1、第 1 页 共 23 页 数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率 s=6， 采样后经理想低通滤波器 Ha(j )还原，其中 30321)(，jHa现有两个输入， x1(t)=cos2 t， x2(t)=cos5 t。 试问输出信号 y1(t)， y2(t)有无失真？为什么？ 分析： 要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率 s 必须大于等于信号谱最高角频率 h的 2 倍，即满足 s 2 h。 解： 已知采样角频率 s=6， 则由香农采样定理，可得 因为 x1(t)=cos2 t， 而频谱中 最高角频率 32621 h，所以 y1(t)
2、无失真； 因为 x2(t)=cos5 t， 而频谱中 最高角频率 32652 h，所以 y2(t)失真。 2.2 设模拟信号 x(t)=3cos2000 t +5sin6000 t +10cos12000 t， 求： （ 1） 该信号的最小采样频率； （ 2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 分析： 利用信号的采样定理及采样公式来求解。 1 采样定理 采样后信号不失真的条 件为：信号的采样频率 fs不小于其最高频率 fm的两倍，即 fs 2fm 2 采样公式 )()()( snTt nTxtxnx s 解： （ 1）在模拟信号中含有的频率成分是 f1=1000Hz， f2
3、=3000Hz， f3=6000Hz 信号的最高频率 fm=6000Hz 由采样定理 fs 2fm，得信号的最小采样频率 fs=2fm =12kHz （ 2）由于采样频率 fs=5kHz，则采样后的输出信号 nnnnnnnnnnnfnxnTxtxnxssnTts522s i n5512c o s13512c o s10522s i n5512c o s35112c o s105212s i n5512c o s3562c o s10532s i n5512c o s3)()()(第 2 页 共 23 页 说明 ： 由上式可见，采 样 后的信号中只出现 1kHz 和 2kHz 的频率成分，即 k
4、 H zfffk H zfffss25 0 0 02 0 0 05215 0 0 01 0 0 0512211，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号 tttftfty 4 0 0 0s i n52 0 0 0c os132s i n52c os13)( 21 可见，恢复后的模拟信号 y(t) 不同于原模拟信号 x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。 第三章 傅里叶分析 I. 傅里叶变换概述 3.1 习题 3.2设序列 x(n)= (n-m)，求其频谱 X(ej )，并讨论其幅频和相频响应 分析： 求解序列的频谱有两种方法： 1 先
5、求序列的 z 变换 X(z)，再求频谱 jezj zXeX )()(，即 X(ej )为单位圆上的 z 变换； 2 直接求序列的傅里叶变换 n njj enxeX )()( 解： 对序列 x(n)先进行 z 变换，再求频谱，得 mzmnZTnxZTzX )()()( 则 jmezj ezXeX j )()(若系统的单位采样响应 h(n)=x(n)，则系统的频率响应 )(e x p )(1)()( jeHeeeXeH jjmjmjj 故其幅频和相频响应（如图）分别为 幅频 响应 1)( jeH 相频响应 m)( 由图可见，该系统的频率响应具有 单位幅值 以及 线性相位 的特点。 3.2 设 x(
6、n)的傅里叶变换为 X(ej )，试利用 X(ej )表示下列序列的傅里叶变换： （ 1） )1()1()(1 nxnxnx ( ) H(ej ) 1 第 3 页 共 23 页 （ 2） )()(21)(2 nxnxnx 分析： 利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即 )()( jeXnx ， )()( jeXnx )()( jmj eXenmx 解： （ 1）由于 )()( jeXnxD T F T ， )()( jeXnxD T F T ，则 )()1( jj eXenxD T F T )()1( jj eXenxD T F T 故 c o s)(2)()( 1 jjjj eXeee
7、XnxD T F T （ 2）由于 )()( jeXnxD T F T 故 )(R e 2 )()()(2 jjj eXeXeXnxDT F T 3.3 设 X(ej )是如图所示的信号 x(n)的傅里叶变 换，不必求出 X(ej )，试完成下列计算： （ 1） )( 0jeX （ 2） deX j )(（ 3） deX j 2)(分析： 利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。 （ 1） 序列的傅里叶变换公式为： 正变换 nnjj enxeX )()( 反变换 deeXnx njj )(21)(（ 2） 帕塞瓦定理 deXnx jn 22 )(21)( 第 4 页 共 23 页 解：
8、（ 1）由傅里叶正变换公式可知 =0，则 6)()()( 00 n nnjj nxenxeX （ 2）由于 ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知 n=0，故 422)(2)()( 00 njjj nxdeeXdeX （ 3） 由帕塞瓦定理，得 28)(2)( 22 nj nxdeX II. 周期序列的离散傅里叶级数（ DFS） 3.4 如图所示，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 分析： 利用 DFS 的定义求解，即 10 )()()( Nn knNWnxnxD F SkX ，其中 k = 0 (N-1) 解： 已知 N = 6，则由 DFS 的定义得 kjkj
9、kjkjkjnnkjnkneeeeeenxWnxkX5624623622626250625061068101214)()()( 对上 式依次取 k = 0 5，计算求得 339)5(33)4(0)3(33)2(339)1(60)0(jXjXXjXjXX， 3.5 设 nnnnx 其他， ，0 401)(， )2()( 4 nRnh 令 6)()( nxnx ， 6)()( nhnh ，试求 )(nx 与 )(nh 的周期卷积。 分析： 可以利用列表法求解，直观方便。由于 )()( nxny * 10 )()()( Nm mnhmxnh第 5 页 共 23 页 只要将列表中对应于某个 n 的一行
