2007年中考分类讨论题型整编.DOC

1、2007 年中考分 类 讨 论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.中考高分解密：题型 1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方

2、程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。考题 1求函数 的图象与 x 轴的交点？251()(3)ykx名师点拔：二次项系数中含有参数 k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对分类讨论.52k解：（1）当 时，即 时，此函数为 ，故其与 x 轴只有一个502k5212yx交点（1，0）（2）当 时，此函数为二次函数， 即.当 时，0.抛物线与 x 轴的交点只有一个.251(3)4()()kkk，交点坐标为（1，0）当 时，0，函数与 x 轴有两个21210,xx 2k不同的交点. .(),)5k和综合所述：当 或 时，函数图像与 x 轴只有

3、一个交点（1，0） ；当 且2 52k时，函数图像与 x 轴有两个不同交点 .k(,),)52k变式思考 1 已知关于 x 的方程 24kx（1）若方程有实数根，求 k 的取值范围（2）若等腰三角形 ABC 的边长 a=3，另两边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根，求 ABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是 ABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型 2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题 2 （200

4、4，河南）如图（1）边长为 2 的正方形 ABCD 中，顶点 A 的坐标是（0，2）一次函数 的图像 随 的不同取值变化时，位于 的右下方由 和正方形的边围成的图yxtlt ll形面积为 S（阴影部分）.（1）当 取何值时，S 3？t（2）在平面直角坐标系下（图 2） ，画出 S 与 的函数图像 .t名师点拔：设 与正方形 ABCD 的交点为 M，N ，易知 DMN 是等腰 Rt，只有当 MDl时， ，那么 ，此时求得 ，第（2）问中，21MDNS3ABCDSA 4t随着 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论 在不同取值时 S 的表达式，进而作出t t图像.解：（1）设 与正方形 AB

5、CD 的交点为 M，N ，l 的解析式 ，在 x 轴，y 轴上所截线段相等. lytDMN 为等腰 RtDMNS3， 231DMNABCS又 12MDND ，ONODDM 4 ，2即 D 点的坐标为（0，4 ）2 ，即当 时，S3.2t4t（2）直线 与 轴的交点 M 的坐标为 ly(0,)t当 0t2 时， 2112B当 2t4 时， (4)ACDMNSt当 t4 时，S4根据以上解析式，作图如下图（图 2）变式思考 2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形 ABCD 中， ，4ADcmA60，BDAD，一动点 P 从 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 的路线匀速BC运动，过点 P 作

6、直线 PM，使 PMAD.（1）当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求APE 的面积；（2）当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 的路线运动，且在 AB 上BC以每秒 1cm 的速度匀速运动，在 BC 上以每秒 2cm 的速度匀速运动.过 Q 作直线 QN，使QN/PM.设点 Q 运动的时间为 t 秒（0t10） ，直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 Scm2.求 S 关于 t 的函数关系式；（附加题）求 S 的最大值.易误点睛：讨论变量 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符t合题意，逐层分析.

7、题型 3考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.考题 3 （2004 上海）在 ABC 中，BAC90，ABAC ，圆 A 的半径为 1，2如图所示，若点 O 在 BC 边上运动， （与点 B 和 C 不重合） ，设 BOx，AOC 的面积为 .y（1）求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域.y（2）以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当圆 O图（2）与圆 A 相切时 AOC 的面积.名师点拔：（1）过点 A 作 ADBC 于 D 点 ABAC 2AD =2Bsin45OC=BCB

8、O=4x，故 AOC 的面积 与 的函数解析式为CS yx即 （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，12yOAD1()42yx故解题中须分类讨论.解：（1）过点 A 作 ADBC 于点 D.BAC=90 AB=AC= BC=4 AD BC21 12(4)2AOCSDx即 4(0)yx（2）当点 O 与点 D 重合时，圆 O 与圆 A 相交，不合题意；当点 O 与点 D 不重合时，在RtAOD 中， 222448AxA 的半径为 1，O 的半径为 x 当A 与O 外切时解得 2()48xx76此时，AOC 的面积 1y当A 与O 内切时， 解得2()48xx72x此时 AOC 的面积 74

