1、2016 年高考文科数学真题及答案全国卷 1注意事项：1.本试卷分第卷(选择题) 和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页,第卷 3 至 5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回 .第卷一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1 ）设集合 , ,则1,357A2BxAB（A）1,3 （B）3,5 （C）5,7 （D）1,7【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形
2、式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=12ia（A）3 （B）2 （C ）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析： ,由已知, 得 ,解得 ,故选 A.iaia)21()(21a213考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义, 共轭复数,复数的模及复数的乘除运算, 这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误, 特
3、别是 中的负号易忽略,所以做复数题要注意2i1运算的准确性.（3 ）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A） （B） （C） （D）132356【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.（4 ） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b 、c. 已知 , , ,则 b=52cos3A（A） （B） （C）2 （D ）323【答案】D【解析
4、】试题分析：由余弦定理得 ,解得 （ 舍去）,故选 D.32452bb31考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一, 根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程, 再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因 ,请考生切记！（5 ）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆14的离心率为（A） （B） （C） （D）13 12 23 34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中, 1OFc,Bb,2b4在 中, ,且 ,代入解得RtOFB|D2ac,所以椭圆得离心率得 ,故选 B.2a4c1eyxOBFD考点：椭圆的
5、几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于 a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求 e .（6 ）若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为6 14（A）y=2sin(2x+ ) （B）y=2sin(2x+ ) （C）y=2sin(2x ) （D）y=2sin(2x )4 3 4 3【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对 x 而言的,不用忘记乘以系数.（
6、7 ）如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是 ,则它的表面积是283（A）17 （B）18 （C ）20 （D）28 【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8 ）若 , ,则0ab1c（A）log accb【答案】B【解析】试题分析：由 可知 是减函数,又 ,所以 故选 B.01clogcyx0abloglccab本题也可以用
7、特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同, 可考虑利用中间量进行比较.（9 ）函数 在 的图像大致为2xye,（A） （B）（C ） （D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高, 故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法, 即由函数性质排除不符合条件的选项.（10 ）执行右面的程序框图, 如果输入的 n=1,则输出 的值满足0,1xy,xy（A） （B）
8、（C） （D）2yx3yx45n=+1件x,yx2+y36件x=+n-12y=n件x,yn【答案】C【解析】试题分析：第一次循环： ,0,12xyn第二次循环： ,1,23第三次循环： ,此时满足条件 ,循环结束, ,满足,6xyn236xy362xy故选 C4y考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11 ）平面 过正文体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A , ,1/CBD平 面 ACm平 面,则 m,n 所成角的正弦值为1AB平 面（A）（B）（C）（D）323【
9、答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理, 异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12 ）若函数 在 单调递增,则 a 的取值范围是1()sin2i3fx-xa（A） （ B） （C） （D）1,1,3【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)
10、题 第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 3 小题 ,每小题 5 分（13 ）设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a b,则 x= .【答案】 23【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3xxab考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式, 又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 ,则12,xyyab.12xyab（14 ）已知 是第四象限角,且 sin(+ )= ,则 tan( )=.4354【答案】 43
11、【解析】试题分析：由题意 ,sinsin4423cos45因为 ,所以 ,22kkZ72kkZ从而 ,因此 故填 4sin54tan3考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算, 要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.（15 ）设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 ,则圆 C 的面积为|=23【答案】 4考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径 r、弦长 l、圆心到弦的距离 d 之间的关系： 在求圆的方程时常常用到.22lrd（16 ）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需
12、要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元. 【答案】 2160【解析】试题分析：设生产产品 、产品 分别为 、 件,利润之和为 元, 那么ABxyz1.50,396,0.xyy目标函数 .2190zxy取得最大值.解方程组 ,得 的坐标 .356M(60
13、,1)所以当 , 时, .60x1ymax21092z故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元.AB60考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大, 失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17 ）.（本题满分 12 分）已知 是公差为 3 的等差数列, 数列 满足nanb,.121=3nnbab， ，（I）求 的通项公式；n（II）求 的前 n 项和.b【答案
14、】 （I） （II）31na1.23n（II）由（I）和 ,得 ,因此 是首项为 1,公比为 的等比数列.记1nnab13nbn13的前 项和为 ,则nbS11()3.2nnnS考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18 ）.（本题满分 12 分）如图, 在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E
15、,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）,并求四面体 PDEF 的体积 PA BDCGE【答案】 （I）见解析（ II）作图见解析, 体积为 43试题解析：（I ）因为 在平面 内的正投影为 ,所以PACD.ABP因为 在平面 内的正投影为 ,所以DPABE.ABD所以 平面 ,故.G又由已知可得, ,从而 是 的中点. （II）在平面 内, 过点 作 的平行线交 于点 , 即为 在平面 内的正投PFEPAC影.理由如下：由已知可得 , ,又 ,所以 ,因此 平面PBA
16、C/BF,即点 为 在平面 内的正投影.PACFE连接 ,因为 在平面 内的正投影为 ,所以 是正三角形 的中心.GDAC由（I）知, 是 的中点,所以 在 上, 故BG2.3由题设可得 平面 , 平面 ,所以 ,因此PCAEPAB/EP21,.3PGDEC由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 ,可得 62.D在等腰直角三角形 中, 可得F2.F所以四面体 的体积PDE1433V考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. （19 ） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
