1、运筹学试题样卷（一）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分一、判断题（共计 10 分，每小题 1 分，对的打，错的打 X）1. 无孤立点的图一定是连通图。2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。4对偶问题的对偶问题一定是原问题。5用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 0j对应的变量都可以被选作换入变量。6若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。7. 度为 0 的点称为悬挂点。8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个
2、图 G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 二、建立下面问题的线性规划模型（8 分）某农场有 100 公顷土地及 15000 元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500 人日；春夏季 4000 人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为 25元 / 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资 800 元，每只鸡投资 3 元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季为 50 人日，
3、年净收入 900 元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.6 人日，春夏季为 0.3 人日，年净收入 2 元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养 1500 只鸡，牛栏允许最多养 200 头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：大豆 玉米 麦子秋冬季需人日数春夏季需人日数年净收入（元/公顷）205030003575410010404600试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中 54,x为松弛变量，问题的约束为 形式（共 8 分） 1x23x45x3x5/2 0 1/2 1 1/2 15/2 1
4、1/2 0 1/6 1/3jzc0 0 (1)写出原线性规划问题；（4 分）(2)写出原问题的对偶问题；（3 分）(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。 （1 分）四、用单纯形法解下列线性规划问题（16 分）321maxxZs. t. 3 x1 + x2 + x3 60x 1- x 2 +2 x 3 10x 1+ x 2- x 3 20x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面运输问题。 （18 分） 某公司从三个产地 A1、A 2、A 3 将物品运往四个销地 B1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：问：应如何调运，可使得总运输费最
5、小?销 地 产 地1B 234产 量1A231089523674768252550销 量 15 20 30 35 100六、灵敏度分析（共 8 分）线性规划 max z = 10x1 + 6x2 + 4x3s.t. x1 + x2 + x3 10010x1 +4 x2 + 5 x3 6002x1 +2 x2 + 6 x3 300x1 , x2 , x3 0的最优单纯形表如下：6 x2 200/3 0 5/6 1 5/3 1/6 010 x1 100/3 1 1/6 0 -2/3 1/6 00 x6 100 0 4 0 -2 0 1j 0 8/3 0 -10/3 2/3 0(1)C1 在何范围内
6、变化，最优计划不变？(4 分)(2)b1 在什么范围内变化，最优基不变？ (4 分)七、试建立一个动态规划模型。 （共 8 分）某工厂购进 100 台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入 45 万元，损坏率为 65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入 35 万元，损坏率为 35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？八、求解对策问题。 （共 10 分）某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为 500，1000，1500 或2000 公斤。假定每公斤种子的订购价为 6
7、元，销售价为 9 元，剩余种子的处理价为每公斤3 元。要求：（1）建立损益矩阵；（3 分）（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。 （2 分）（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。 （5 分）九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。 （8 分）6812345756379342783十、用标号法求 V1 到 V6 的最短路。 （6 分）运筹学样卷（一）答案工序代号工序时间最早开工时间最早完工时间最晚开工时间最晚完工时间机动时间1-2 81-3 71-4 62-4 32-5 53-4 23-6 34-5 34-6 74-7 45-7 96-7 83V4V5V3V
8、1V2V6465664384一、判断题。共计 10 分，每小题 1 分 10X X X X 二、建线性规划模型。共计 8 分（酌情扣分）解：用 321,x分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数； 54,x分别表示奶牛和鸡的饲养数； 76分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 76432 20290460ma xZ )7,21(0 )(150243.50475 )(6132015.473211jxxxxj 鸡 舍 限 制牛 栏 限 制劳 动 力 限 制劳 动 力 限 制资 金 限 制土 地 限 制三、对偶问题。共计 8 分解：（）原线性规划问题： 3216maxxz0,3521；4 分（）
