1、2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数 学 试 卷 (理 工 农 医 类 ) 考生注意：1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2本试卷共有 21 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1函数 的定义域是 3)lg(xy2若直线 与直线 平行，则 120lmy： 231lyx： m3函数 的反函数 )(xf )(1f4方程 的解是 963705若 ，且 ，则 的最大值是 y+R， 4yxy6函数 的最小正周
2、期 2sin3sixT7在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是1245， ， ， ，（结果用数值表示） 8以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是1542yx9对于非零实数 ，以下四个命题都成立：ab， ； ； 01 22)(baba 若 ，则 ； 若 ，则 |那 么 ， 对 于 非 零 复 数 ， 仍 然 成 立 的 命 题 的 所 有 序 号 是 ab，10在 平 面 上 ， 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有 相 交 、 平 行 、 重 合 三 种 已 知 是 两 个，相 交 平 面 ， 空 间 两 条 直 线 在 上 的 射 影
3、是 直 线 ， 在 上 的 射 影 是12l， 12s， 12l， 直 线 用 与 ， 与 的 位 置 关 系 ， 写 出 一 个 总 能 确 定 与 是 异12t， 1s2t l面 直 线 的 充 分 条件： 11已 知 为 圆 上 任 意P1)(22yx一 点 （ 原 点 除 外 ） ， 直 线OP的 倾 斜 角 为 弧 度 ， 记 |d在 右 侧 的 坐 标 系 中 ， 画 出 以 ()，为 坐 标 的 点 的 轨 迹 的 大 致 图 形 为二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号
4、写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分12已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程abR， i,2ba的两个根，那么 的值分别是（ ）02qpxpq， 45， 43， pq， pq，13设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ）ab， ba 22ba21ba14 直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量在直角三角形xOyij， xy，中，若 ，则 的可能值个数是（ ）ABCjkiAC3,21 2 3 415设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推)(xf )(xf 2()fk出 成
5、立” 那么，下列命题总成立的是（ ）1fk 2)若 成立，则当 时，均有 成立(39 1k 2()fkCB1C1BAA若 成立，则当 时，均有 成立(5)2f 5k 2()fk若 成立，则当 时，均有 成立 4978 若 成立，则当 时，均有 成立 )(f 4k 2()fk三解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤16 （本题满分 12 分）如图，在体积为 1 的直三棱柱 中， 求1CBA1,90A直线 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） BA1C17 （本题满分 14 分）在 中， 分别是三个内角 的对边若 ，ABC abc， ， ABC，
6、 ， 4,2Ca，求 的面积 52cos S18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为 34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%） （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010
7、年 ，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%） ，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分已知函数 ，常数 0()(xaxf )aR（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围)(xf2)，20 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 9 分如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，123na， ， ， ， na112n
8、，即 （ ） ，我们称其为“对称数列” 例如，由组合数组成1anini， ， ，的数列 就是“对称数列” 0mmC， ， ，（1）设 是项数为 7 的“对称数列” ，其中 是等差数列，且 ，nb1234b， ， ， 1b依次写出 的每一项；4b（2）设 是 项 数 为 (正 整 数 )的 “对 称 数 列 ”， 其 中 是首nc12kk121kkc， ， ，项为 ，公差为 的等差数列记 各项的和为 当 为何值时， 取得最504nc12kSS大值？并求出 的最大值；12kS（3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列” ，使得1mm依次是该数列中连续的项；当 时，求其中一个“对称数
9、列”前211m， ， ， ， 50项的和 08208S21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作2byax(0)x 12cxby(0)“果圆” ，其中 ， ， 2cc如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分别是“果圆”与 ，0F121A21B2x轴的交点y（1）若 是边长为 1 的等边三角形，求012“果圆”的方程； （2）当 时，求 的取值范围；21A21Bab（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆”kk平
10、行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 值；若不存在，说明k理由y 1BO1A22A.F02x.2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第 1 题至第 11 题）1 2 3 4 34x且 ）（ 1x7log35 6 7 8 9.0)3(2y10 ，并且 与 相交（ ，并且 与 相交）21/s1t2/1t21s211 二、选择题（第 12 题至第 15 题）题 号12 13 14 15答 案A C B D 三、解答题（第 16 题至第 21 题）16解法一： 由题意，可得体积， 1112ABCVSBCA 连接 ，1111，平面
11、 ，CAB是直线 与平面 所成的角 11C1， 52 CB1B1AAC1AAC1BBxyz ，则 51tan1BCA1BCA5arctn 即直线 与平面 所成角的大小为 11rt解法二： 由题意，可得 体积 ，1112ABCVSBCA ， 如图，建立空间直角坐标系 得点 ，(01)， ， 则 ，1(02)C， ， 1(02)A， ， 12AB， ，平面 的法向量为 B(0)n， ，设直线 与平面 所成的角为 ， 与 的夹角为 ， 1C1BA1n则 ， ，16cosAnB 6arcsin,6|cos|in即直线 与平面 所成角的大小为 1C1arsi17解： 由题意，得 为锐角， ， 3cos5
12、B， 54inB， 10274in)sin(i A由正弦定理得 ， 710c48sin57SacBA18解：（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为， ， ， %3684%2则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) 8.49.103.170（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ，则 x4120()95%9.8x解得 .65x因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 .6119解：（1）当 时， ，0a2)(xf对任意 ， ， 为偶函数 ()x， ， )()(2xf)(xf当 时， ，2(0fxax，取 ，得 ， 1x
13、()1(1)20ffffa， ()()f，函数 既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设 ，12x， 2121)(afxf axx)()(21221要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立 f)x， 0)21ff，即 恒成立 121204x， (212xa又 ， 6)1x的取值范围是 a(6，解法二：当 时， ，显然在 为增函数 02)xf)，当 时，反比例函数 在 为增函数，a)，在 为增函数 xf2)(，当 时，同解法一 0a20解：（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，nbd13214db3d数列 为 25812， ， ， ， ， ，（2） 1211 kkkk cccS， k)(21，5
14、034)12k当 时， 取得最大值 312kS的最大值为 626 12kS（3）所有可能的“对称数列”是： ；22121m ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；21m ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；2211m ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2m ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，对于，当 时， 208 12087208 S当 时，1507m 209121mmm 209109m对于，当 时， 8 208S当 时， 15027m 2011m对于，当 时， 8 2088当 时， 15027 20S39m对于，当 时， 8m 2088当 时， 15027 20m21 解：（1） ，22012() 0FcbcFbc， ， ， ， ，2202 121b，于是 ，所求“果圆”方程为3744cac， 21(0)7xyx 21(0)3yx（2）由题意，得 ，即 bcaaba22， ，得 22)(b2)(54又 1,222aac 45ba，