10、中的 )( mnh 值和第一行中与之对应的 )(mx 值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此 n 的 )(ny 值 解： 注意 ： 本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。 在一个周期（ N=6）内的计算卷积值 )()( nxny * 10 )()()( Nm mnhmxnh则 )(nx 与 )(nh 的周期卷积 )(ny 值（ n=05）如下表所示： III. 离散傅里叶变换（ DFT） 3.6 已知 x(n)如图所示，为 1， 1， 3， 2，试画出序列 x(-n)5， x(-n)6 R6(n)， x(n)3 R3(n)，x(n)6， x(n-3)5R5(n
11、) 和 x(n)7 R7(n)的略图。 分析： 此题需注意周期延拓的数值，也就是 x(n)N中 N 的数值。如果 N 比序列的点数多，则需补零；如果 N 比序列的点数少，则需将序列按 N 为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。 解： 各序列的略图如图所示。 第 6 页 共 23 页 3.7 试求下列有限长序列的 N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）： （ 1） )()( nRanx Nn （ 2） Nnnnnx 00 0)()( ， （ 3） )()( nnRnx N （ 4） )()( 2 nRnnx N 分析： 利用有限长序列的 DFT 的定义，即 10)()( 10 NkWnx
12、kX Nn knN ， 解： （ 1）因为 )()( nRanx Nn ，所以 kNjNNnnkNjnNnknNnaeaeaWakX210210 11)( （ 2）因为 Nnnnnx 00 0)()( ， ，所以 knNjnnknNNnknNeWWnnkX002100 )()( （ 3）由 )()( nnRnx N ，得 10)( Nn knNnWkX 注意 ： 为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量 n 。 第 7 页 共 23 页 10 )1()( Nn nkNkN nWkXW NWWNWNWNWNWWWNWWWnWnWWkXkNkNNnknNkNNNkNkNkNNkNkNkN
13、kNNnnkNNnknNkN11)1()1()1()2(2)1(32)1)(11)1(32)1(3210)1(10则所以 kNWNkX 1)(（ 4） 注意 ： 本题可利用上题的结论来进行化简。 由 )()( 2 nRnnx N ，则 10 2)( Nn knNWnkX 根据第（ 3）小题的结论：若 )()(1 nnRnx N 则 kNNnknN WNnWkX 1)(101与上题同理，得 kNNnknNNnknNkNNNkNkNkNNkNkNkNkNNnnkNNnknNkNWNNNkXNNnWNNWnNWNWNWWWNWWWWnWnWkX12)2()(2)2(2)2()12()1()1()2(
14、4)1(94)1)(1111122)1(232)1(23210)1(2102第 8 页 共 23 页 所以 10)1( )2()( 2 2 NkW NWNNkX kN kN ， 3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点 循环卷积。 分析： 本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即： 有限长序列 x(n)左移 m（ m 为正整数）位的循环移位定义为 )()()( nRmnxnx NNm 且移位时，在主值区间（ n=0N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。 解： 由循环卷积的定义，可知 )()( 1 nxny 6 612 )(
15、)( nxnx * )()( 662 nRnx 61 )( nx * )()3(3 66 nRn )()3(3 661 nRnx 则根据循环移位的概念，将序列 x1(n)循环右移 3 个单位后乘以 3 并取其主值序列（ n=05）即可，其结果如图所示。 3.9 如图所示的 5 点序列 x(n)，试画出 ： （ 1） x(n)*x(n) （ 2） x(n) 5 x(n) （ 3） x(n)10 x(n) 分析： 本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件 ： 设两个有限长序 列 x(n)、 h(n)的点数分别为 N和 M，其循环卷积的长度为
16、L，则要 用循第 9 页 共 23 页 环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度 L 必须不小于线性卷积的长度 N+M-1，即 L N+M-1 否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。 解： 由于 x(n)是 5 点序列，所以 x(n)* x(n)是 5+5-1=9 点序列，因此， x(n)10 x(n)的前 9 个点（ n=0， 1， 8）就是 x(n)* x(n)值，后一个点（ n=9）为零，因为 L 点循环卷积等于线性卷积结果的 L 点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（ L 可以 是任意整数值）。其运算结果分别如图（ a）、（ b）、（ c）所示。 3.10 已知两个有限长序列为
17、651401)(640301)(nnnynnnnx，试作图表示 x(n)， y(n)以及 f(n) =x(n) 7 y(n)。 分析： 直接利用循环卷积公式或图解法求解。 解： 其结果如图所示。 第 10 页 共 23 页 3.11 习题 3.10已知 x(n)是 N 点有限长序列，且 X(k) = DFTx(n)。现将它补零扩展成长度为 rN 点的有限长序列 y(n)，即 10 10)()( rNnN Nnnxny ， ，试求 rN 点 DFTy(n)与 X(k)的关系。 分析： 利用 DFT 定义求解。 y(n)是 rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解： 由 10)()()
18、( 10 2 NkenxnxD F TkX Nn nkNj ， 可得 110)()()()()(1021010NllrkrkXenxWnxWnynyD F TkYNnrknNjnkrNNnrNnnkrN， 所以在一个周期内， Y(k)的采样点数是 X(k)的 r 倍（ Y(k)的周期为 rN），相当于在 X(k)的每两个值之间插入 r-1个其它的数值（不一定为零），而当 k为 r的整数 l倍时， Y(k)与 rkX相等。 3.12 习题 3.12频谱分析的模拟信号以 8kHz 被采样，计算了 512 个采样 点 的 DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。 分析： 利用频域 采 样间隔 F0和时域 采 样频率 fs以及 采 样点数 N 的关系 fs=N F0。 证： 由 22 00 Ff ss ， 得 00 ssFf 其中 s是以角频率为变量的频谱周期， 0是频谱采样之间的频谱间隔。 又 NFf ss 00 则 NfF s0
