论本身存在着矛盾，从此，这些悖论开始受到人们的关注。1919 年，罗素又给出上述悖论的一个通俗形式，使得这个悖论为更多的人所了解。这就是著名的理发师悖论：某乡村理发师宣布了一条原则，他只给本村那些不给自己理发的人理发。问谁给理发师理发？如果理发师给自己理发，那么他是自己给自己理发的
10、人；据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他不应给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么他是不给自己理发的人；据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他应该给自己理发。这是矛盾的。还有埃庇米尼得斯悖论或说谎者悖论：这个句子是错的。如果这个句子是错的，那么上述断言是错的，这个句子应该是对的；如果这个句子是对的，那么上述断言是对的，这个句子应该是错的，这是矛盾的。沙勒罗素这些悖论的一个总的特点，就是所谓的自指（self-reference） ，再加上非欧几何出现的矛盾，使的数学的确定性得到了很大程度上的质疑：数学理论是完全的、没有矛盾的吗？通过建立集合论的公理化，化解了悖论，没有
11、发现新的悖论。但是，集合论公理化体系的一致性问题还是没有得到解决。庞伽莱（Henri Poincar ,1854-1912） （法国）对此评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼” 。1.4 1930 年之前的两个基本问题 旧的悖论虽然暂时克服了，但是发现新的悖论的危险依然存在；1930 年以前，有两个基本问题困扰着数学界：数学的完全性（completeness）如果说一个数学系统是完全的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的；即每一个数学真理都对应着一个数学定理。数学的一致性（consistence）如果说一个数学系统是一致的，那么不可能得出 00 的结果；或者
12、不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即不能出现悖论。2.希尔伯特纲领希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)，德国数学家。1862 年1月 23日生于哥尼斯堡，1943 年 2月 14日卒于哥廷根。1880 年入哥尼斯堡大学，1885 年获博士学位。1892 年任该校副教授，翌年为教授，1895 年赴哥廷根大学任教授，直至 1930年退休。自 1902年起，一直是德国数学年刊主编之一。希尔伯特是二十世纪最伟大数学家之一，他的数学贡献是巨大的和多方面的。他典型的研究方式是直攻数学中的重大问题，开拓新的研究领域，并从中寻找带普遍性的方法。他的数学工作主要是代数不变
13、问题（1888-1893） 、代数数域论（1894-1898） 、几何基础（1899-1903） 、狄利克雷原理与变分法(1904)、积分方程与无穷维空间理论（1904-1912） 、物理学（1912-1922） 、数学基础（1918 年以后） 。2.1 希尔伯特纲领建立的原因1900年巴黎会议上希尔伯特提出了著名的 23个问题，其中第二个问题涉及到了证明数学推理的可靠性。也就是说，只要按照数学推理的规则，就不应该得出相互矛盾的陈述；因为一个命题和它的否定不应该都是定理.这种自洽性（self-consistency）或一致性是希尔伯特心目中任何类型的公理化系统的必要条件。事实上自洽性或一致性对
14、于一个系统来说是至关重要的。对此，罗素曾经举了一个例子，来证明“罗素就是教皇”：命题是：如果 2+2=5，那么罗素就是教皇（the Pope） 。罗素的证明是：如果我们承认 2+2=5， 那么我们在方程的每一边减 2，则有 2=3；两边互换，得到 3=2；再在两边都减去 1，则有 2=1。因为教皇和罗素是两个人，且 2=1，所以教皇和罗素是一个人，所以罗素就是教皇！以上论证是严密的，但结论显然是荒谬的。原因是我们的题设 2+2=5，破坏了我们已有系统（2+2=4 ）的一致性（在同一个系统中，2+2=5 与 2+2=4 是相互矛盾的陈述） ，所以说如果一个系统是不一致的，则可以按照我们的喜好来证
