1、运筹学 习题答案 1 教材习题答案 部分有图形的答案附在各章 PPT 文档的后面，请留意。 第 1 章 线性规划 第 2 章 线性规划的对偶理论 第 3 章 整数规划 第 4 章 目标规划 第 5 章 运输与指派问题 第 6 章 网络模型 第 7 章 网络计划 第 8 章 动态规划 第 9 章 排队论 第 10 章 存储论 第 11 章 决策论 第 12 章 对策论 习题一 1.1 讨论下列问题： （ 1）在例 1.1 中，假定企业一周内工作 5 天，每天 8 小时，企业设备 A 有 5 台，利用率为0.8,设备 B 有 7 台，利用率为 0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化 （ 2）在例
2、 1.2 中，如果设 xj(j=1， 2， ， 7)为工作了 5 天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化 （ 3）在例 1.3 中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路 （ 4）在例 1.4 中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过 1，模型如何变化 （ 5）在例 1.6 中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间 1 小时，模型如何变化 1.2 工厂每月生产 A、 B、 C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表 1 22 所示 表
3、 1 22 产品 资源 A B C 资源限量 材料 (kg) 1.5 1.2 4 2500 设备 (台时 ) 3 1.6 1.2 1400 利润 (元 /件 ) 10 14 12 根据市场需求 ,预测三种产品最低月需求量分别是 150、 260 和 120,最高月需求是 250、 310和 130.试建立该问题的数学模型 ,使每月利润最大 【 解 】设 x1、 x2、 x3 分别为产品 A、 B、 C 的产量，则数学模型为 运筹学 习题答案 2 1 2 31 2 31 2 31231 2 3m a x 1 0 1 4 1 21 .5 1 .2 4 2 5 0 03 1 .6 1 .2 1 4
4、0 01 5 0 2 5 02 6 0 3 1 01 2 0 1 3 0, , 0Z x x xx x xx x xxxxx x x 1.3 建筑公司需要用 6m 长的塑钢材料制作 A、 B 两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及数量如表 1 23 所示： 表 1 23 窗架所需材料规格及数量 型号 A 型号 B 每套窗架需要材料 长度（ m） 数量 (根 ) 长度(m) 数量 (根 ) A1： 1.7 2 B1： 2.7 2 A2： 1.3 3 B1： 2.0 3 需要量（套） 200 150 问怎样下料使得（ 1）用料最少；（ 2）余料最少 【 解 】 第一步：求下料方案，见下 表。 方案
5、一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 需要量 B1:2.7m 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 B2:2m 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 450 A1:1.7m 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 400 A2:1.3m 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 2 3 4 600 余料 0.6 0 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0.6 1 0.1 0.9 0 0.4 0.8 第二步：建立线性规划数学模型 设 xj（ j=1,2, ， 14）为第 j 种方案使用原材料的根数，则 （ 1
6、）用料最少数学模型为 1411 2 3 42 5 6 7 8 9 1 03 6 8 9 1 1 1 2 1 32 3 4 7 9 1 0 1 2 1 3 1 4m in2 3 0 03 2 2 4 5 02 3 2 4 0 02 3 2 3 4 6 0 00 , 1 , 2 , , 1 4jjjZxx x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x xxj 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X(2)=( 0 ,200 ,100 ,
7、0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （ 2）余料最少数学模型为 运筹学 习题答案 3 1 3 4 1 3 1 41 2 3 42 5 6 7 8 9 1 03 6 8 9 1 1 1 2 1 32 3 4 7 9 1 0 1 2 1 3 1 4m in 0 . 6 0 . 3 0 . 7 0 . 4 0 . 82 3 0 03 2 2 4 5 02 3 2 4 0 02 3 2 3 4 6 0 00 , 1 , 2 , , 1 4jZ x x x x xx x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x
8、 xxj 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 550 根 X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 650 根 显然用料最少的方案最优。 1.4 A、 B 两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品 A 需要前道工序 1 小时和后道工序 2 小时，每一个单位产品 B 需要前道工序 2 小时和后道工序 3 小时可供利用的前道 工序有 11 小时，后道工序有 17 小时 每加工一个单位产品 B 的
9、同时，会产生两个单位的副产品 C，且不需要任何费用，产品 C一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁 出售单位产品 A、 B、 C 的利润分别为 3、 7、 2 元，每单位产品 C 的销毁费为 1 元预测表明，产品 C 最多只能售出 13 个单位试建立总利润最大的生产计划数学模型 【 解 】设 x1,x2 分别为产品 A、 B 的产量， x3 为副产品 C 的销售量 ,x4 为副产品 C 的销毁量，有 x3+x4=2x2,Z 为总利润，则数学模型为 1 2 3 412122343m a xZ =3 +7 +22 112 3 1720130 , 1, 2 , , 4jx x x xxxxxx x x
