1、- 1 -2005 年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题（1）已知 为常数， 可导，则、 )(xf_.xffx()(lim0解 0)()(lixffxxf 0()()(lixffffxxA()()(fffx（2）设 ，则 _.12)1(limnxnexf edf0)解 ,0()fx 1003()2eefxdd（3）已知微分方程 有特解 ，则 _.)(yx cxln)(解令 ,yduuxx 代入方程 1()uln.1()dCx由通解 .两边取微分，1l.lxyyu1()du- 2 -得 22 2111()().()ux
2、u（4）设 L 为包含原点的反时针方向的闭曲线，则 _.Lyxd24解 2?4LxdyA224(,), ()PyxPxy22(,), 4QQyxy包含 于其内， .L(0,)OP作 22*:4,(0,1)xy则 * *22LLdxdyAA* *221()DD2A（5）设 A 为 n 阶 方 阵 ， E 为 n 阶 单 位 阵 ， 且 ， 则013E _.1)2(E解 3(2)5A()5,AE 12.（6）设 为随机变量， 为YX, ，X,5D,1EY,36,4.0XYXY与 的相关系数，则 _.)43(E- 3 -解 2 2(34)(34)(234)EXYDXyEXY4)9cov,256()0
3、.5630DYA二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7） nne121lim（A）1. （B） . （C） . （D ） . 21e2e解 . 选（A）lim()nnIe 1100lndx（ 8） 设 函 数 由 方 程 确 定 ， 且 在 处 二 阶 可 导 ， ， 则xfy2y0x0)(xf（A） 在 处取极小值 . （B） 在 处取极大值.)(0 )(f（C） 在 处不取极值. （D ）无法判定. xf解 0021.()2()10,yfxfx 选（A）0(),1fx （9）设 条件收敛
4、，则必有nnn uu)(,（A） 收敛 . （B） 收敛.1n 12（C） 发散. （D ） 一个 ，当 时 ， . 2N1nu解 条件收敛.1(),(0)nu由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散. 选 (C)（10）设函数 ，则2,)0,(1),(),( “ yyfxfxfyfz， )(yxf，（A） . （B） .21x2- 4 -（C） . （D ） . 21yx21yx解 2,()yffC由 1(,0)()xx22,()yffyx由 2(,)().xCx故 选(B)1fy（11）设线性方程组 为 矩阵， 的行向量组线性无关，则Abx,nmA（A） 的列向量组线性无关 .
5、（B） 的行向量组线性无关.（C） 的列向量组线性无关 . （D） 中 的 任 意 个 列 向 量 线 性 无 关 . m解 选 (B)1213212nmmnaabA 先考虑：行对行、列对列即可知（12） 阶实对称阵 为正定矩阵的充要条件是n（A） . （B） 的所有特征值非负.0A（C） 为正定阵. （D ）秩 . 1 n)(解 选 (C)（13）设 和 是独立且均在 上服从均匀分布的随机变量，则XY,0b ),(minYXE（A） . （B） . （C） . （D） . 2b34b解 由题设 的联合分布密度(,)Y yxxyoy- 5 -21, 0,(,)xbyfxy其 它dxdy(min
6、,)in(,),XYXYf222011=3yxyxbddbAA选(C) （14）设总体 服从 ， 已知， 未知， 为来自 容量为X),(20N02nX,21的样本，则检验假设 已知）的拒绝域为n:H（A） . （B） .201)(niix)(2n201)(niix)(2n（C） . （D ） . 201)(niix)(2201)(niix)1(2解 已知，拒绝域只能是(A),(B)，又是单侧检验， 选(B)0u三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15) (本题满分 12 分)求 .320sinlimxtdtx解 201lisinxtItdyx
7、- 6 -20120120231limsinlm()sin()sin1cosisilinm1tuxx xxxuduxduxdx A令(16) (本题满分 11 分)设 为定义在 上且满足 的连续)xf2,0xdtfxtfx 4cos)(2 函数，试求 在 上的平均值.)f,0解 等式两边从 到 积分02420 0()(cosxftftdxdx0)tI22 20001()()tutxfdfufud 令又 4203cos A2201()164fud 在 上的平均值 .()fx0,2A061()42Afud(17) (本题满分 12 分)txtxo2- 7 -设一旋转抛物面内盛有高为 的液体，把另一
8、同轴旋转抛物面浸没在它里面达 ，Hcmhcm问液面上升多少？解 设两旋转抛物面由 平面上两抛物线 ，绕 y 轴旋转而成，设xoy22,yAxBa为被第二个抛物面所排开液体体积，则 .1V1()()HaVd设被挤上升的液体体积为 ，则22222()()hahaHHyyddAB由 ,得12V2222()()() ahaHhaBAB2().hH .0a2h故液面上升高度 2AhHB（18） （本题满分 11 分）已知 是 的一个原函数，而 是微分方程 满足初始条件)(xFf )(xFxey的解.1lim0yx将 展成 的幂级数；)(fx求 的和. 1)!(n解 (1)由题设 0(),xFftd又 (
9、)xxyeycaxyOh2Bx2yAxH- 8 -0, lim11()x xcxeceyylF21()(1.)!3!x ndexxf 321221.!4!1() ()!nnnn xx(2)即12()()!nxxe令 得 ,x1()!n（19） （本题满分 12 分）设 具有二阶导数， 为平面上任一条分段光滑的曲线，积分， L与路径无关。 L dyxyxdyxI )(2)()(22 当 时，求 ；10,)(, 设 是从 到 的分段光滑曲线，计算 . o),(NI解 (1) 22()()()()LPQxyxyyyA 令 0()x代入 y()代入 得: 2()y特征方程 210,i- 9 -*222
10、1()()yDy故 12cosiny令 ,得0y10c22()sioy令 20,()1ycsin()oy故 2ix()csx(2) 0220()()()()2OABIxdxx（20） （本题满分 9 分）设有线性方程组 3424133211axaxxx 证明：若 两两不相等，则此线性方程组无解；32, 设 且已知 为该方),0(431 kka TT)1,(,)1(21 程组的两个解，写出该方程组的通解. xy(0,)AB(,)2O- 10 -解 =A231123344a=231123344aA4()jiija由于 两两不相等,从而 ,于是 而 故方程组无解.1,23a0A(),R()3,A 当 时,方程组为24(kak， 即 312321xkk 231xk导出组的基础解系所含向量个数(),RA ()321nRA,-为导出组的基础解系,故原方程组的通解120+ ,(k 为任意常数)1xk2k（21） （本题满分 9 分）设 维非零列向量 满足条件 ，其中 是 阶正定矩阵，nmx， 21, )(0jiAxjTiAn证明向量组 线性无关.x， 21,解 为正定矩阵,对任意的 维非零列向量 ,有 0,AnxT设 个常数 使m12,mk