15、明一个论断是真的，或者是假的，那样的话，我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。希尔伯特为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？毕竟，至少从欧几里得（Euclid）时代起，这种让希尔伯特不太放心的特别的方法始终被数学家们成功地使用着，怎么现在就有问题了？难道 2+2=5 真的可以发生？三角形的内角和等于 180 还会有什么问题吗？这种担心还真的出现了。首先让我们回忆一下欧几里得的几何原本 。几何原本 （Elements）,古希腊数学家欧几里得所著。最早的印刷本出现于 1482 年威尼斯。这是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数的几个原始的定义、
16、公设、公理出发，通过逻辑推理，得到一系列命题。这种精神充分体现在欧几里得的几何原本中。在欧几里得系统中，三角形内角和等于 180、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（欧几里得第五公设）。公元前 3 世纪到 18 世纪末，数学家 们一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让 他们耿耿于怀， 这就是欧几里得第五公设。从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃对第五公 设的努力。19 世纪上半叶，波约(Janos Bolyai ,1802-1860)（牙匈利）和罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevski ,1792-1856） （俄国）各自独立地证明：存在着完全一致的、关于点和
17、线的数学系统，他们不同于欧几里得的系统；称为非欧几何。继罗氏几何后，德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）在1854年又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏非欧几何的新非欧几何。在这些非欧几何系统中，三角形的内角和可以小于 180（双曲几何） ，也可以大于 180（椭圆几何） 。下表给出了上述三种几何的比较。欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼平面一条平行线 = 180平面宇宙冷寂双曲(马鞍)许多平行线180封闭宇宙大挤压目前，在对宇宙中物质分布的观察中，发现宇宙在大尺度的结构上遵守波约和罗巴切夫的几何；在其中给定一条直线和线外一点，通过此点我们可以画无数条与给定直线平行的直线。上述
18、几种非欧几何以及其他类型几何（如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何、高维几何、射影几何、微分几何及较晚的拓扑学）的出现,引起了对数学对象和外在世界关系的疑问。因为根据定义，宇宙是真实的世界；而点、平行线和三角形看来远不是可用感觉获知的，他们存在于头脑中，就像可感知物存在于物质对象和日常事件的宇宙中。引发希尔伯特担心的，是上述三角形的问题；然而，比欧几里得几何更让希尔伯忧虑的是，在 20 世纪初，罗素等人证明，在日常语言和逻辑中可以出现悖论。对这些逻辑疑难的一个著名的说明是理发师悖论。逻辑工具是构造数学证明时最终依赖的方法；然而，标准的几何原本罗巴切夫斯基 波约逻辑推理方法对理发
19、师悖论这样似乎很简单的问题也无能为力。对于数学家来说，每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。但是，在古典逻辑的框架内，理发师悖论成为一个不可判定论题（undecidable） 。这就是希尔伯特等人开始关注整个数学的逻辑一致性问题的原因。2.2 希尔伯特纲领建立的动机希尔伯特纲领建立的动机,就是避免那些悖论混入数学领域。希尔伯特感觉到之所以会产生类似于罗素悖论中所存在的悖论性因素，主要是由于其陈述中的“语义”内容所导致的。他相信，铲除在数学中出现这种悖论可能性的一个方式，就是为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假
20、。这样的框架，现在被叫做形式系统，也就是形式化了的公理系统。形式系统由语言、公理、推理规则三个部分组成。形式系统的语言一般采用人工语言，其中规定了语言的符号；符号的有穷序列即符号串称为一个表达式。就像自然语言中并非所有的字母的序列都是句子一样，并非所有的表达式都有意义。人们希望指出有意义的那部分表达式，称之为公式。形式系统中公理需满足的唯一条件是它是该系统语言中的一个公式。推理规则陈述如何由有穷个确定的公式得到某一确定的公式。在形式系统中，证明的一般思路是，从公理出发，使用推理规则，将公理变成新的公式（即符号串）的有序系列，其中每一个公式（符号串） ，或者本身是一个公理，或者是以推理规则从它的
