1、1一 观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3）,1764,093,521（4）,5,34,解：（1）变形为：10 11，10 21，10 31，10 41， 通项公式为： 10na（2） ;2na（3） ;1n（4） .点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 )(na二、公式法：当已知条件中有 a 和 s 的递推关系时，往往利用公式：a 来求数列的通项公式。n1*()2,)nsN例 1： 已知数列a n是公差为 d 的等差数列，数列 bn是公比为 q 的(qR 且 q1) 的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且
2、a1 = f (d1) ，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1) ，(1) 求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2) 2，a 3 = f (d+1)= d 2，a 3a 1=d2(d 2) 2=2d，d=2，a n=a1+(n1)d = 2(n1) ；又 b1= f (q+1)= q2，b 3 =f (q1)=(q2) 2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，b n=bqn1 =4(2) n113)(b例 2. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是（ na432a432a）(A
3、) (B) (C) (D) 12n n 1n102n解析：设等差数列的公差位 d，由已知 ，2348)()(3ad解得 ，又 是递减数列， ， ， 243dan 1a)2(1nn，故选 (D)。10n例 3. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为na10qnb，求数列 的通项公式。21nnabnb解析：由题意， ，又 是等比数列，公比为321n2 ，故数列 是等比数列， ， qabnn213nb )1(21321 qaab)()(q点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例 4: 已知无穷数列 的前 项和为 ，并且 ，求 的通
4、项nanS*1()naSNna公式？【解析】： ， ， ，又 ，1nnS11nnn12nn12.2na反思：利用相关数列 与 的关系： , 与提设条件，naS1aS1nn(2)建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列 的前 项和 ，满足关系 .试证数列nn1lgnS(,)是等比数列.na例 5：已知数列 前 n 项的和为 s a 3，求这个数列的通项公式。n2分析：用 a 替换 s -s (n 2)得到数列项与项的递推关系来求。n1解： a = a -3, a =6123s a 3 （n N ） ns a 3 (n 2 且 n N ) 11 得：a a an21a a ，即 3(
5、n 2 且 n N )11n数列 是以 a =6，公比 q 为 3 的等比数列.na a q 6 3 2 3 。1例 6：已知正项数列 中，s （a + ） ，求数列 的通项公式.nnnna分析：用 s -s (n 2)替换 a 得到数列 与 的递推关系来求较易。n1s13解 s （a + ） ， a = ( a + ) a =1n21n1211又 a s s (n 2 且 n N )1s （ s s ）nn1ns2s s s 1s s n1ns s 1 (n 2 且 n N )2数列 是以 a =1 为首项，公差为 1 的等差数列。ns 1（ n1） 1n，即 s ，2n当 n 2 时，s
6、s a 将 n1 代入上式得 a n练习：数列 前 n 项和为 ，已知 5 3（ ）,求SnS*Nna三.累加法：求形如 = f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。 （其中 f(n)能求前 n 项和即可）1na利用 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如121()()nna的递推数列通项公式的基本方法（ 可求前 项和）.af ()fn例 1.已知数列 中， ,求这个数列的通项公式。n1129,2,*naN分析：由已知 ，得 ，注意到数列 的递推公式的形式与等1nana差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列 中， ，可得：n11,(,)n2341. (2,*)nanN以
7、上各式相加， 12*(34.)(18nan ） （ -+.2-整 理 得 且将 n1 代入上式得 n4练习：已知数列 中， ，求na113,2,(*)nnaN na例 2：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 ,21an ,312a,523a,734a,1an各式相加得 )(7531nn )(Nnn点评：一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能f )(1nff进行求和，则宜采用此方法求解。例 3. 若在数列 中， ， ，求通项 。na1an1na解析：由 得 ，所以 ，1n 1， ，2n12将以上各式相加得： ，又 所以 =)()1 a31an32)1(例 4 已知
8、无穷数列 的的通项公式是 ，若数列 满足 ，n 2nnb1，求数列 的通项公式.(1)nnb【解析】： , , =1+ +112nn(1)1211()()nnbb2+= .12n1n反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 .1()naf跟踪训练 3.已知 , ,求数列 通项公式.12a12nna*()Nn3.累乘法：求形如 = 的递推数列通项公式的基本方法。 （其中 可求前 n 项1nag()n g()积即可） 。利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法,累3211(0,2)na乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列 可求前 项积).1)nnag ()gn5例 1.若满足
9、求这个数列的通项公式。11,(*),naN分析：由 知数列 不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，nn因而，可累加法求数列的通项。解： 11,(*),na232 *1 . . 2nanN且以上各式相乘得： 131.4na1na(2)*且 N将 n1 代入上式得 n变式练习：设 是首项为 1 的正数组成的数列，且 ，a211()0(2)nnaa， ， 则它的通项公式为 n例 2：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。11na解：由(n+1) =n 得 ， = =na123a41n所以4321 n例 3 已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，试求通项公式n
