1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2016.3（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集 ，集合 ， ，则UR3Ax2Bx()UBAA B C. D2x1323x2.已知 为虚数单位,则复数 = i iA B C D11i1i3.已知非零平面向量 ，“ ”是“ ”的ababA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.
2、执行如图所示的程序框图，输出的 值为SA. B. 4219C. D. 835.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则ABC, ,abc3osin0aBbABA. B. C. D. 63256i=1,S=1i4? S= 2S+ii= i+1开始输出 S结束否是6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. B.C. D.3+612367. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A. 收入最高值与收入最低值的比是 3:1B. 结余最高的月份是 7 月份 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4至 5月份的收入的变化率相同D. 前 6 个月的平均收入为 40
3、 万元（注：结余=收入-支出）万元月O 2O3 430110205 6 8O9 107111512406050709080收入支出8. 若圆 与曲线 的没有公共点，则半径 的取值范围是22(1)xyr(1)xyrA B C D0r0203r13021 32正视图俯视图侧视图11第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知函数 则 . 2log(3),0(), xf(1)f10.已知双曲线 过抛物线 的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 21ym28yx11.已知递增的等差数列 的首项 ，且 , , 成等比数列，
4、则数列 的通naN1a2a4 na项公式 ； _. na48124+n12.已知不等式组 表示的平面区域为 .若直线 与区域 有公共点，则0,29yxD1yaxD实数 a 的取值范围是 . 13.已知圆 ，过圆心 的直线 交圆 于 两点，交 轴于点 . 若 恰22:(3)(5)CxyCl,AByPA为 的中点，则直线 的方程为 .PBl14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从 1（1 必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报 7 个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”
5、则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数 （ ）的最小正周期为 .()2sinco()3fxx0（）求 的值；（）求 在区间 上的最大值和最小值.()fx,6216.(本小题满分 13 分）已知数列 的前 项和 , .na2nSN（）求数列 的通项公式；（）若 ，求数列 的前 项和 .1nnbanbnT17. (本小题满分 13 分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:（）试根据上述数据
6、，求这个班级女生阅读名著的平均本数;（）若从阅读 5 本名著的学生中任选 2 人交流读书心得，求选到男生和女生各 1 人的概率；（）试判断该班男生阅读名著本数的方差 与女生阅读名著本数的方差 的大小1s2s（只需写出结论）（注：方差 ，其中 为 ，222()()()nxxxn 1x2 的平均数）nx18.（本小题共 14 分）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，1ABC1ABC90A2BAC 分别为 和 的中点， 为侧棱 上的动点13A,MNP1（）求证：平面 平面 ； P1（）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；1B/ANM（）试判断直线 与平面 是否能够垂直.C若能垂直，求 的值；若不能
7、垂直，请说明理由P19.(本小题共 14 分）已知椭圆 的焦点分别为 .:C214xy12,F（）求以线段 12F为直径的圆的方程；（）过点 任作一条直线 与椭圆 交于不同的两点 .在 轴上是否存在点 ，使得(,0)PlC,MNxQ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.8QMNQ阅读名著的本数 1 2 3 4 5男生人数 3 1 2 1 3女生人数 1 3 3 1 2N AMPCBA1C1B120. （本题满分 13 分）已知函数 .()exkfx()R（）若 求曲线 在点 处的切线方程；1,kyf0(f，（）求函数 的单调区间；()fx（）设 ，若函数 在区间 上存在极值点，求 的
