1、智浪教育-普惠英才文库图12010 年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：本大题共 4小题，每小题 6分，满分 24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线 10(xayR)与圆 240xy的交点个数是 ( )A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展 募捐活动，第一天只有 10人捐款，人均捐款 10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的 2
2、倍，且人均捐款数比前一天多 5元则截止第 5天（包括第 5天）捐款总数是( ).A4800 元 B8000 元 C9600 元 D11200 元3. 函数 cosin(fxxR)的最大值和最小值分别为A. 7,08 B. 7,28 C. 9,08 D. 9,28 4. 若点 ab是圆 21xy内的动点,则函数 2fxab的一个零点在1,内, 另一个零点在 0内的概率为A. 4 B. C. 12 D.二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，满分 36分5. 已知大于 1的实数 ,xy满足 lg2lgxyy,则 lgx的最小值为 .6. 将一边长为 4的正方形纸片按照图 1中的虚线所示的方法剪
3、开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设 a、 b、 c都是单位向量，且 ab0， 则 abc的最大值为 .智浪教育-普惠英才文库lBAMw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 对于两个正整数 ,mn，定义某种运算“ A”如下，当 ,mn都为正偶数或正奇数时，nA；当 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， nA，则在此定义下，集合 ,10,MpqpAN*,qN 中元素的个数是 . 9. 设 nS是数列 na的前 项和，若 113,2nna(N*)，则 201S_.10. 在 Rt ABC中, ,如果椭圆经过 ,AB两点 ,它的一个焦点为 C,另一个焦点在 上 ,则这个椭圆的离
4、心率为 .三、解答题：本大题共 5小题，满分 90分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤11 （本小题满分 15分）在 ABC中, ,abc分别是内角 ,ABC的对边,已知 3272,cos,4ABC.(1) 求 os的值；（2）求 的值 .12 （本小题满分 15分）如图，已知二面角 l的平面角为 45, 在半平面 内有一个半圆 O, 其直径 AB在 l上, M是这个半圆 O上任一点(除 A、 B外), 直线 、 B与另一个半平面 所成的角分别为 1、 2. 试证明 221cos为定值.智浪教育-普惠英才文库PxyD1C1ODCB A13. (本小题满分 20分）如图, 矩形 ABCD中,
5、 10, 6BC, 现以矩形 ABCD的 边为 x轴, AB的中点 为原点建立直角坐标系, P是 x轴上方一点, 使得 P、 与线段 分别交于点 1C、 D, 且 11,成等比数列.(1) 求动点 的轨迹方程；(2) 求动点 P到直线 :l60xy距离的最大值及取得最大值时点 P的坐标14 （本小题满分 20分）设 0a，函数 |1ln|)(2xaxf .(1)当 1时，求曲线 )(fy在点 ,f处的切线方程；(2)当 ),x时，求函数 的最小值.15 （本小题满分 20分）已知定义在 R上的函数 ()fx满足： 5(1)2f，且对于任意实数 xy、 ，总有 ()fxyy成立.（1）求 0的值
6、，并证明 ()fx为偶函数；（2）若数列 na满足 21(),23)nfn ，求数列 na的通项公式； 智浪教育-普惠英才文库（3）若对于任意非零实数 y，总有 ()2f.设有理数 12,x满足 12|x，判断 1()fx和2()fx的大小关系，并证明你的结论.2009 年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的
7、程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：每小题 6 分，满分 24 分.1C 2 B 3 D 4A二、填空题：每小题 6 分，满分 36 分.5. 3lg2 6. 8 7. 1 8. 1 9. 10593210. 63三、解答题：满分 90分11. （本小题满分 15分）解: (1) 32,cos0,4CA 2s1231048. 0, 2A. 7sin1cos4, 237sin1cos8C. cBAiA916.
