1、秘密启用前2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2014.1数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共 50分）一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。1.直线 10axy与直线 230xy垂直，则实数 a的值为（ ）A 23 B C 2D 322.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有 1、 2、 3、 4、 5、 6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件 A 为掷出向上为偶数点，事件 B 为掷出向上为 3 点，则 ()PAB（ ）A.13 B. 23 C. 2 D. 6 3.已知圆的半径为 2，圆心在 x轴的正半轴上，且与 y轴相切，则圆的方程是（ ）A 240xy B 40x C D 234.棱长为 2 的正方体 1AC的内切球的表面积为（ ）A. 43 B 6
3、 C 4 D 325.已知函数 fx的导函数为 fx，且满足关系式 2=xfxfe，则2f的值等于（ ）A. B.2eC.2eD.2e6.已知 、 是不重合的平面， a、 b、 c是不重合的直线，给出下列命题： a； /c； /ab。其中正确命题的个数是（ ）A3 B2 C1 D07.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（ ）A. 23 B. 23C. D.8.已知双曲线21(0,)xyab的右焦点为 F，若过点 且倾斜角为 06的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2 B.(,2) C.2,) D.(2,)9.（原创）若函数 111s
4、in(0yx函数 23yx,则221()()x的最小值为( ) A. 564 B. 2 C. 256()4 D.2(3)710.（原创）若对定义在 R上的可导函数 ()fx，恒有 (4)(2(2)0xfxf， （其中(2)fx表示函数 ()fx的导函数 ()f在 2的值） ，则 （ ）A.恒大于等于 0 B.恒小于 0 C.恒大于 0 D.和 0 的大小关系不确定第卷（非选择题，共 1分）二、填空题：（本大题 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程） 。俯视图左视图正视图2222ABC1111.如图，直三棱柱 1ABC中， 12,1AB
5、C，AB，则该三棱柱的侧面积为 。12.（原创）如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是_。13.已知函数 32()1fxax在 (,)上是单调减函数,则实数 a的取值范围是_。14.如图，平面 ABCD平面 EF，四边形 ABCD是正方形，四边形EF是矩形，且 2， G是 的中点，则 G与平面G所成角的正弦值为 _。15.（原创）已知抛物线 2(0)xpy的焦点为 F，顶点为 O，准线为 l，过该抛物线上异于顶点 O的任意一点 A作 1l于点
6、 1A，以线段 1,A为邻边作平行四边形1AFC，连接直线 交 l于点 D，延长 交抛物线于另一点 B。若 的面积为OBS， 的面积为 ABS，则2()AOB的最大值为_。三、解答题：（本大题 6 个小题，共 75 分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 。16.（本小题满分 13 分）已知一条曲线 C在 y轴右侧， 上每一点到点 )0,1(F的距离减去它到 y轴距离的差都是 1。（1）求曲线 C的方程；（2）设直线 l交曲线 于 ,AB两点，线段 的中点为 (2,)D，求直线 l的一般式方程。17.（本小题满分 13 分）如图， P是正
7、方形 ABCD所在平面外一点，且 ,PDA， 3,2，若 M、N分别是 B、 C的中点。（1）求证： M；（2）求点 到平面 的距离。18.（原创） （本小题满分 13 分）已知三次函数 32161()fxabxR，,ab为实常数。（1）若 3,时，求函数 fx的极大、极小值；（2）设函数 ()7gxf，其中 ()是 fx的导函数，若 ()gx的导函数为 ()gx，(0)， 与 轴有且仅有一个公共点，求 (1)0g的最小值。19.（本小题满分 12 分）如图，在 ABC中， 09， ACBa，点 P在边AB上，设 (0)P，过点 P作 /E交 于 E，作 /PF交 于 F。沿E将翻折成 ,使平
8、面 A平面 BC；沿 将 B翻折成 ,P使平面BF平面 C。（1）求证： /平面 PE；（2）是否存在正实数 ，使得二面角 P的大小为 09？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。PABCMN20.（原创） （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率是2， 12,A分别是椭圆 C的左、右两个顶点，点 F是椭圆 的右焦点。点 D是 x轴上位于 2右侧的一点，且满足 12AD。（1）求椭圆 的方程以及点 的坐标；（2）过点 作 x轴的垂线 n，再作直线 :lykxm与椭圆 C有且仅有一个公共点 P，直线 交直线 n于点Q。求证：以线段 Q为直径的圆恒过定点，并求出定点
