1、1数值计算方法复习试题一、填空题：1、 410A，则 A 的 LU 分解为 A。答案： 15640153、 )3(,2)(,1)(fff ，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1 ， )2(1)3(12)(2)( xxxxL4、近似值 *0.31关于真值 9.0有( 2 )位有效数字；5、设 )(xf可微,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是 ( )；答案 )(11nnf6、对 )(3xf,差商 3,210f( 1 ), 4,320f( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b
2、 )内的根时，二分 n 次后的误差限为( 12nab)；10、已知 f(1)2，f (2)3 ，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2 系数为( 0.15 )；11、 解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。12、 为了使计算 32)1(6)(4130xxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ,6(1t ，为了减少舍入误差，应将表达式21920改写为 1920 。13、 用二分法求方程 )(3xf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、 求解方程组
3、 042.0151x的高斯塞德尔迭代格式为 20/3)51()2kkx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径 )(M= 12 。15、 设 46)2(,1)(,0)(fff ,则 xl )2()xl ， )(xf的二次牛顿插值多项式为 )(7xN 。16、 求积公式 baknkfAfd)(0的代数精度以 ( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。21、如果用二分法求方程 43x在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。22、已知 3)()()1(2 10)23 xcxbaxS是三次样条函数，则a=( 3 )， b=（ 3 ） ， c=（ 1 ） 。23、 )(,(,1
4、0lln 是以整数点 n,0 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkx)( 1 )， kkjx0( j )，当 2时)(3(204xlxkk( 324x )。24、25、区间 ba,上的三次样条插值函数 xS在 ba,上具有直到 _2_阶的连续导数。26、改变函数 fx()1 ( x1)的形式，使计算结果较精确 xf。27、若用二分法求方程 0f在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。28、写出求解方程组 24.161x的 Gauss-Seidel 迭代公式 ,0,.2112kxxk，迭代矩阵为 64.01，此迭代法是否收敛 收敛 。331、设A543,则
5、9 。32、设矩阵48257136A的 ALU，则 482016U。33、若 4()fx，则差商 248163,f 3 。34、线性方程组20513x的最小二乘解为 1。36、设矩阵210435A分解为 ALU，则 32401。二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组 bx的必要条件是（ C ） 。AA 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C niai ,21,0 D 2、设 753，则 )(A为( C )A 2 B 5 C 7 D 34、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5
6、、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 47、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 ( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算9、用 1+ 3x近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断10、-324 7500 是舍入得到的近似值，
7、它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 811、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x2 的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是( B )。(A) y=(x)与 x
8、 轴交点的横坐标 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组 ，第 1 次消元，选择主元为( 340921xxA ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(xx2)(x xn1)(xxn)，5(D) )(!1()
9、()xnfxPfRn 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足 ( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。 0)()D(0)()C(0)()B(0)()A( 0000 xfxfxfxf19、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) 1:,112 kkxx迭 代 公 式(B) 212:, kk迭 代 公 式(C)3/113 )(:,1kxx迭 代 公 式(D):, 2123 kk迭 代 公 式21、解方程组 bAx的简单迭代格式 gBx)()
10、( 收敛的充要条件是（ ） 。（1） 1)(, (2) B, (3) 1A, (4) 1)(B23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取 37.计算 4()x，下列方法中哪种最好？（ ）(A) 86； (B) 2； (C) 2163)； (D) 4163()。27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）ix 1.5 2.5 3.5()f-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A) 5； (B
11、) 4； (C) 3； (D) 2。29、计算 3的 Newton 迭代格式为( )(A) 12kx；(B)12kx；(C) 1kx；(D) 13kx。 30、用二分法求方程 340在区间 2,内的实根，要求误差限为302，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。632、设 ()ilx是以 019(,)k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikl( )(A) ； （B） ； （C） i； （D） 1。 35、已知方程 325在 2x附近有根，下列迭代格式中在 02x不收敛的是( )(A) 31kkx； (B)15kk； (C)315kkx； (
12、D)3125kkx。36、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打）1、已知观察值 )210()miyxi ， ,用最小二乘法求 n 次拟合多项式 )(xPn时，)(Pn的次数 n 可以任意取。 ( )2、用 1-2x近似表示 cosx 产生舍入误差。 ( )3、 )(210x表示在节点 x1 的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( ) 5、矩阵 A= 5213具有严格对角
13、占优。 ( )四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 25218431x，取 T)0,()0x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 7 )2(5184)2(11(2)(1)(3 )(3)1()(2()()( kkk kk xxxxk )(1kx)(2k)(3k0 0 0 01 2.7500 3.8125 2.53752 0.20938 3.1789 3.68053 0.24043 2.5997 3.18394 0.50420 2.4820 3.70192、已知 ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，
14、并求)2(f的近似值（保留四位小数） 。答案： )53(4)1(6)51(4)3(3 xxxxL)()()()(5差商表为 ixiy一阶均差 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP85.)2(3Pf5、已知 ix-2 -1 0 1 2)(if4 2 1 3 5求 )(xf的二次拟合曲线 2xp，并求 )(f的近似值。答案：解： iiiy2i3ix4iiyxi20 -2 4 4 -8 16 -8 161 -1 2 1 -1 1 -2 22 0 1 0 0 0 0 03 1 3 1 1 1 3 34 2 5 4
15、8 16 10 200 15 10 0 34 3 41正规方程组为 4131052a,0,722214037)(xxpxp1)(2 3)(2f6、已知 sin区间0.4，0.8的函数表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|2xMxR9尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,65.最好，实际计算结果 596274.0381.
16、sin，且 410532. )7.063891.)(096381.)(5689(!7.si 7、构造求解方程 xe的根的迭代格式 ,2),(1nxn，讨论其收敛性，并将根求出来， 41|n。答案：解：令 0)(,02)(,0e)( effxf .且 )(xf ，对 ，故 x在(0,1)内有唯一实根.将方程0变形为 )e2(10xx则当 )1,(x时 )e2(10)xx，10e|)(| x故迭代格式 )e(1nxn收敛。取 5.0x，计算结果列表如下：n 0 1 2 30.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325n 4 5 6 7x0.090 595
17、 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008且满足 6671090.| .所以 08529.*x.108利用矩阵的 LU 分解法解方程组 2053182431x。答案：解： 45312LUA令 by得 T)7,04(， yxU得 T)3,21(.9对方程组 84102532xx（1） 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由；（2） 取初值 T),()0，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)1(| kx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 150238413xx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 )1523(1084)(10)()1)(3 (3)(2 ()(2)( kkk kkkxx取 T)0,()x,经 7 步迭代可得： T)01.,32695.,49.()*x.10、已知下列实验数据xi 1.36 1.95 2.16f(xi) 16.844 17.378 18.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
