1、第三讲 导数的简单应用 必记公式 1 基本初等函数的八个导数公式 原函数 导函数 f(x) C(C 为常数 ) f (x) 0 f(x) x( R) f (x) x 1 f(x) sinx f (x) cosx f(x) cosx f (x) sinx f(x) ax(a0，且 a 1) f (x) axln_a f(x) ex f (x) ex f(x) logax(a0，且 a 1) f (x) 1xlogae 1xln a f(x) ln x f (x) 1x 2.导数四则运算法则 (1)f(x)g(x) f (x)g (x)； (2)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (
2、x)； (3) fxgx f xgx fxg xgx2 (g(x) 0)； (4)若 y f(u)， u ax b，则 yx yu ux ， 即 yx ayu . 重要概念 1 切线的斜率 函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k f (x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f (x0)(x x0) 2 函数的单调性 在某个区间 (a， b)内，如果 f (x)0(f (x)f(x0)，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作 y 极小值 f(x0)极大值与极小值统称为极值 4 函数的最值 将函
3、数 y f(x)在 a， b内的 各极值 与 端点处的函数值 f(a)， f(b)比较 ，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 重要性质 1 定积分的性质 (1)abkf(x)dx kabf(x)dx； (2)abf1(x)f2(x)dx abf1(x)dxabf2(x)dx. (3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 a0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 _ 解析 y ex，则 y ex在点 (0,1)处的切线的斜率 k 切 1，又曲线 y 1x(x0)上点 P 处的切线与 y ex在点 (0,1)处的切线垂直，所以y 1x(x0)在点 P 处的切线的斜率
4、为 1，设 P(a， b)，则曲线 y 1x(x0)上点 P 处的切线的斜率为 y |x a a 2 1，可得 a 1，又 P(a，b)在 y 1x上，所以 b 1，故 P(1,1) 答案 (1,1) 题型 2 定积分的计算 典例 2 2014湖北高考 若函数 f(x)， g(x)满足 -11 f(x)g(x)dx 0，则称 f(x)， g(x)为区间 1,1上的一组正交函数给出三组函数： f(x) sin12x， g(x) cos12x； f(x) x 1， g(x) x 1； f(x) x， g(x) x2. 其中为区间 1,1上的正交函数的组数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3
5、解析 对于 ， -11sin12xcos12x dx -11 12sinxdx12-11 sinxdx 12 cosx 1 1 12 cos 1 cos( 1) 12( cos 1 cos 1) 0. 故 为一组正交函数； 对于 ， -11 (x 1)(x 1)dx-11 (x2 1)dx 13x3 x 1 1131 13 1 23 2 43 0， 故 不是一组正交函数； 对于 ， -11 (xx2)dx-11 x3dx 14x4 1 1 0. 故 为一组正交函数，故选 C. 答案 C 1 求曲线 y f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0， y0)，求 y f(x)过点
6、 P 的切线方程： 求出切线的斜率 f (x0)，由点斜式写出方程 (2)已知切线的斜率为 k，求 y f(x)的切线方程： 设切点 P(x0， y0)，通过方程 k f (x0)解得 x0，再由点斜式写出方程 (3)已知切线上一点 (非切点 )，求 y f(x)的切线方程： 设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率 f (x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程 (组 )解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程 2 利用切线 (或方程 )与其他曲线的关系求参数 已知过某点切线方程 (斜率 )或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程 (组 )或函数
7、求解 3 求定积分的三种方法 (1)利用定义求定积分 (定义法 )，可操作性不强 (2)利用微积分基本定理求定积分 (3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分 01 1 x2dx 的几何意义是求单位圆面积的 14，所以 01 1 x2dx 4. 提醒： 求曲线的切线方程时，务必分清在点 P 处的切线还是过点P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标 考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法 题型 1 利用导数研究函数的单调性 (单调区间 ) 典例 3 2014全国卷 已知函数 f(x) ex e x 2
8、x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设 g(x) f(2x) 4bf(x)，当 x0 时， g(x)0，求 b 的最大值； (3)已知 1.41420， g(x)0； 当 b2 时，若 x满足 20， ln 28 2 312 0.6928； 当 b 3 24 1 时， ln (b 1 b2 2b) ln 2， g(ln 2) 32 2 2 (3 2 2)ln 20时，由于函数 y 2mx2 x 1的图象的对称轴 x 14m0，故需且只需 0，即 1 8m0，故 01，由 g (x)0，得 0 12m； 由 g (x)0， 故在 12m， 上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题意 综上
9、所述， m 12. 1 导数与单调性之间的关系 (1)导数大 (小 )于 0 的区间是函数的单调递增 (减 )区间 (2)函数 f(x)在 D 上单调递增 x D， f (x) 0 且 f (x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零； 函数 f(x)在 D上单调递减 x D， f (x) 0且 f (x)在区间 D的任何子区间内都不恒为零 2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求 f (x) (2)将单调性转化为导数 f (x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解 考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法 题型 1 求函数的极值 (最值 ) 典例 5 2016合肥质检 已知函数
10、f(x) e1 x(2ax a2)(其中a 0) (1)若函数 f(x)在 (2， )上单调递减，求实数 a 的取值范围； (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a)，当 a0 时，求 g(a)的最大值 解 (1)由 f(x) e1 x(2ax a2)， 得 f (x) e1 x(2ax a2) 2ae1 x e1 x(2ax a2 2a) 0，又a 0，故 x 1 a2， 当 a0时， f(x)在 ， 1 a2 上为增函数，在 1 a2， 上为减函数， 1 a2 2，即 a 2， 00时， f(x)max f 1 a2 2ae a2即 g(a) 2ae a2. 则 g (a) (2 a)e a2 0，得 a 2， g(a)在 (0,2)上为增函数，在 (2， )上为减函数， g(a)max g(2) 4e. 题型 2 知极值的个数求参数范围 典例 6 2016沈阳质检 已知函数 f(x) xln x a2x2 x a(aR)在其定义域内有两个不同的极值点 (1)求 a 的取值范围； (2)记两个极值点为 x1， x2，且 x10，若不等式 e1 0， 当 xe 时， g (x)0)， 若 a 0，可见 g (x)0 在 (0， )上恒成立，所以 g(x)在 (0， )上单调递增，此时 g(x)不可能有两个不同零点 若 a0，当 00，当 x1a时， g (x)0，所以 g(x)