10、xxj 1.5 某投 资人现有下列四种投资机会 , 三年内每年年初都有 3 万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是 20，下一年可继续将本息投入获利； 方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是 50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过 2 万元； 方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是 60，这种投资最多不超过 1.5 万元； 方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是 30，这种投资最多不超过 1 万元 投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立
11、数学模型 . 【 解 】是设 xij为第 i 年投入第 j 项目的资金数 ， 变量表如下 项目一 项目 二 项目 三 项目 四 第 1 年 第 2 年 第 3 年 x11 x21 x31 x12 x23 x34 数学模型为 运筹学 习题答案 4 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 41 1 1 21 1 2 1 2 31 2 2 1 3 1 3 4122334m a x 0 .2 0 .2 0 .2 0 .5 0 .6 0 .3300001 .2 3 0 0 0 01 .5 1 .2 3 0 0 0 02000015000100000 , 1 , , 3 ; 1 , 4ijZ x x
12、x x x xxxx x xx x x xxxxx i j 最优解 X=(30000， 0， 66000， 0， 109200， 0)； Z 84720 1.6 IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商公司有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资 金和净现值见表 1 24三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值例如，公司按 10投资项目 1，现在必须支付400 万，今后三年分别投入 600 万、 900 万和 100 万，获得净现值 450 万 公司目前和预计今后三年可
13、用于三个项目的投资金额是：现有 2500 万，一年后 2000 万，两年后 2000 万，三年后 1500 万当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用 IV 公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其 投资获得的净现值最大 表 1 24 年份 10 项目所需资金（万元） 项目 1 项目 2 项目 3 0 400 800 900 1 600 800 500 2 900 800 200 3 100 700 600 净现值 450 700 500 【 解 】以 1为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表（ 2）。 表（ 2） 年份 每种活动单位资源使用量（每个百分点投
14、资的累计数） 项目 1 项目 2 项目 3 累计可用资金 (万元 ) 0 40 80 90 2500 1 100 160 140 4500 2 190 240 160 6500 3 200 310 220 8000 净现值 45 70 50 设 xj 为 j 项目投资比例，则数学模型： 1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3m a x 4 5 7 0 5 04 0 8 0 9 0 0 2 5 0 01 0 0 1 6 0 1 4 0 4 5 0 01 9 0 2 4 0 1 6 0 6 5 0 02 0 0 3 1 0 2 2 0 8 0 0 00 , 1 , 2 , 3jZ x
15、x xx x xx x xx x xx x xxj 运筹学 习题答案 5 最优解 X（ 0， 16.5049， 13.1067）； Z=1810.68 万元 年份 实际投资 项目 1 比例： 0 项目 2 比例：16.5049 项目 3 比例：13.1067 累计投资 (万元 ) 0 0 1320.392 1179.603 2499.995 1 0 2640.784 1834.938 4475.722 2 0 3961.176 2097.072 6058.248 3 0 5116.519 2883.474 7999.993 净现值 0 1155.343 655.335 1.7 图解下列线性规划
16、并指出解的形式： (1) 12121212m ax 2131,0Z x xxxxxxx 【解】 最优解 X（ 1/2， 1/2）； 最优值 Z= 1/2 (2) 12121212min 3222 3 120, 0Z x xxxxxxx 【解】 最优解 X（ 3/4， 7/2）； 最优值 Z= 45/4 运筹学 习题答案 6 (3)121212121212m in 3 22 114 102731,0Z x xxxxxxxxxxx 【解】 最优解 X（ 4， 1）； 最优值 Z= 10 运筹学 习题答案 7 (4) 121212112max3 8 12223,0Z x xxxxxxxx 【解】 最
17、优解 X（ 3/2， 1/4）； 最优值 Z=7/4 (5) 0,6322min21212121xxxxxxxxZ【解】 最优解 X（ 3， 0）； 最优值 Z=3 运筹学 习题答案 8 (6) 0,6322max21212121xxxxxxxxZ【解】 无界解。 (7)12121212min 2 5262,0Z x xxxxxxx 运筹学 习题答案 9 【解】 无可行解。 (8) 121211212m ax 2.5 2280.5 1.52 10,0Z x xxxxxxxx 【解】 最优解 X（ 2， 4）； 最优值 Z=13 运筹学 习题答案 10 1.8 将下列线性规划化为标准形式 (1)
18、1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3m ax 42 3 205 7 4 310 3 6 50 , 0 ,Z x x xx x xx x xx x xx x x 无 限 制【 解 】（ 1）令 654333 , xxxxxx 为松驰变量 ，则标准形式为 1 2 3 3 1 2 3 3 4 1 2 3 3 5 1 2 3 3 6 1 2 3 3 4 5 6m a x 42 3 3 205 7 4 4 310 3 6 6 5, , , , , , 0Z x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x x x (2) 1 2 31 2 31121 2 3m in 9 3 5| 6 7 4 | 205880 , 0 , 0Z x x xx x xxxxx x x 【 解 】（ 2） 将绝对值化为两个不等式 ，则标准形式为
