1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体 = Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是高。13一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a 2+4,AB=3，则实数 a=_.解析 考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。
2、3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。 62p4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_根在棉花纤维的长度小于 20mm。解析考查频率分布直方图的知识。注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分160 分，考试时间为 120 分
3、钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a
4、=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=1。6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M124y到双曲线右焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离，MFedd1x=2，MF=4。d7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_解析考查流程图理解。 输出 。24131, 25163S8、函数 y=x2(x0)的图像在点(a k,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(a
5、 k,ak2)处的切线方程为： 当 时，解得 ，2(),kkyaxa0y2kax所以 。1135,641a9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=042y的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， ， 的取值范围是（-13，13） 。|3c10、定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作20,PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_。解
6、析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为3311、已知函数 ,则满足不等式 的 x 的范围是_。210(),xf()(fxf解析 考查分段函数的单调性。 2(1,2)x12、设实数 x,y 满足 3 8，4 9，则 的最大值是 。2yy243x解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。， ， ， 的最大值是 27。2()16,8xy21,3xy241(),27xyxy43yx13、在锐角三角形 ABC，A、B 、C 的对边分别为 a、 b、 c， ，则6cosaC=_。
7、tantCA解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：， ， ，1cos3C21costan2C2tan， = 4。tatt2ABttAB（方法二） ，26coscsbaCabb22236,a 2tntsincosincosins()1sinicoCBACABCA AB 由正弦定理，得：上式=2221413cs()66cCab 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则 S 的最小值是_。2(S
8、梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为 ，则：x22(3)4(3)01)11xx（方法一）利用导数求函数最小值。，24(3)()1xSx 224(6)(3)()13xxS22 26)()()()3xx ，1()0,3Sx当 时， 递减；当 时， 递增；13()0,Sx 1,)3x()0,Sx故当 时，S 的最小值是 。x2（方法二）利用函数的方法求最小值。令 ，则：13,(23),(,)xtt2244186633tSt故当 时，S 的最小值是 。1,83xt2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题
9、卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3) 、C(2,1)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值。OCtAB解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。（1） （方法一）由题设知 ，则(3,5)(1,)ABC(2,6)4.ABC所以 |10,|2故所求的两条对角线的长分别为 、 。10（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中
10、点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ；20（2）由题设知： =(2,1)， 。O(3,5)BtOCt由( ) =0，得： ，CtAB(3,5)1从而 所以 。51,15t或者： ，2 Ot(3,)AB25|OCt16、 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，BCD=90 0。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证
11、能力和运算能力。满分 14 分。（1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC。由BCD=90 0，得 CDBC ，又 PD DC=D，PD、DC 平面 PCD，所以 BC平面 PCD。因为 PC 平面 PCD，故 PCBC。（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以
12、DF平面 PBC 于 F。易知 DF= ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 。22（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。因为 ABDC ，BCD=90 0，所以ABC=90 0。从而 AB=2，BC=1，得 的面积 。BC1ABCS由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 。133ABCVSPD因为 PD平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PDDC 。又 PD=DC=1，所以 。2PCD由 PC BC，BC=1，得 的面积 。B2PBCS由 ， ，得 ，APBCAV1133PCShVAh故点 A 到平面 PBC 的距离等于
13、。217、 （本小题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m ） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m，仰角 ABE= ，ADE= 。(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1） ，同理： ， 。tantanHHADtanHABtanhDADAB=DB，故得
14、 ，解得：tantaHh。t41.24an0hH因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。（2）由题设知 ，得 ，dABtan,tHhdADBd2tatan() ()1t ()1hH ， （当且仅当 时，取等2()Hhdh 152dHh号）故当 时， 最大。5tan()因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。02025d故所求的 是 m。d18、 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为xoy1592yxF。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中mt, ),(1yx),(2yxNm0, 。021y（1）设动点
15、P 满足 ,求点 P 的轨迹；42BF（2）设 ，求点 T 的坐标；31,21x（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t标与 m 无关） 。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A （-3，0） 。由 ，得 化简得 。42PBF22()(3)4,xyxy92x故所求点 P 的轨迹为直线 。9（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ） 、N （ ，31,21x 0,1y531）09直线 MTA 方程为： ，即 ，0523
16、yx3yx直线 NTB 方程为： ，即 。109562联立方程组，解得： ，73xy所以点 T 的坐标为 。10(,)（3）点 T 的坐标为 9m直线 MTA 方程为： ，即 ，30yx(3)12myx直线 NTB 方程为： ，即 。96分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，1592yx 123,x解得： 、 。223(80)4,)mM223(0),)mN（方法一）当 时，直线 MN 方程为：12x2222203(0)4808yxmm令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0） ；0y1x当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。12x所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点
17、 D（1，0） 。（方法二）若 ，则由 及 ，得 ，12x22403608m210m此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0） 。x若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ，12x10m22410830Mkm直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。2213604NDkMDNk因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0） 。x19、 （本小题满分 16 分）设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，已知 ，数列 是公差为anS312anS的等差数列。d（1）求数列 的通项公式（用 表示） ；nd,（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式cnmk且3knm,都成立。求证： 的最大
18、值为 。knmSc29解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分 16 分。（1）由题意知： ， 11()()nSdand0d，232323(aa2211(),a化简，得： 211,a，2(),nnSddS当 时， ，适合 情形。2221()(1)nadn1n故所求 2()（2） （方法一）， 恒成立。2222mnkScdnckdmnck2mnk又 ， ，且3 2229()()9故 ，即 的最大值为 。92c9（方法二）由 及 ，得 ， 。1ad1()nSad02nSd于是，对满足题设的 ， ，有km,。2222()9()mn kSddS
19、所以 的最大值 。cmax9另一方面，任取实数 。设 为偶数，令 ，则 符合条2k31,2mknknm,件，且 。23()(1)()(94)mnSdd于是，只要 ，即当 时， 。2294ka29ka2mnkSaS所以满足条件的 ，从而 。cmaxc因此 的最大值为 。220、 （本小题满分 16 分）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数)(xf ),1()(xfa，其中 对任意的 都有 0，使得 ，则hx)(xh)1(2xh称函数 具有性质 。)(xf)(aP(1)设函数 ，其中 为实数。2ln1bxb(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。)(f)()(xf(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，xg2P1212,xm， ，且 ，21)(m)(m