9、原问题的对偶规划问题为：2105inyw0,6321y； 3 分（）对偶规划问题的最优解为： )2,4(YT 。1 分四、单纯形表求解线性规划。共计 16 分解：引入松弛变量 x4、 x5、 x6， 标准化得， 321maZs. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6， 03 分建初始单纯形表，进行迭代运算： 9 分2 -1 1 0 0 0CB Xb b x1 x2 x3 x4 x5 x60 x4 60 3 1 1 1 0 0 200
10、x5 10 1 -1 2 0 1 0 10*0 x6 20 1 1 -1 0 0 1 201 0 2* -1 1 0 0 00 x4 30 0 4 -5 1 -3 0 7.52 x1 10 1 -1 2 0 1 0 -0 x6 10 0 2 -3 0 -1 1 5*2 20 0 1* -3 0 -2 00 x4 10 0 0 1 1 -1 -22 x1 15 1 0 0.5 0 0.5 0.5-1 x2 5 0 1 -1.5 0 -0.5 0.53 25 0 0 -1.5 0 -1.5 -0.5由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T 2 分最优值为： z*=
11、25。2 分五、求解运输问题。共计 18 分解：（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分）设 xij 为由 Ai 运往 Bj 的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下：销 地产 地 123B4产 量123 1520302555252550销 量 15 20 30 35 1003 分所以，基本的初始可行解为：x 14 =25； x22=20 ； x24 =5 ；X31 =15； x33 =30； x34=5 其余的 xij=0。 3 分（2）求最优调运方案：1 会求检验数，检验解的最优性：11=2；12=2；13=3；21=1； 23=5；32= - 13 分2 会求调整量
12、进行调整：=5 2 分销 地产 地 1B234B产 量123 15155 302510252550销 量 15 20 30 35 1003 分3 再次检验 2 分4 能够写出正确结论解为：x 14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30其余的 xij=0。 1 分最少运费为： 535 1 分。六、灵敏度分析。共计 8 分（1） （4 分）（2） （4 分） 10b七、建动态规划模型。共计 8 分解：(1)设阶段变量 k 表示年度，因此，阶段总数 n=3。(2)状态变量 sk 表示第 k 年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k1 年度末时的
13、完好机床数量。(3)决策变量 uk，表示第 k 年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是 sk uk 便为该年度中分配于生产产品 p1 的机器台数（4） 状态转移方程为（5）允许决策集合,在第 k 段为3/210min6/132,/max1c54051c 20,3/i3/2,ax1b)(65.03.1 kk uss ksU0（6）目标函数。设 gk(sk,uk)为第 k 年度的产量，则gk(sk,uk) = 45uk + 35(skuk) , 因此，目标函数为（7）条件最优目标函数递推方程。令 fk(sk)表示由第 k 年的状态 sk 出发，采取最优分配方案到第 3 年度结束这段时间的产品
14、产量，根据最优化原理有以下递推关系：（8）.边界条件为八、解决对策问题。共 10 分（1）益损矩阵如下表所示：3 分销 售订 购S1500S21000S31500S42000A1 500A2 1000A3 1500A4 20001500015003000150030001500015003000450030001500300045006000（2）悲观法：A 1 ，订购 500 公斤。2 分（3）后悔矩阵如下表所示：3 分S1 S2 S3 S4 最大后悔值A1 0 1500 3000 4500 4500A2 1500 0 1500 3000 3000A3 3000 1500 0 1500 30
15、00A4 4500 3000 1500 0 4500按后悔值法商店应取决策为 A2 或 A3 ，即订购 1000 公斤或 1500 公斤。2 分九、求网络计划图的各时间参数。 （8 分）工序代号工序时间最早开工时间最早完工时间最晚开工时间最晚完工时间机动时间1-2 8 0 8 0 8 03kikusgR)(maxUuf )(65.03.)(3541kkkkk usfs )(s68123457563793427830 0 8 0 71114180 260 26141811980关键问题是：；2；6；6关键线路是：评分标准：能正确给各顶点标号并填表.4 分正确写出关键问题. 2 分正确画出关键线路
16、. 分十、用标号法求 v1 到 v6 的最短路。 （6 分）1-3 7 0 7 2 9 21-4 6 0 6 5 11 62-4 3 8 11 8 11 02-5 5 8 13 9 14 13-4 2 7 9 9 11 23-6 3 7 10 15 18 84-5 3 11 14 11 14 04-6 7 11 18 11 18 04-7 4 11 15 22 26 115-7 9 14 23 17 26 36-7 8 18 26 18 26 04V4V5V3V1V2V6628737152(0,0)(4,v1)(6,v2)（8,v1）(9,v3)(10,v2) (10,v4)(11,v2)(13,v3)(12,v5)(14,v4) 1 2 4 1 6 7最短路为：v 1,v2,v3,v4,v5,v6长度为：12正确标号：4 分；正确写出结论：2 分