9、y当A 与O 相切时，AOC 的面积为 .176或变式思考 3（2003 南京）如图，直线 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N43y（1）求 M，N 两点的坐标； （2）如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心，为半径的圆与直线 相切，求点 P 的坐标.543yx易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.题型 4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题 4（200

10、4 福州）如图所示，抛物线 的顶点为 A，直线2()yxm与 y 轴的交点为 B，其中 m0.:3lyxm（1）写出抛物线对称轴及顶点 A 的坐标 （用含有 m 的代数式表示）（2）证明点 A 在直线 上，并求 OAB 的度数.l（3）动点 Q 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在 点P，使以 P、Q、A 为顶点的三角形与 OAB 全等？若存在， 求出 m 的值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由 .名师点拨：（1）对称轴 ，顶点 A（m,0） （2）把 xm 代入 得xm3yxm点 A（m,0）在直线 上，直线 与 y 轴相交，则 B 点的横坐标为：30yll；B 点

11、坐标为 ，由三角函数知识可得：m(,3)tan3OA即OAB60 （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。解：（1）对称轴为直线 ，顶点 A（m，0）x（2）把 代入函数xm330yy得点 A（m,0）在直线 上.当 x=0 时，l OAB=60(0,3),tan3BOAB(3)如图，以 P、Q、A 为顶点的三角形与 OAB 全等，共有以下 4 种情况： 点的坐标为 ，代入抛物线11190,3,PQAmQA1P(3,)m解析式得： 2,13(,) 2290,B点 与 点 重 合 2,0 3m()P 点的坐标为 代入抛物33390,QAmA3P3(,)2m线解析式

12、得： 2,0423,) 点的坐标为 ，代入抛4 490,3,P431(,)2物线解析式得： 21,0m23m4(,)P分析可知， 关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；1234,P综上所述，符合条件的 P 点分别为 ；11231(,)(,)(,)(,)3 3（0，3） ， ， ， .(2,3)(,)2,变式思考 4（2003 宁波）已知抛物线 的顶点坐标为（4，1）与 y 轴交于2axbcy点 C（0，3） ，O 是原点.（1）求这条抛物线的解析式.（2）设此抛物线与 x 轴的交点 A、B（A 在 B 的左边） ，问在 y 轴上是否存在点 ，使1P以 O，B ，P 为顶点的三角形与 AOC 相似

13、？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.易误点睛：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.中 考 零 距 离一、选择题1若 m 为实数，则点 P（m 2，m+2）不可能在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2相交两圆公共弦长为 6，两圆的半径分别为 ，5，则这两圆的圆心距等于（ ）32A1 B2 或 6 C7 D1 或 73 （2004，河南）如果关于 x 的方程 的两个根的差为 1，那么 m 等于（ 210mx）A B C D23564平面上 A、B 两点到直线 的距离分别是 ，则线段

14、AB 的中点 C 到直线l23与的距离是（ ）lA2 B C2 或 D不能确定35已知 是完全平方式，则 m 的值是（ ）()49xmxA3 B10 C4 D10 或4二、填空题6已知 AB 是O 的直径，AC、AD 是弦，且 AB2， AC ，AD 1，则CAD.7已知 AB、CD 是O 的两条平行线，AB12，CD16，O 的直径为 20，则 AB 与 CD之间的距离为.8方程 的最大根与最小根的积为.560x9 （2004 上海）直角三角形的两条边长分别为 6 和 8，那么这个三角形的外接圆半径等于.10 （2004 沈阳）已知 ABC 中，C90，AC3 ，BC 4，分别以 A 和 C

15、 为圆心作A 和C，且C 与直线 AB 不相交，A 与C 相切，设A 的半径为 r，那么 r 的取值范围是.11已知 ，则 的值等于.25,7xyxyxy12在平面直角坐标系内，A 、B、C 三点的坐标分别是（0，0） ， （4，0） ， （3，2） ，以A、B、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第象限.三、解答题13 （2004 广东）已知实数 a，b 分别满足 的值.221,abab求14 （2004 黑龙江）在劳技课上，老师请同学们在一张长为 17cm，宽 16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为 10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两