8、(2) 27C,智浪教育-普惠英才文库KHlBAM 27cosaB. 4. sinisin2sicocACA, 2co3a. 由 ,4.解得 4,6.ac 22osbB2942516. 5. 12. （本小题满分 15分）证明：过 M作 H， 为垂足，在 内，作 MKAB， 为垂足，连接 ,KAB，则 12,AH. , . ,H平面 K， 平面 ， AB平面 M. K平面 ， . 是二面角 l的平面角. H45. 2K. 在 Rt AMB中， 222,ABMKB. 在 Rt 和 Rt 中， 1sinsinH. 221sini2222AAKB21AB. 智浪教育-普惠英才文库F EPxyD1C1
9、ODCB A18161412108642-2-4-6-8-10-12-14-16-30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30lOyx 221cos(2213sini) 13. （本小题满分 20分）解：（1）设点 P的坐标为 ,xy0，过 P作 /ECD交 A的延长线于 E，交 CB的延长线于 F.在 DE中, 1AE, 得 165Axy，得 165xy. 在 PCD中, 11PAED6y, 得 106y. 同理可得 15xCBy. 11,AD成等比数列， 2A. 6xyy.化简得29x. 动点 P的轨迹方程为 21059xy. (2)由图易知当与直线 l平行
10、的直线与半椭圆相切于点 P时，点 到直线 l距离的最大.设与直线 :l60xy平行的直线方程为 xyk，代入 59xy，智浪教育-普惠英才文库得 22345050xk， 由 9，解得 2k，由 k，得 34. 故点 P到直线 l距离的最大值为632172k. 把 34k代入式，可解得点 P的坐标为 549,. 14. （本小题满分 20分）解:（1）当 1a时， |1ln|)(2xxf，当 e时， 2 1()ln1,()2fxfx令 x，得 ,)(f 所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1，所以曲线 y在 处的切线方程为： 0y. （2）当 e时， axxfln， xaf2)( )(e.0a
11、， 0)(恒成立 . 在 ,e上为增函数.故当 x时， 2min)(efy. 当 e1时， lxax， )2)(2)( axxaf （）()当 ,2a即 20时，若 ),1(ex时， ()0f，所以 )(f在区间 ),1e上为增函数.故当 1x时， aymin，且此时 f. ()当 e，即 2时，若 )2,(a时， ()fx;若 (,)2ax时, ()0fx,所以 f在区间 ,1上为减函数，在 ,2(ea上为增函数，故当 2ax时， ln23minay，且此时 )(eff. ()当 e；即 时，若 ),1(ex时， 0x,所以 x在区间1, e上为减函数，故当 x时， 2min)(efy. 综
12、上所述，当 2a时， x在 ),和 ,e上的最小值都是 2e,智浪教育-普惠英才文库所以 )(xf在 1,上的最小值为 2)(ef；当 2ea时， 在 )e时的最小值为 ln3aa，而 )(2(eff，所以 )(xf在 1,上的最小值为 2)2(f.当 20时， 在 )e时最小值为 e，在 1,时的最小值为 af1)(，而 )(1ef, 所以 (f在 ,上的最小值为 af)(.所以函数 )(xfy的最小值为 2min2,0,3l, .ayee15.（本小题满分 20分）解:（1）令 1,0xy， 101ff，又 5(1)2f， 02f. 令 ，得 ()()fy，即 2fyy()f对任意的实数
13、总成立， x为偶函数. （2）令 1xy，得 10fff， 5()24f， 17()4f.175(2)62af . 令 ,xny，得 ()(2)(fnfnf，()1f. 1 5221142naffnfnffnffn ()().nffana是以 6为首项，以 2为公比的等比数列. 12. （3）结论： 12()fxf. 证明： 0y时， ()y, ()2()fxffxfx，即 ()()()fyfxfxy.令 ky（ +N） ，故 k+，总有 11kkk成立.智浪教育-普惠英才文库则(1)()(1)()(2)()0fkyfkfyfkyfkyfkyf.对于 +N，总有 成立. 对于 ,mn，若 ，则有 ()1()fnyfyfmy 成立. 12,xQ，所以可设 12|,|qxp，其中 12,q是非负整数， 12,p都是正整数，则 1212|,|qp，令 12y， 1212,tps，则 ,ts+N. 12|x， ts， ()ftfs，即 12(|)(|)fxf. 函数 ()f为偶函数， 112|(),|x. 12x. 智浪教育-普惠英才文库
