1、1第三章 一元函数的导数和微分3.1 导数概念 一、问题的提出1.切线问题割线的极限位置切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即切线MT的斜率为2.自由落体运动的瞬时速度问题2二、导数的定义设函数y=f（x）在点 的某个邻域内有定义，当自变量x在 处取得增量x（点 仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量 ；如果y与x之比当x0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点 处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点 处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点 处的导数是因变量在点 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。
2、如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一 ，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作注意：2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.导数定义例题：例1、115页8设函数f（x）在点x=a可导，求：3（1）【答疑编号11030101】（2）【答疑编号11030102】三、单侧导数1.左导数：2.右导数：4函数f（x）在点 处可导 左导数 和右导数 都存在且相等.例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103】解闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且
3、 及 都存在，就说f（x）在闭区间a，b上可导.由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104】解5例4、设函数【答疑编号11030105】解同理可以得到 例5、求例6、求函数 的导数。【答疑编号11030106】解6例7、求函数 的导数。【答疑编号11030107】解四、常数和基本初等函数的导数公式五、导数的几何意义表示曲线y=f（x）在点 处的切线的斜率，即 7切线方程为法线方程为例8、求双曲线 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。【答疑编号11030108】解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为8法线方程为六、可导与连续
4、的关系1.定理 凡可导函数都是连续函数.注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。我们有：不连续一定不可导极限存在、连续、可导之间的关系。2.连续函数不存在导数举例例9、讨论函数 在x=0处的连续性与可导性。【答疑编号11030109】解：9例10、 P115第10题设 ，在什么条件下可使f（x）在点x=0处。（1）连续；（2）可导。【答疑编号11030110】解：（1）（2）10七、小结1.导数的实质：增量比的极限；2.导数的几何意义：切线的斜率；3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；4.5.求导数最基本的方法：由定义求导数.6.判断可导性3.2 求导法则 3.3 基本求导公式 一、和、差、积、商的求导法则1.定理：如果函数 在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且