21、前身中推理出来的，在这个系列中的最后一个公式（符号串）被叫做该系统的定理。形式系统中所有的公理是定理；若推理规则的假设都是定理，则它的结论也是定理。形式系统的一个公式是否是它的定理是可以机械的检查的。简而言之，在形式系统中：公式：按照一定的形式规则排列的符号串；公理：一个公式；推理规则：如何由有穷个确定的公式（规则的假设）得到某一个确定的公式（规则的结论）定理：1. 公理； 2. 若规则的假设是定理，其结论也是。希尔伯特的目的，就是要在数学结构的真事实（真理）与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。希尔伯特相信，这样做，就不会有任何罗素型悖论会潜入数学真理的世界中，即使有这样的悖论也
22、许存在于含糊不清的自然语言的领域里。他的纲领所要做的就是，把整个数学真理全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。2.3 希尔伯特纲领希尔伯特纲领的第一步，建立形式系统；第二步，考虑数学结构，将数学对象与形式系统中的符号、公式相匹配，用不含意义的形式语言来解释含有意义的数学对象。我们用图表示如下：数学结构符号和公式公理推理规则定理形式系统（句法）数学世界（语义）数学对象 1数学对象 2数学真理1920 年到 1930 年间，希尔伯特和他的学生阿克曼（Wilhelm Ackerman） 、伯奈斯（Paul Bernays） 、冯诺伊曼开展了所谓的元数学（或称证明论）
23、的研究,它是以数学证明为研究对象的数学理论。希尔伯特等人侧重于公理系统的无矛盾性的研究，他们希望用本身无可怀疑的方法（即希尔伯特等人所说的有穷方法，有时又称初等方法）来论证整个数学是无矛盾的。元数学第一次使一门数学理论整体的作为一个确定的、可用数学方法来研究的研究对象。这是建立任何形式系统的一致性的一种方法。其基本思想是：如果想研究日语的有效性和综合性，用日语来研究就会有局限；但是如果英语是一种有效的语言，那么就可以利用英语来研究日语。这表明从系统内可以说什么和从系统外关于这个系统可以说什么是有区别的。在元数学中，希尔伯特提议不使用那些有争议的推论，诸如用矛盾去证明存在、超限归纳、实无穷集、非
24、断言性的定义、选择公理等等。存在性的证明也必须是构造性的。希尔伯特把元数学的证明的概念与方法称为是有限性的（finitary） 。在 1928 年 9 月意大利博洛尼亚国际数学家大会（ICM）会议上，希尔伯特在谈到他的元数学方案时自信地说：“利用这种新的数学基础人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。 ”所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。2.4 希尔伯特的梦想希尔伯特所梦想的就是构造一个形式系统，其中每一个数学真理都可翻译成一个定理；反过来，每一个定理都可翻译成一个数学真理，即它是完备的。而且，数学真理和它的否定不能都翻译成定理，不能都在该形
25、式系统中可证，即它又是一致的。形式系统的公式如果是一个定理，就一定可以通过一连串适当的推导机械地验证。证明在本质上就是对一些符号的机械的操作。希尔伯特所追求的正是某种证明真理的机器。只要在机器的一端输入所需要证明的陈述，摇动手柄，答案就会从另一端蹦出来：要么是真，要么是假。这个证明机器将给每一个数学论断一个明确的结论。他相信，他的“程序”最终将产生出全部数学的完全的公理化。希尔伯特向数学家们提出号召，将每一个数学真理都形式化，从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。3.梦想的破灭1900 年，希尔伯特把注意力从几何基础转移到了分析基础，并给分析提供了一个公理系统，在同年的巴黎国际数学家大会上
26、，他作了著名的 23 个问题的报告，其中第二个问题，就是“算术公理的一致性” 。1928 年 9 月意大利博洛尼亚国际数学家大会上，希尔伯特提出的至关重要的基本问题是：可否证明每一个真的数学陈述。这个问题改变了我们思考逻辑上可证与实际上是真这两者之间关系的方式。其实在此以前，数学家就已经知道作为整体的数学一致性问题可还原为算术一致性的问题，即自然数之间的性质和关系的一致性。这样，作为整体的数学一致性问题就转化成给“算术理论”一个形式系统。希尔伯特指出这个形式系统应该是：1.有穷可描述；2.完全的；3.一致的；4.足以表达对自然数可以做的全部陈述。有穷可描述指不仅系统的公理和推理规则的数量和长度
