1、天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ） 2*|60AxNx,26BABA B C D 2,63, 00,362.已知 是虚数单位，若复数 为纯虚数（ ， ） ，则 （ ）i 1bizaabR|zA B C D 12233.如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取
2、自白色区域的概率为（ ）A B C D 64321684.已知函数 （ ）的最小值为 2，则实数 （ ）()xfa0aA2 B4 C8 D16 5.已知数列 满足 ， ， ，则数列na212nnaa61035814前 项的和等于（ ）n13A162 B182 C234 D346 6.用 ， ， 表示某培训班 10 名学员的成绩，其成绩依次为1a210a85,68,95,75,88,92,90,80,78,87执行如图所示的程序框图，若分别输入 的 10 个值，则ia输出的 的值为（ ）1niA B C D 3513710797.如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A16 B
3、32 C48 D60 8.已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ） 0xy0z41yzxyzA8 B9 C12 D16 9.将函数 向左平移 个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ()|sinco|2xf6） A B C D 6x4x3x23x10.已知点 ， 是圆 ： 上任意一点，若线段 的(1,)QmP22()(4)ayPQ中点 的轨迹方程为 ，则 的值为（ ）M221)xymA1 B2 C3 D4 11.已知四棱锥 的侧棱长均为 ，底面是两邻边长分别为 和 的矩形，PACD023则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D 1832364812.已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 交
4、抛物线于 ， 两点，若 为线段C8yxFlPQR的中点，连接 并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ） PQORS|ORA B C D (0,2)2,)(0,2(2,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数是 （用数值作答）71(5)2xy25xy14.已知实数 ， 满足 则 的取值范围为 0,4321,xy43yzx15.如图，在等腰梯形 中， ，点 ， 分别为线段 ，ABCD12BADCEFAB的三等分点， 为 的中点，则 BCOcos,FEO16.已知过点 与曲线 （ ）相切的直线有且仅有两条，则(0,1)32(
5、)6afxx0实数 的取值范围是 a三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列 的前 项分别为 1， ， ，公比不为 1 的等比数列 的前 3 项分别n3abnb为 4， ， 2a1b（1）求数列 与 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 项和 2(log1)nncabncnS18.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足ABCBCabc2222()t3()cc（1）求角 ；A（2）若 的面积为 ，求 的值 BC322(43)cosbAaBb19.某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给
6、娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近 6 年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016年份代码 x1 2 3 4 5 6使用率（ ）y%11 13 16 15 20 21（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程，yx并预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的型、型两种，每辆价格分别为 1万元、1.2 万元根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年娱乐
7、场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了 50 辆进行统计，使用年限如条形图所示：已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是 0.8 万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润 收益 购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托？附：回归直线方程为 ,其中 ，ybxa1122()nniiiii iixyxyaybx20.如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，且PABCD/ADBC90， 2ADBC（1）求证：平面 平面 ；PADBC（2）设 ，求二面角 的余弦值45P21.如图，已知 为椭圆 ： 的右焦点， ， ， 为椭圆(3,0)F
8、21(0)xyab1B2A的下、上、右三个顶点， 与 的面积之比为 2BO2A32（1）求椭圆 的标准方程；C（2）试探究在椭圆 上是否存在不同于点 ， 的一点 满足下列条件：点 在 轴上1B2PPy的投影为 ， 的中点为 ，直线 交直线 于点 ， 的中点为 ，且QPM20ybN1BR的面积为 若不存在，请说明理由；若存在，求出点 的坐标MOR351022.已知函数 ()ln()fxmxR（1）讨论 的单调性；（2）若方程 存在两个不同的实数根 ， ，证明： ()0fx1x212()mx天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）答案一、选择题1-5: 6-10:
9、 11、12：ADBCABDCD二、填空题13. 14. 15. 16.5232(,)312(2,)三、解答题17.解：（1）由题意，得 解得 （舍去）或21,()4(),ab,1ab3,5ab所以数列 的公差为 ，通项公式为 ，即 ，nad2()nn21n数列 的公比为 ，通项公式为 b2q1nb（2）由（1）得 ，(1)2nc所以 12()()351n nSn18.解：（1） ，2222)ta3cbBbca由余弦定理，得 ，即 ososAstn3cosBbA由正弦定理与同角三角函数基本关系，得 ，iinci， tan3A（2） 的面积为 ， ，即 ，BC3213si2bc3bc (4)co
10、sosbaBAaB，22223c 2b 2(4)cos1bAaBb19.解：（1）由表格数据，得 ， ， ，3.5x16y371ixy ， ，612iixyb716.252.59a水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程为 yxyx当 时， ，故预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率为 8x2895 25%（2）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.2,0.3,0.3,0.2，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元） 1(0.8).2(0.81).3(0.81).3(40.81).2E由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托
11、每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1,0.2,0.4 和 0.3，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值 2(0.81).(20.81).2(30.812).4(0.812).3E（万元） 20.（1）证明：如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ，ADBOGBOPG则四边形 为正方形，OBC ， AG又 ， ，P 平面 ， APO ， D又 与 为平面 内的两条相交直线， 平面 ABBCPOABCD又 平面 ，平面 平面 PODABC（2）解：由（1）知，以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,OBDP，Oxyz ，则由 ，知 45PADAOBD令
12、 ，则 ， ， ， ，1B(0,)P(1,0)(,)C(0,1) ， ， (,0),D设平面 的法向量为 ，P11(,)nxyz则由 ，得 即 取 ，得 1,nBD10,P10,1x1(,)n又设平面 的法向量为 ，C22()nxyz则由 得 即 取 ，得 ，2,nP20,2,021y2(0,1)n ，112216cos, 3|n又二面角 为锐角，BDC二面角 的余弦值为 P6321.解：（1）由已知，得 2132BOFAbcSa又 ， ，结合 ，解得 ，3ca22c1椭圆 的标准方程为 C214xy（2）设 （ ） ，则 ， ， 0(,)Pxy00(,)Q2014xy0(,)2xMy又 ，直
13、线 的方程为 2(,1)B2BM0yx ， ，令 ，得 0x0y10(,1)N又 ，则 ，1(,)B0(,)2xRy200 001| ()()xyM直线 的方程为 ，即 ，R00()xy02x点 到直线 的距离为 ，O2014dxy ，01135|2MRS解得 ，代入椭圆方程，得 ，027y0657x存在满足条件的点 ，其坐标为 P2(,)22.解：（1）函数 的定义域为 ， ()fx0,1(mxfx当 时， ， 在区间 上单调递增0m0()f)当 时，由 ，得 ， 在区间 上单调递增，()fx1xm(fx(0,)由 ，得 ， 在区间 上单调递减.()fx1()f,)（2）由方程 存在两个不同的实数根 ， ，可设 ，()0f1x212x ， ， ， ，1()fx2x1ln0xln0 ， 1212ln()m21x要证 ，只需证 ，等价于 ，12()x2112lnxx122()lnx设 ，上式转化为 ，12t()lt设 ， ，()()lntgt2(1) 0tg 在 上单调递增，t1,) ， ， ()0g2(1)lnt12()mx
