1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷)理科数学（必修+选修）注意事项：1 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150分，考试时间 120 分钟2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上3 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上4 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案
2、无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效6 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回第卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PP 24SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径，球的体积公式()()A如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 p34V次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nAkR()(1)(012)knknPCpn， ， ， ，一、选择题1 （ ）si20A B C D33212122函数 的一个单调增区间是（ ）sinyxA
3、B C D， 3， ， 32，3设复数 满足 ，则 （ ）z12izA B C D2i2i2i4下列四个数中最大的是（ ）A B C D(ln)ln()lnln5在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ C DA123ABCAB， ）A B C D2313136不等式 的解集是（ ）204xA B C D(1)， ()， (21)， ， (2)(1)， ，7已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角1A1ABCA的正弦值等于（ ）A B C D64042328已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）23lnxy1A3 B2 C1 D 29把函数 的图像按向量 平移，
4、得到 的图像，则 （ exy(23)，a()yfx()fx）A B C D32x3x2ex2e3x10从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40 种 B60 种 C100 种 D120 种11设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使12F， 2xyabA且 ，则双曲线的离心率为（ ）1290123AFA B C D515512设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，F24yxAB， ， FABC0则 （ ）FABCA9 B6 C4 D3第卷（非选
5、择题）本卷共 10 题，共 90 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 的展开式中常数项为 （用数字作答）821()x14在某项测量中，测量结果 服从正态分布 若 在 内取值的概2(1)0N， (1)，率为 0.4，则 在 内取值的概率为 (02)，15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 216已知数列的通项 ，其前 项和为 ，则 5nannS2limn三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）在 中，已知内角 ，边 设
6、内角 ，周长为 ABC A23BCBxy（1）求函数 的解析式和定义域；()yfx（2）求 的最大值18 （本小题满分 12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 ：“取出的 2 件A产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ()0.96PA（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ；p（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 的分布列19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，SABCDAB侧棱 底面 分别为 的中点 EF， ， SC，（1）证明 平面 ；F（2）设 ，求二面角
7、的大小2A E BCFSD20 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy34xy（1）求圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求AB， PAOB， ，的取值范围PAB21 （本小题满分 12 分）设数列 的首项 na113(0)234nna， ， ， ， ， ， （1）求 的通项公式；（2）设 ，证明 ，其中 为正整数32nnba1nbn22 （本小题满分 12 分）已知函数 3()fx（1）求曲线 在点 处的切线方程；y()Mtf，（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： 0aab， ()yfx()abf2007 年
8、普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修 +选修）参考答案评分说明：1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题1D 2C 3C 4D 5A 6C7A 8A 9C 10B 11B 12B二、填空题13 14
9、 15 1640.252三、解答题17解：（1） 的内角和 ，由AB BC得 AC， ， 应用正弦定理，知，23sinsi4inBxsiinCAx因为 ，yBA所以 ，224sini30xxx（2）因为 1icosiny，543sin23xx所以，当 ，即 时， 取得最大值 xy6318解：（1）记 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，0A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 互斥，且 ，故01， 001()PA21()C)pp于是 20.96解得 （舍去） 120.p，（2） 的可能取值为 1， ，若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有 件，故10.2280
10、1C36()495P8021()201C9()45P所以 的分布列为0 1 2P3649594519解法一：（1）作 交 于点 ，则 为 的中点FGDC SGSD连结 ，又 ，12A ， AB 故 为平行四边形E ，又 平面 平面 SEF， S所以 平面 F D（2）不妨设 ，则 为等2C42GAD， ， 腰直角三角形取 中点 ，连结 ，则 AGHH又 平面 ，所以 ，而 ，B SAB 所以 面 D EF取 中点 ，连结 ，则 MEF连结 ，则 A E B CFSDH G M故 为二面角 的平面角DMHAEFD2tan1所以二面角 的大小为 arctn解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 D
11、xyz设 ，则(0)()AaSb， ， ， ， ， (0)()BCa， ， ， ， ， ，22aEF， ， ， ， ，0b， ，取 的中点 ，则 SD2G， ， 02bAa， ，平面 平面 ，EFA， ， SDEF， SA所以 平面 （2）不妨设 ，则 (10)， ， 1(10)()(02)012BCF， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，中点EF()22MDEFMDEEA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ，10A， ， 0EAF， 所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角EF3cosMDA，所以二面角 的大小为 AEFarcos320解：（1）依题设，圆 的半径
12、 等于原点 到直线 的距离，OO34xy即 423rAA E BCFSDGMyzx得圆 的方程为 O24xy（2）不妨设 由 即得1212(0)()ABx， ， ， ， 4， ， ，设 ，由 成等比数列，得()Pxy， PO， ，222()xyxA即 xy(2)()PBxy， ，24(1).由于点 在圆 内，故PO24.xy，由此得 21y所以 的取值范围为 AB20)，21解：（1）由 1334nna， ， ， ， ，整理得 1()2n又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得10aa1a211()2nn（2）方法一：由（1）可知 ，故 30na0nb那么， 21nb21222(3)(3
13、)()9().4nnnnaa又由（1）知 且 ，故 ，0na1n210nb因此 为正整数1b，方法二：由（1）可知 ，302nna，因为 ，n所以 11(3)2nnnaba由 可得 ，n3(32)nnn即 2()nnnaaA两边开平方得 32nnna即 为正整数1nb，22解：（1）求函数 的导数； ()fx2()31xf曲线 在点 处的切线方程为：yfMt，()()tx即 231yt（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使()ab， t23()btt于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程， ()yfx320tab有三个相异的实数根记 ，32()gtt则 6a()t当 变化时， 变化情况如下表：t()gt，0，0 ()a， a()a，()gt0 0A极大值 abA极小值 ()bfA由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有()t ()fa0gt一个实数根；当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实0ab()0gt32t， ()t数根；当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异()f()tatt， ()0gt的实数根综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，()ab， ()yfx()t则 0().abf，即 ()fa