10、a31Sn nnaS)2(。na解析：首先由 易求的递推公式：nnaS)12(123,3)12( 1ann将上面 n1 个等式相乘得：551221n6.)12( )12(35731)(5)3(1na nnn 点评：一般地，对于型如 = (n) 类的通项公式，当 的值可以求得时，afn)()(nff宜采用此方法。例四 已知 , ,求数列 通项公式.11()n*()Nna【解析】： , ,又有1nna1a=3211(0,2)nna1 = ,当 时 ，满足 ， .-1anna反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 .1()ng跟踪训练 4.已知数列 满足 , .则n11231(2)n 的
11、通项公式是.na4.构造新数列：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例题 5：已知数列 中满足 ， ,求数列 的通项公na1*123()naNna式。分析：将一阶线性递推关系形如 可转化为(01nABAB 、 为 常 数 ，的一个新的等比数列或消常数项转化为11(),nnnBaAaa 即的一个等比数列。21211()nnnA， 即解法 1：数列 中 ， （n ）a31)(31nn1na数列 是以首项 ，公比为 2 的等比数列1na171123nna*23naN解法 2： 数列 中 ， 12nn得 ）（ n11na又 23数列 是以首
12、项 公比为 2 的等比数列21,a， （再利用累加法可求数列的通项公式，11,nnn 即以下解法略）可求得 *3N（倒数法）例题 6:已知数列 中满足 ， ，求数列的通项 .na113nna na分析：可将形如一阶分式递推公式 ,(A、B、C 为满足条件的常数)，等式两边取倒数nA得： ,又可利用求形如 (A、B为常数)的方法来求数列的通1.nnBaC1na项。解： 数列 中， ，1a13nn，即1n1na数列 是以 公差为 3 的等差数列.a,(),2nna即132N变式练习：知数列 中满足 ， ，求数列的通项.na113nna例题 7：已知数列 中满足 ， ,求数列 的通项公式。2(N）
13、na分析：形如递推公式 可转化为1.(1)nnqdd 、 为 非 零 常 数 ， q，若令 ，则转化为形如 的方法来1.naqddnb1.(nnAB、 为 常 数 ）求数列的通项。(提示：将 转化为 ，解法略。) 12(na） 2a另外，数列通项求法还有数学归纳猜想法，可以先求出数列的前 n 项，然后观察前 n 项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明，例如：数列 满足 a1=4， =4 （n2） ，求 n14（理科要求，解略） ；还有对数变换法，例如：形如na可转化为 问题解决；当然还1(0,1)pnCp且 1lglgnnpC8有特征方程法等等。六、待定系数法：例 10：设数列 的各项
14、是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，nc求通项公式 cn解：设 1)(nbqda132 21274nncabqda例 11. 已知数列 中， ， ，ncbbn1其中 b 是与 n 无关的常数，且 。求出用 n 和 b 表示的 an 的关系式。解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知： )(1nnc )1(1, 222 bcbcbbnn故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故21cn 21221bcbnn点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则 ， （b、为常数） ，若
15、数列 为等比数列，则nacbnacsn2 na， 。1Aq)1,0(qAsn七、辅助数列法例 12：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。na21nna1na解： 令 则辅助数列 是公比为 2 的等121n )(nbnb比数列 即 1nqbnqa2)1(1na例 13：在数列 中， ， ， ，求 。n nnn3a9解析：在 两边减去 ，得nnnaa312 1n )(312nnaa 是以 为首项，以 为公比的等比数列，1，由累加法得11)(nn= = = =na121)()()aan 2)3(n3)1n1)(3)(1n= )3(41n1)3(47n例 14： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数
16、列的通项公式。na111naN解： ， 设 ，则1n1nn nab111nb故 是以 为首项，1 为公差的等差数列 nb1a )(an点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。五 构造新数列: 类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa例 1:已知数列 满足 ， ，求 。n221na解：由条件知： )(1 nan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n1)()( 3412 naaa所以1)1() nn1，21nn210类型 2 nnaf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fn例 2
17、:已知数列 满足 ， ，求 。na321na1解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即n )1(,3,)1(n13421naa n42an1又 ，例 3:已知 ， ，求 。1nn231)(n解： 123)()(3 aan 。47563181n变式:（2004，全国 I,）已知数列a n，满足 a1=1， (n2)，则1321 )(aaan的通项 _n2解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得nn ana 131 )(当 时， ，即 ，又 ，2na12，将以上 n 个式子相乘，得aan13421, 2!na)(类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pnn )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转1tatnn pqt1化为等比数列求解。例 4:已知数列 中， ， ，求 .na132nan解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推321n )(1tt 321tan