16、个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.15 （2004 芜湖）在钝角ABC 中，ADBC，垂足为 D 点，且 Ad 与 DC 的长度为方程的两个根，O 是ABC 的外接圆，如果 BD 长为 .求ABC2710x (0)a的外接圆O 的面积.16 （2003 烟台）在直角坐标系中，有以 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线 yx 上方及直线y=x+2a 上方部分的面积为 S， （1）求 时，S 的值 .（2）a 在实数范a围内变化时，求 S 关于 a 的函数关系式.17(2004 黄冈)在直角坐标系 XOY 中，O

17、 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A（5，0） ，B（0，4） ，C（ 1，0） ，点 M 和点 N 在 x 轴上， （点 M 在点 N 的左边）点 N在原点的右边，作 MPBN，垂足为 P（点 P 在线段 BN 上，且点 P 与点 B 不重合）直线MP 与 y 轴交于点 G，MG BN.（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式 .（2）求点 M 的坐标.（3）设 ONt，MOG 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围.（4）过点 B 作直线 BK 平行于 x 轴，在直线 BK 上是否存在点 R，使ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出 R

18、 的坐标；若不存在，请说明理由 .变式思考答案1解：（1）方程有实数根.当 k0 时，原方程变为 ，方程有实数根.1840,2x当 时， ，解之得 ， 0k24()(4) 3k 40k 且故 k 的取值范围是 .3（2）若 b=c，则 ，解得 ，此时方程的根为2()()0kkkbc2，又a 3，满足三角形三边关系， 237ABCabc若 a=b 或 a=c，则 ， ，此时方程另一根为：92(4)3()0kk54k，满足三角形三边关系， .75c或 ABCc2 （1）当点 P 运动 2 秒时，AP2cm，由A60，知 AE1，PE . .332APES（2）（i）当 0t6 时，点 P 与点 Q

19、 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD 交于点 G，QN 与AD 交于点 F，则 AQt，AF ，QF ，APt+2，AG1+ ，PG .2t32t32此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 .32St（ii）当 6t8 时，点 P 在 BC 上运动，点 Q 仍在 AB 上运动，设 PM 与 DC 交于点G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQt ，AF ，DF 4 ，QF ，BP t6，2tt32CP10 t，PG（10t） .3而 BD ，故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 .43 25310438St（iii ）当 8t10 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动，

20、设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 DC 交于点 F，则 CQ202t，OF（202t） ，CP 10t，PG（10t） .此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 .2301538St故 S 关于 t 的函数关系式为 23+(0t6)5S=-t1-34(t8)830510 （附加题）当 0t6 时， S 的最大值为 ；732当 6t8 时，S 的最大值为 .3当 8t10 时，S 的最大值为 6所以当 t8 时，S 有最大值为 .3解：（1）当 x0 时，y4. 当 y0 时， ，x3.403M（3，0） ，N（0，4）（2）当 点在 y 轴上，并且在 N 点的下方时，设 与直线

21、相切于点1P1P43yxA，连接 A，则 AMN. ANMON90， NA=MNO， ANMON ，1 1P11PNMO在 Rt OMN 中， OM3，ON4，MN5.又 ， ， 点坐标是（0，0）125A1P1 点在 x 轴上，并且在 M 点的左侧时，同理可得 点坐标是（0，0）2 2P当 在 x 轴上，并且在 M 点的右侧时，设 与直线 相切于点 B，连3 343yx接 ，则 OA/ . OA ， .PBN3PBMO ， 点坐标是（6，0）3O3当 点在 y 轴上，并且在点 N 上方时，同理可得 .4 4PN . 点坐标是（0，8）P4综上，P 点坐标是（0，0） ， （6，0） ， （0，8）.4解：（1）可设 . 交 y 轴于点 C（0，3） ，316a1， .2()1yax 14a抛物线的解析式为 ，即 .4 214x+