1、1再保险最优分配中的数学模型系 别：数学系专 业：信息与计算科学指导教师：沈纯理学生姓名：王晓雨（B00112805）2摘要：本文将讨论保险公司的最优再保险策略，其中风险由复合泊松过程描述。并在 Borch再保险市场模型基础上讨论任何一种风险在再保险市场上进行交易时，市场上总的风险达到最优分配的定义及充要条件。Abstract: In this paper, with fuzzy theory as a tool, the author has discussed the optimum strategy for reinsurance company, and basing on the m
2、odel of reinsurance market by Borch in 1990, the sufficient and necessary conditions for the tactics of optimal reinsurance is given, the application of utility theory in insurance and the nature of the optimal reinsurance tactics is discussed in this article.目录引 言： .3一、再保险最优分配的定义 .4二、再保险最优分配的充分条件 .
3、5三、再保险最优分配的必要条件 .7参 考 文 献 .93引 言：保险公司通过出售保险而集中了一定的风险。随着社会经济的发展和现代科学技术的广泛应用，一次事故可能造成的物质损毁和人身伤亡的损失程度不断扩大，这样的损失若由单个保险人来履行赔偿责任，很可能导致保险人的财务困难，甚至因此而倒闭破产。为避免一些偶发事件对公司的打击，维持稳定的经营，保险公司必须购买再保险来分散一部分风险。再保险(Reinsurance)也称分保，是保险人将其承担的保险业务，以承保形式，部分转移给其他保险人的行为。作为“保险的保险” ，再保险对于分散保险经营风险，控制保险责任，稳定业务经营，扩大保险公司承保能力，促进保险
4、业的健康发展具有非常重要的作用。然而，原保险公司减少了承担风险的同时，保费收入也因支付再保险费用而减少。如何权衡利润和风险这两者的关系，引出了对最优再保险策略的研究。另一方面，保险公司按照预先设定的投资收益率和理赔发生的概率分布计算保费，当实际收益较高或实际理赔少于预先给定的水平时，保险公司的盈余会比预期多，这多出的一部分将以红利(dividend)的形式由保险公司或投保人分享。但红利的发放若超过一定的限制，必然会影响公司的偿付能力，因此如何确定合适的红利支付，也是一个最优分问题。下面我们就将用数学的方法解决实际问题中关于再保险最优分配的若干问题：假设市场有 家保险公司，分别承担了 种风险，用
5、定义在概率空间 上nn,F的随机变量 表示。假定保险费由市场决定，而非保险公司的决策，12,nx并且任何一次的交易行为都不会影响保费的确定。即保费代表保险公司在再保险市场上将风险转让时，其他保险公司所愿意接受的价格。在再保险市场上，保险公司可以购买或接受关于 的再保险合同，并利用 Proportional12,nx合同的线性组合构造再保险策略。用效用函数 描述保险公司 对风险的态iuxi度。具有形式： ，其中随机变量 表示财富， 为严格单iixEuUXiux4调递增的凸函数。我们将在 Borch再保险市场模型基础上讨论任何一种风险在再保险市场上进行交易时，市场上总的风险 在 家保险公2,iny
6、x 1nix司中达到最优分配的定义及充要条件。一、再保险最优分配的定义在保险决策中，人们常常愿意支付比风险所带来的平均损失多得多的保险费去购买保险。这种令人费解的现象可用效用理论来进行解释。购买保险或分出保险业务的人，一般都是厌恶风险的，因此本文设所讨论的效用函数 满ux足： 且 ；0uxxBorch再保险市场模型如下:1. 设在 个保险公司，每个公司拥有一笔业务，第 个保险公司所拥有业务的n i风险状况由以下两个因素确定：(1)风险分布 , 是第 个保险公司业务中索赔额不超过 的概率。)(ixF)(i ix(2)资金 ，是指第 个保险公司可以用来支付索赔的基金。假设iS是相互独立的， 为第