27、都应在有穷步骤内可以构造；而且系统中的每一个可以证明的陈述（每一个定理）都应在有穷步骤内可以证明。也就是说只有可以结果：真假定理陈述证明机器希尔伯特的形式系统向他人讲述，我们才可能真的拥有一个理论；如果证明序列中的公理、推理规则的数量是无穷的，我们就不可能向他人讲述。算术形式化的核心问题是，是否存在有穷的步骤，我们可以据此判定每一个算术陈述的真或假。希尔伯特对算术形式化满怀坚定的希望，并在博洛尼亚宣言中激励国际数学家去发现或创造这样的形式化。1931 年，距希尔伯特的博洛尼亚宣言不到三年，哥德尔就发表了震撼世界的哥德尔不完全性定理。3.1 哥德尔不完全性定理1931 年哥德尔在其“论数学原理及
28、其有关系统中的形式不可判定命题”的论文中陈述了哥德尔不完全性定理，该定理由第一、第二两个不完全性定理组成。哥德尔不完全性定理：哥德尔第一不完全性定理：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题 A 使 A 与 A 的否定在该系统中皆不可证。哥德尔第二不完全性定理：在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾）这一论断本身。也就是说，一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。它揭示了一个事实：算术是不可完全形式化的。它揭示了形式化方法的局限性，使希尔伯特形式系统方案的梦想受到了沉重的打击
29、。3.2 哥德尔定理的证明哥德尔（Kurt Godel ,1906-1978） ，美国数理逻辑学家、哲学家。1906 年 4 月 28 日出生于捷克的布尔诺(Brno)。童年的哥德尔很敏感、好奇心强，被叫作“为什么先生” 。哥德尔兴趣很广，从语言到历史、数学、物理和哲学。1924 年 入维也纳大学，理论物理；1929 年获奥地利国籍，完成博士论文。1931 年不完全性定理发表。1940 年定居普林斯顿；1948 年加入美国国籍。1978年 1月 14日在普林斯顿去世。对于哥德尔的评价，我们不妨援引以下 1965年，极具声望的奥地利经济学家摩根施特恩（Oskar Morgenstern）在致奥地
30、利外交部长（后来的总理）克莱斯基（Bruno Kreisky）的一封信，“毫无疑问，哥德尔是在世的最伟大的逻辑学家；确实，像外尔（Hermann Weyl）和冯诺伊曼（John von Neumann）这样杰出的思想家都承认他确实是自莱布尼兹（Leibniz）以来，或者是自亚里士多德（Aristotle）以来最伟大的逻辑学家。在维也纳大学的历史上，似乎还不曾有哪一位教师的名字象哥德尔的名字那样光彩照人爱因斯坦曾对我说，他自己的工作本身对他来说已不再是那么重要了，他去研究院，只是为了能享有同哥德尔一同步行回家的特权”。在博洛尼亚国际数学家大会上关于“数学基础问题”的演说中，希尔伯特列出了 4 个
31、尚未解决的问题：1.分析的（基本部分、或二阶函项演算）的一致性；2.把这个证明推广到高阶函项演算；3.数论与分析公理系统的完全性；4.逻辑规则系统（一阶逻辑）的完全性。哥德尔哥德尔与爱因斯坦普林斯顿 1950 年 8月哥德尔在 1929 年夏，证明了第 4 个问题，并以此作为博士学位论文。1930年夏，哥德尔着手研究如何证明分析的一致性（即上述 4 个尚未解决的问题的第1 个问题） 。他感到希尔伯特想用有穷主义的方法直接证明分析的一致性是极其费解的。他认为应当分解困难，使各部分易于逐个击破才好。就本例而言，他的思路是用有穷主义数论去证明数论的一致性，再用数论去证明分析的一致性。 （王浩，p56
32、）在用数论的公式表示实数时，需用数论公式的真实性概念来验证分析的概括公理。然而在这一过程中产生了与真实性和可定义性相联系的的悖论（如说谎者悖论） 。哥德尔发现数论中的真理不能在数论中定义，证明分析一致性的计划是不可行的。他进一步得出，在数学原理这类稍强一点的系统中存在不可判定命题。1931 年哥德尔给出了不完全性定理。哥德尔证明不完全定理的 4个步骤如下：1. 把希尔伯特的第一个问题一分为二，先考虑相对比较容易的数论的一致性问题；2. 发现数论中的真理在数论中不能定义，这跟数论取哪个形式公理系统无关；3. 从真实性转向可证性，构造了一个不可判定论断；4. 发现完全性陈述自身也是不可判定的。哥德
