1、- 1 -试卷类型：A2014 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2014.4本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
2、的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是 13VSh,其中 是锥体的底面积, h是锥体的高.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若复数 z满足 i 2，其中 i 为虚数单位，则 z的虚部为A B C 2i D 2i 2若函数 yfx是函数 3xy的反函数，则 1f的值为A 2log3 B 3log2 C
3、9 D 3 3命题“对任意 xR，都有 x”的否定是A存在 0R，使得 320 B不存在 0xR，使得 320x C存在 xR，使得 x D对任意 R，都有 4. 将函数 3sin2cos(fR )的图象向左平移 6个单位长度后得到函数ygx，则函数 ygx ks5uA是奇函数 B是偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数，也不是偶函数 5有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0与 1，另一张的正反面分别写着数字 2与 3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A 16 B 13 C 2 D 38 6设 12,F分别是椭圆 2:0xyCab的左、右焦点，点 P在椭圆
4、 C上，线段 1PF- 2 -侧1侧侧侧334 2222 的中点在 y轴上，若 1230PF，则椭圆 C的离心率为 A 16 B C 3 D 37一个几何体的三视图如图 1，则该几何体的体积为A 64 B 24 C 12 D 18将正偶数 ,8 按表 1的方式进行排列，记 ija表示第 i行第 j列的数，若2014ij，则 的值为A 57 B 256 C D 3 表 1 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9不等式 210x的解集为 .10已知 3n的展开式的常数项是第 7项，则正整数 n的值为 .11已知四边形 ABCD
5、是边长为 a的正方形，若 2,DECFB，则 AEF的值为 .12设 ,xy满足约束条件 20,84,.xy若目标函数 0,zaxby的最大值为 8，则 ab的最大值为 . 13已知 x表示不超过 x的最大整数，例如 152,.1.设函数 fx，当 0,(nN *)时，函数 fx的值域为集合 A，则 中的元素个数为 .（二）选做题（1415 题，考生从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy中，直线 ,(xaty为参数 )与第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第 1 行 68第 2 行 6410第 3 行 82第 4 行 30第 5 行 638
6、4 - 3 -D CBAFED CBAa侧3 侧/侧0.320.2.18 453525155O圆 1cos,(inxy为参数 )相切，切点在第一象限，则实数 a的值为 .15 （几何证明选讲选做题）在平行四边形 ABCD中，点 E在线段 AB上，且2AEB，连接 ,DE， 与 相交于点 F，若 的面积为 1 cm 2，则 F的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分 12 分）如图 2，在 C中， 是边 A的中点，且 1ABD， 23.(1) 求 cos的值；（2）求 in的值.图 217 （本小题满分 12 分）一个盒子
7、中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 5,1， ,， ,3， ,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图 3.（1）求 a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第 i组的频率为 ip，第 组区间的中点值为 ix1,23,n ，则样本数据的平均值为 123nXxxp .）（3）从盒子中随机抽取 3个小球，其中重量在 5,内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望.18 （本小题满分 14 分）如图 4，在五面体 ABCDEF中，四边形 ABC是边长为 2的正方形， F平面 ABC
8、D，1EF， ,90， 3.（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值.图 4- 4 -19 （本小题满分 14 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且 10a，对任意 nN *，都有 11naS.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb满足 22loglnnb，求数列 n的前 项和 nT.20 （本小题满分 14 分）ks5u已知定点 0,1F和直线 :1ly，过点 F且与直线 l相切的动圆圆心为点 M，记点 的轨迹为曲线 E.(1) 求曲线 的方程;(2) 若点 A的坐标为 2, 直线 1:(lykxR，且 0)k与曲线 E相交于 ,BC两点，直线 ,BC分别交直线
9、于点 ,ST. 试判断以线段 ST为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21 （本小题满分 14 分）已知函数 ln(,fxabxR )在点 1,f处的切线方程为 20xy.（1）求 ,b的值；（2）当 x时， 0kfx恒成立，求实数 k的取值范围；（3）证明：当 nN *，且 2时，2113ln3llnn.2014 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）- 5 -数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标
10、准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B C D A C 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中1415 题是选做题
11、，考生只能选做一题9 1,2 10 8 11 2a 12 4 132n14 15 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12分）（1）解：在 ABD中， 1， 23BD，22cos 2213. 4 分（2）解：由（1）知， 1cos3A，且 0， 2sin. 6 分D是边 C的中点，A.在 B中，22211cos 3ABCBC ，8 分解得 3C. 10 分由正弦定理得， siniABC， 11 分- 6 -21sin63siABC. 12 分17 （本小题满分 12 分）(1) 解：由题意，得 0.230.18x， 1 分解得 x.