7、个保险公司作为原保险人所面临的nx,21 ix索赔额。2. 设 是各保险公司业务索赔额分别为 时，第 个保niy,2 nx,21 i险公司的赔偿额， 显然 =i,2121,ninyx i1设 为第 家保险公司的效用函数。 ( )实际上)(xuii ni,2 ,2表示了 家保险公司之间的再保险合同，在此再保险合同之下，第 家保险n i公司的效用为：（1）nnii xFdxysu 110,5为简单起见，令 表示向量 ， 为 的联合分xnx,21 Fnx,21布，y 表示 ,则表达式(1)变为： yyn,21xFdsuUiii0若对任意的 ，满足 ；则称 为最优再保险*yy)(yUi )(*i ni
8、,21*y策略。如果保险公司的行为规范合理，则保险公司一定不会签订效用低的再保险合同。下面讨论最优再保险合同的充分条件和必要条件，并讨论特殊情形下最优再保险合同的具体形式。二、再保险最优分配的充分条件定理： 是最优再保险合同的充分条件是:存在 个正数 使得)(*xy 1n23,nk= *iiusyx*1ikusyx,i证明：令 = + )(i)(iii,2对任意 x， 的绝对值任意小，且 =0i nix1)(因此 = =niy1nix1*ni1即 = 是任意一种再保险合同。xyn,2=*)(yUiixdFysuxsuiiiii而 ， 的绝对值任意小，所以xi,1=*)(yii xdFxysii
9、i*6（2）*1()iii iUykusyxdFx(2)式两边同时除以 ，并对 求和，得 =ii *1()niiiUyk*11niusyxdFx其中 = 1；因为 =0，所以 =0 kni1)( *1()niiiUyk（3）由于 0， .只有 =0 时，(3)式左ikni,2*yUiini,2边每项才是非负的。因此 ， 即 = ， 是最优再保险策略。xii,1xy*x*设某再保险合同满足：= （4）ysuii 1ikus其中 0, ,则 是最优再保险合同.显然i n2,iyx= 1niyx1ni（5）(4)、(5)两式分别对 求偏导，则jx= （6）iiijyxusy1“1ijykusyx1n
10、iijx(6)式两边同时除以 并对 求和，则iiusyxi1“1 “1niijyxkus7(7)“1iiinijikusyxyx(7)式右边与 无关，因此，对任意 值jxk= =1nijjyd1nijkizkyd因此 是单变量 z = 的标量函数，即ix1nixiiy所以 “1iiiniikusyxxz最优再保险合同的这一性质说明，如果保险公司的行为规范合理，则保险公司之间经谈判之后所达到的最优策略是一个与总索赔额有关的函数，与每一笔索赔分量无关。三、再保险最优分配的必要条件定 理:若 是最优再保险合同,则必存在 个正数，使)(*xy 1n *1iiiuskusyx2,3i证 明:这里用反证法
11、证明上述结果，即假设不存在 个正数使：*1iiisyxksyxni,1我们将证明:必存在不全为 0 的函数 使：1,nx*iiiyxx80iiUyni,21并对至少一个 是严格不等式，即 不是最优再保险合同。设*y *122*1 1,:0,axAusxusyxx210ix3,4in*iiiyx*111nnni iixy既 为再保险合同，并且有：,nx *“*111 1AAUyausydFxausyxdF “222222其中 、 均非空集,这是由效用函数的性质决定的；因为若 是空集，“ A则对所有的 x有：*122usyusyx由于效用函数关于线性变换是唯一确定的，在 之间的关系只差一个1ux倍
12、数 c，但是，除非 否则可找到 c，使*2221syxksy* “1 ,usyxuA； *22csyx非 空 集所以我们可选择 及 满足a“；“ “ * *22 1“ A AusyxdFusyxdF其它9则 及 均为正，且*11Uy*22yU所以 不是最优策略。0ii3,4in *y上面两部分结论我们实际上证明了 为最优再保险策略的充要条件是: *x存在 个正数 ，使 1nik *1iiiusykusyx2,3in如果保险公司的效用函数为：，iaxiiuxe0i则可证明最优再保险策略为： 1niiiyxqc其中 ， ， ；iia12na 1lnliijjackka参 考 文 献1 MacNeill, B., and G.J.Vmphrey, Actuarial Science, D. Reidel Publishing Company, 1987, 53- 61.2 Borch, K., Economics of Insurance, North-Hollomd Elsevier Science Publishers B. V. , 1990.3 Jaquette, S. C. , Utility Criteria for Markov decision processes, Management Science, 231 (1976).