9、的坐标。21.（原创） （本小题满分 12 分）函数 ()lnafx，其中 a为实常数。（1）讨论 ()fx的单调性；（2）不等式 1在 (0,上恒成立，求实数 的取值范围；（3）若 0a，设 1)23gnn ， 33321()4nh(,nN。是否存在实常数 b，既使 gfb又使 ()hfb对一切 2恒成立？若存在，试找出 的一个值，并证明；若不存在，说明理由。1A2AOFPQlnxy2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试数学试题（理科）答案1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C11. 625 12. 312 13.3, 14. 63 1
10、5.24p16 （本小题满分 13 分）解：（1）设 )(yxP是曲线 C上任意一点，那么点 ),(yxP满足：)0()(2xyx，化简得 )042。 （或由定义法）（2）设 12,AB，由 12yx ， 得： 1()()，由于易知 l的斜率 k存在，故 12124yx，即 k，所以 k，故 的一般式方程为 :230lxy。17 （本小题满分 13 分）解：如图建系，则 (0,)D(2,0)(,)(0,2)(,3)ABCP，则31MN。（1）法一： (,)(0,2)D2,0DC， MNC。法二：三垂线定理。（2）法一：设 (,)nxyz为平面 PA的一个法向量，(,03)23,PA由 02xz
11、zxyynC ，取 2z，则 3， (,)n， (0,1)MA，2MAdn， 点 到平面 PC的距离为 32。法二：体积法。18 （本小题满分 13 分）解：（1）PABCDMNxyy322()61,()363(1)2,fxxfxx令 0， 2，x(,)(,)1(1,)()f00xA极大值 A极小值 A(2)1ff极 大 值， 5(1)2ff极 小 值 。（2） 67(0)gxabaxb， (2,(0)gxabg，2404b，法一：21(1)41,0bgabb令 1(),04bh，2(),4hb令 ()0,h又 ,则 2，当 0,时， ,当,时， ,bmin1()()4h。 min(1)2g。
12、法二：2(1)11210 4bga bb，“ ” 24， min()20g。19.（本小题 12 分）解：（1）法一：以 C为原点， B所在直线为 x轴， CA所在直线为y轴，过 C 且垂直于平面 AB的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，如图，则 (0,)(,0)(,)a设 (,0)Pxy，由 APB(,0)(,0)xyaxy,1ax1P，从而 (0)E(,)F于是 ,A， 0,)aB，平面 P的一个法向量为 (1CE，又 (,0)1aCB， ，从而 /BC平面 APE。法二：因为 /F， 平面 AP，所以 F平面 ，因为平面 APE平面 A，且 ，所以 平面 同理， 平面 BC，所以/E，从
13、而 /平面 E所以平面 /平面 ，从而 /平面P。（2）解：由（1）中解法一有： (0,)1aC， (1)(,aaAB，,B。可求得平面 C的一个法向量 1(,)m，平面PA的一个法向量 (,)n，由 0mn，即 0，又 ，210，由于 3，所以不存在正实数 ，使得二面角 CABP的大小为 09。20.（本小题满分 12 分）解：（1） 12(,0)(,)aFc，设 (,)Dx，由12AD有 xa，又 D， 1,xc，于是12ca()(1)ca，又 2cac，12c20，又 c， 1,2,1ab，椭圆2:1xCy，且 (2,0)D。（2） (,)Qkm，设 0(,)Pxy，由222()kxmk
14、xy22()x22(1)40kkx，由于 2164011k mk（*） ，而由韦达定理：*02221mxxkk由 （ ），0yk， (,)P，设以线段 PQ为直径的圆上任意一点 ,Mxy，由 0Q有221 12()()(2)0(2)()()0k kkxykmxmym由对称性知定点在 x轴上，令 ，取 1x时满足上式，故过定点 ,K。21.（本小题满分 12 分）解：（1）定义域为 221(0,)(axfx，当 0a时， ,xafx， 在定义域 (0,)上单增；当 时，当 时， ()f， ()单增；当 xa时， fx，()fx单减。增区间： (,)a，减区间： (0,)a。综上可知：当 0时，增
15、区间 ，无减区间；当 0a时，增区间： (,)a，减区间： (,)。（2） ()1ln1ln1lnaafxxxax对任意 (0,1x恒成立mal,(0a，令 ()l,(01g，()l,gxxx， )gx在 ,上单增，ma(1)， 1，故 a的取值范围为 ,。（3）存在，如 0b等。下面证明： 1ln(2,)23N及 332ln(),)4N 成立。先证 1 ，注意 3llln121 ，这只要证 1ll()(2,3)kkn （*）即可，容易证明 n(1)x对 0x恒成立(这里证略)，取 ()xk即可得上式成立。让 2,3k 分别代入（*）式再相加即证： 11ln()23N ，于是 1ln()23n 。再证 3331ln(),)24N ，法一： 1232323231 11()()()()ln()l()()()4 23n 1 1nl 232323231()()()()l()l()l(1)(1)n 只须证 1lnkNk，构造证明函数不等式：23l()0xx，令 23)ln1u，3221(1)()3xux，当0,x时，()()ux在 0,)上单调递减,又 (0),u当 (0,)x时，恒有，即 23ln(1x恒成立。