12、2 分（2）解： 5个样本小球重量的平均值为 0.21.320.3.18402.6X（克）. 3 分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克. 4 分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 5,内的概率为 02，则 1,5B:.5 分的取值为 0,123， 6 分3465PC， 21348515PC，2315，32. 10 分 的分布列为：11 分 64812301255E. 12 分（或者 3）18 （本小题满分 14 分）（1）证明：取 AB的中点 M，连接 E，则 1AMB，EF平面 CD， F平面 ，平面 CD平面 AFEB， ，即 . 1 分 1四边形 是平行四边
13、形. 2 分 B， .在 Rt FC中， 224BC，又 FC，得 B.013P64825125- 7 -MOHFED CBAzyxMOHFED CBA 2EM. 3 分在 A中， 3， 1AM， 2E， 22， E. 4 分 FB，即 .四边形 ACD是正方形， . 5 分 ， 平面 BCF， 平面 BCF， 平面 . 6 分（2）证法 1：连接 ， 与 相交于点 O，则点 是 A的中点，取 B的中点 H，连接 ,E， H，则 OA， 12B.由（1）知 EF ，且 ， ，且 .四边形 H是平行四边形. ，且 1 .7 分由（1）知 AB平面 C，又 FH平面 BC，F. 8 分 ， ,平面
14、 D， 平面 ACD， H平面 D. 9 分EO平面 . A平面 BC， . 10 分 ， ,OE平面 BD， 平面 EB， 平面 ED. 11 分 AO是直线 与平面 所成的角. 12 分在 Rt 中， tan2A. 13 分直线 与平面 B所成角的正切值为 . 14 分证法 2：连接 C， 与 D相交于点 O，则点 是 AC的中点，取 的中点 H，连接 ,E， FH，则 OA， 12.由（1）知 EF B，且 B， ，且 .- 8 -四边形 EOHF是平行四边形. ，且 1. 7 分由（1）知 AB平面 C，又 FH平面 BC， . ， ,A平面 D， 平面 ABCD，FH平面 D. EO
15、平面 . 8 分以 为坐标原点， BC所在直线为 x轴， OH所在直线为 y轴， HF所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系 yz，则 1,20A， ,B， 1,20D， ,1E. 1,AE， ,D， 1E. 9 分设平面 B的法向量为 nxyz，由 n， ，得 20xy， 0，得 ,xy.令 1，则平面 DE的一个法向量为 10. 10 分设直线 A与平面 B所成角为 ，则 sinco,nA63. 11 分 23s1i， sitan2co. 13 分直线 AE与平面 BD所成角的正切值为 . 14 分19 （本小题满分 14 分）（1）解法 1：当 2n时， 11naS， 1naS，1 分两式
16、相减得 n， 3 分即 12nna，得 12na. 5 分当 时， 21S，即 2. 6 分数列 n是以 0为首项，公差为 的等差数列 . a. 7 分解法 2：由 11nS，得 11nnS， 1 分- 9 -整理得， 11nnS， 2 分两边同除以 得， nS. 3 分数列 n是以 10为首项，公差为 1的等差数列. 0nS. 1n. 4 分当 2时， 112nnaSnn. 5 分又 10适合上式， 6 分数列 n的通项公式为 2n. 7 分（2）解法 1： 2loglab， 14nnnnb. 9 分 1231nT 012214314nn ，34nnn ， 11 分得 0121344nnnT
17、 4n3n.13 分 9nn. 14 分解法 2： 22loglnab， 14nnb. 9 分 1231nT 012214314nn .由 xx ， 11 分两边对 取导数得， 01213nx 121nnx. 12 分令 4x，得 012214434nnn .13 分- 10 - 13419nnT. 14 分20 （本小题满分 14 分）（1）解法 1：由题意, 点 M到点 F的距离等于它到直线 l的距离, 故点 的轨迹是以点 为焦点, l为准线的抛物线. 1 分曲线 E的方程为 24xy. 2 分解法 2：设点 的坐标为 ,依题意, 得 1MFy,即 21xy, 1 分化简得 24.曲线 E的方程为 2xy. 2 分(2) 解法 1: 设点 ,BC的坐标分别为 12,xy，依题意得， 214,xy.由 24,ykx消去 y得 240xk，解得221,211x. 124,k. 3 分直线 AB的斜率21114ABxy，故直线 的方程为 12x. 4 分令 1y，得 182x，点 S的坐标为 1,x. 5 分同理可得点 T的坐标为 28,1. 6 分 121282xSxx1212121284k. 7 分