33、尔特意声明，他的结果的根本点不在于任何形式系统都无法包罗全部数学，或者说都能被超出，这一点从康托尔德对角线法已经能得出了，他并未排除数学的某些相当强的子系统具备完全性的可能。相反，他的结果的根本点在于每一个既含加法又含乘法的数学形式系统都包含颇为简单的命题，在其中可以表达，但在其中不可判定。 （王浩，p114）哥德尔的思路是：对于每一个形式系统 ，总可以构造出一个从系统外看来是真的，但在系统内却不能判定的陈述 G。在证明算术不完全性时，希尔伯特的一个洞见对哥德尔具有相当大的启发性。希尔伯特意识到数学分支的每一个形式化其本身便是一个数学对象。而且，在此以前哥德尔已经发现通过使用自然数本身来镜像反
34、映有关自然数之间关系的所有陈述的方式。同样的对象可以用两种不同的方式来考虑，这是相当关键的一种思路；这样使对象自己述说自己成为可能。为此，哥德尔发明了一种方式，使用算术语言本身对算术中的所有可能的陈述进行编码，通过自然数本身来镜像反映有关自然数之间关系的所有陈述，即算术即可作为一被解释的数学对象，又可作为谈论自身的未被解释的形式系统。哥德尔设计了一种叫做“哥德尔配数”的方案，将罗素与怀特海（Alfred North Whitehead）的三卷本的数学原理中的所有符号与陈述编码。对于罗素与怀特海的数学原理 ，哲学家和教育家凯梅尼（John Kemeny）称这是一本“被每个哲学家所讨论，而实际上又
35、无人读过的名著” 。 基本逻辑符号的哥德尔配数（简化本）符号 哥德尔数 意义 1 非 2 或3 如果那么4 存在= 5 等于0 6 零s 7 的直接后继（ 8 标点符号） 9 标点符号接下来我们看一下这个配数过程是如何进行的。首先考虑逻辑公式： )(syx它的意义是：存在着一个数 x， 它是数 y 的直接后继。其中 x、y 是两个数值变元，用大于 10 的素数来表示；令 x = 11、y = 13；再用表中相应数字来代换逻辑公式中的其它符号。这样一来，逻辑公式 经过编码，成为数的序)(s列8，4，11，9，8，11，5，7，13，9这个序列唯一地确定了逻辑公式 ，这些数称为哥德尔数。因为算术是
36、研究数的)(syx性质的，所以我们希望用一种更明确的单个的数来表达这个公式。根据算术基本定理，我们知道，所有的自然数都可以唯一地分解成素数的乘积，即 srrrpN3215于是，哥德尔取素数中的前 10 个素数（逻辑公式经过编码后由 10 个数表示） ，然后对每一个素数，求其在公式中所对应成分的哥德尔数次幂。这样，逻辑公式就定义为下面的数：)(syx 91375189148 2937532所得的积便是逻辑公式最终的哥德尔数（读者若感兴趣，可计算出这个数） 。其实莱布尼兹和希尔伯特都曾经提出用数来表示概念或词句的想法，但是哥德尔才是系统发挥这种想法，应用“哥德尔配数法”做出语法算术化的惊人之举的第
37、一人。 （王浩，p354）哥德尔用自然数表示符号，用数的序列表示句子，用数的序列的序列表示证明。于是，对于数学原理中用逻辑语言表达的每一个算术陈述和陈述序列，我们都能安排一个唯一的哥德尔数与其对应。这使用算术来考察算术本身的真理成为可能。接下来，哥德尔开始利用这些数，按照推理规则构造一个真的陈述，得出一个惊人的结论。虽然布劳维曾提出过数学不可被任何形式系统穷尽。然而在形式系统内部构造一个命题，又表明它在系统中不可判定，由此推出一致性在系统自身中的不可证，是由哥德尔所做出的。以算术的方式编码处于不同语义层次的逻辑表达式是哥德尔走向不完全性的重要一步。哥德尔发现，造成逻辑悖论的所有情况，都是类似于
38、它们以所谓的自指（self-reference）概念为基础。一个典型的例子就是说谎者悖论（Liars paradox）：这个句子是错的这个陈述中包含了真概念。而塔尔斯基（Alfred Tarski）已经证明，真概念不可能在正被谈及“真”的那个形式系统的界限内加以把握，为了避开永远难以捉摸的真与假的概念，哥德尔意识到应该用某种可以形式化的东西来代替“真” ，这就是“可证性”的概念。于是，哥德尔利用它的编码方案，通过 46 条推理，来编码上述悖论，将其翻译成：这个陈述是不可证的称为哥德尔句 G。接下来讨论这个论断的逻辑结果：1. 如果哥德尔陈述 G 是可证的；由于 G 是真的，根据论断，它不可证。因此，在这个系统中，陈述 G 和它的否定都成立，所以，这个系统是不一致的。2. 如果哥德尔陈述 G 是不可证的；由于陈述 G 是真的，但是却不可证，所以，这个系统是不完全的。于是得出了: 对于算术的任何一致的形式化系统，都存在着在那个形式系统内不可证明的