8、取值范围.0k()f3,2k北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（文史类） 2016.3 一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A C B C B D C二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 212yx，na26430,210xy或1，2，3，4（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15. （本小题满分 13 分）解：（） ()2sinco()3fxx1isin)2xsinco3ix1i2s2x.3sin(2)x因为 的最小正周期为 ，则 . 6 分()fxT1（）由（）可
9、知 .3()sin2)fx因为 所以 .,60则 .3sin(2)1x当 ，即 时， 取得最大值是 ；3()fx312当 ，即 时， 取得最小值是 .2x2xf在区间 的最大值为 ，最小值为 . 13 分()f,631316. （本小题满分 13 分）解：（）由 ，2nS当 时，221=143.naSnn当 时， 而 ，1,43所以数列 的通项公式 ， . 6 分 nanN（）由（）可得 (1)(),b当 为偶数时， 59317432,n nT当 为奇数时， 为偶数， n 2(1)1.nnTb综上， 13 分 2,1.n为 偶 数为 奇 数17.（本小题满分 13 分）解：（）女生阅读名著的平
10、均本数 本.13214+2530x3 分（）设事件 =从阅读 5 本名著的学生中任取 2 人，其中男生和女生各 1 人.A男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为 ，女生阅读 5 本名著的 2 人分别记为13,a12,.b从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：， ， ， ， ， ，12,a13,23,a1,b1,a12,b， ， ， .b2其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果，分别是：， ， ， ， ， .1,a2,ab2,31,ab32,则 . 10 分6305PA（ ）（III ） . 13 分 21s18. （本小题满分 14 分）证明：（）由已知
11、， 为 中点，且 ，所以 MBCACAMBC又因为 ，且 底面 ，所以 底面 1/1B1因为 底面 ，所以 ，A又 ，1BC所以 平面 M1又因为 平面 ，AP所以平面 平面 5 分 1BC（）取 中点 ，连结 ， ， ， .1CBD1ANDM1由于 ， 分别为 ， 的中点，MBC所以 ,且 ./1=1则四边形 为平行四边形，所以 .AD1AD/又 平面 ， 平面 ，1PPMNAMPCBA1C1B1D所以 平面 .1AD/PM由于 ， 分别为 ， 的中点，N1CB所以 ./又 ， 分别为 ， 的中点，P1所以 .M/BC则 .DN又 平面 ， 平面 ，APAPM所以 平面 ./由于 ,所以平面
12、 平面 .1=1DN/由于 平面 ，AN1所以 平面 . 10 分 1/PM（III）假设 与平面 垂直，BC由 平面 ，A则 1设 ， PBx0,3当 时， ，1CM1PBC所以 ，所以 Rt1t 1M由已知 ，112,3BB所以 ，得 3x4x由于 ，40,因此直线 与平面 不能垂直 14 分1BCAPM19. （本小题满分 13 分）解：（I）因为 ， ，所以 .24a2b2c所以以线段 为直径的圆的方程为 .3分 1F2xy（II）若存在点 ，使得 ，(,0)Qm180PMQN则直线 和 的斜率存在,分别设为 , .Nk2等价于 .12k依题意，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 .
13、l l(4)ykx由 ，得 .2(4)1ykx222()1630kxk因为直线 与椭圆 有两个交点，所以 .lC即 ，解得 .222(6)4()34)0kk216k设 ， ,则 ， ，1,Mxy2Ny12x2134kx， .1(4)k2(4)k令 ，11220yxm121()(),214(4)0xkxk当 时，0 1212(4)80xmx，所以 ，2341k216()80km化简得， ，280所以 .当 时，也成立.0k所以存在点 ，使得 .14 分(1,)Q180PMQN20. （本小题满分 13 分）BAOy xQNMP(4,0)解：() 若 ，函数 的定义域为 ， .1k()fx1x2e
14、(3)=1xf（则曲线 在点 处切线的斜率为 .yf0()f， (0f而 ，则曲线 在点 处切线的方程为 .(0)=1fyx()f， 31yx3 分（）函数 的定义域为 ， .()fxk2e()=xkf（1）当 时，由 ,且此时 ，可得 .0k222k令 ，解得 或 ，函数 为减函数；()fxxk-2xk()fx令 ，解得 ，但 ，2k所以当 ， 时，函数 也为增函数.2kxk2xk()fx所以函数 的单调减区间为 ， ，()f )（ -， 2+k（ ，单调增区间为 ， .2)k（ -， 2,k（2）当 时，函数 的单调减区间为 ， .0k(fx（ -0)（ ,)当 时，函数 的单调减区间为 ， .2)2（ +（ -，当 时，由 ，所以函数 的单调减区间为 ， .k2k()fxk（ -,)+（ ,即当 0时，函数 ()fx的单调减区间为 k（ -,， （ ,).（3）当 时，此时 .2k2k-令 ，解得 或 ，但 ，所以当 ，()0fxx2xkxkxk， 时，函数 为减函数；2kk-2()f令 ，解得 ，函数 为增函数.()fx2xkfx所以函数 的单调减区间为 ， ， ，（ -,)2k（ ,-)2,)k（函数 的单调增区间为 . 9 分()fx2k（）（1）当 20k时，由（ ）问可知，函数 ()fx在 3,2)上为减函数，
