1、高二数学解析几何综合题复习 一、求曲线方程与轨迹 1. 已知圆锥曲线 C满足下列条件： (1)原点 O与直线 x=1 为它的焦点与相应准线； (2)A、 B为曲线上两点，且 x+y=0 垂直平分线段 AB， AB的长为 ；求曲线的方程。 法一 ： (联 立方程，利用方程思想求 e) 曲线的方程为 设直线 AB的方程为 y=x+b， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因直线 AB与曲线 C有两个交点，所以 AB关于 x+y=0 对称 曲线的方程为 3x2-y2-8x+4=0 法二 ： (利用几何关系求 AB两点坐标 ) |OA|=|OB|， 由第二定义 dA-准 =dB-准 A、 B两
2、点不可能在 x=1的同侧， 圆锥曲线 C为双曲线。设 A(a， b)， B(-b， -a) 方程为 法三 ：设曲线的方程为 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由题意知 将 (3)， (4)代入 (1)-(2)中： x1+x2=2， AB中点为 (1， -1) 再看 (5)，设直线 AB的方程为 y+1=x-1 代入 (5)得 e=2 所以曲线的方程为 3x2-y2-8x+4=0 2. 已知 ABC中， AB=8， 。求点 C 的轨迹方程。 法一 ： (直接法求轨迹 ) 以 AB所在直线为 x轴，线段 AB的中垂线为 y 轴建系如图， A(-4,0)， B(4,0)，设 C(x，
3、y)是所求轨迹上任一点，则 当 y0时， 当 y0)上移动，动点 N在线段 MO的 延长线上，且满足 |MO|NO|=|MN|。求点 N 轨迹方程。 法一 ： (直接法 )设 N(x， y)， M(-p， y0) N在线段 MO的延长线上， (p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x0)即为所求。 法二 ：设 N(x， y)为所求轨迹上任一点，作 NA x 轴于 A 点，则有 (p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x0)即为所求轨迹方程。 讲评 求轨迹方程的方法： (1)直接法：直接翻译题目中所给的几何条件，得到 x与 y 的关系式； (2)定义法：分析出动点满足曲线的定义，如动
4、点 p 满足 |PA|=2(其中 A 为定点 )，则点 P 的轨迹是圆，圆心为 A，半径为 2； (3)代入法：如 3题，经常会用在相关点问题中； (4)参数法：如果不能直接得到 x与 y 的关系式，而是知道 x=f1(t)， y=f2(t)，则可以通过消去参数 t 的到 x与 y 的关系式。 二、求参数或变量的取值范围 5. 已知定点 M(-1,2)，直线 L1： y=a(x+1)，曲线 C： ， L1与曲线 C交于 A、 B两点， N为 AB中点，直线 L2经过 M、 N 两点与 x轴交于 p0(m， 0)，求实数 m 的取值范围。 分析 (1)求出 N(f1(a)， f2(a)及 a 的
5、范围； (2)求 m=f(a)的值域。 解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， N(x0， y0) 方程 (1)有两个正根， 因 LMN过 P0(m， 0) (2a2+a-2)m+2a2+a=0 6. 若抛物线 C： y=ax2-1上总有关于 L： x+y=1对称的两点，求实数 a 的取值范围。 法一 ：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， lAB： y=x+b A， B关于直线 x+y=1 对称 法二 ：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线 C上关于直线 L 对称的两点 由 (5)(6)知， x1， x2是方程 的两个根 法三 ： 分析 ：利用 A、 B
6、中点在抛物线内列不等式，且抛物线含焦点的部分内的点满足设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线 C 上关于直线 L对称的两点， AB中点为 p(x0， y0)，由法二中 (5)知 ，因点 P 抛物线含焦点部分， 所以代入 讲评 求变量范围的方法： (1)函数的方法，如 5题； (2)构造不等式的方法，如 6题； (3)几何的方法：如果能根据几何知识分析出变量在何时取到最值，就可以通过求最值得到取值范围。 习题： 1. 矩形 ABCD的顶点 A、 B 在直线 L： y=2x+m 上， C、 D在抛物线 M： y2=4x上，该矩形的外接圆方程为 x2+y2-x-4y -t=0，求 m、
7、 t 的值。 2. 已知椭圆 C： ，直线 L： ，点 P 在直线 L 上，射线 OP 交椭圆 C于点 R，点 Q在射线 OP上，且满足 |OQ|OP|=|OR|2。求点 Q 的轨迹。 3. 已知 P 为椭圆 上一个动点，它与长轴的端点不重合，点 F1、 F2分别是双曲线 的左、右焦点， F1PF2=，当 a 为常数时，求 的最小值。 4. 椭圆中心在坐标系原点，焦点在 x轴上，过椭圆左焦点 F 的直线 L 交椭圆于 P、 Q两点，且 OP OQ，求离心率 e 的取值范围。 答案： 1. 法一 ：设 N： 设直线 CD 的方程为 y=2x+n PN CD， 直线 AB与 CD 关于 N 对称， m=6，将 n=-4代入 (1)得 xC=1， xD=4 C(1,-2) 法二 ：因直线 AB与 CD 关于 对称 直线 CD方程为 4-y=2(1-x)+m ，以下类似法一，求出 m， t。 2. 法一 ：设 Q(x， y)是所求轨迹上任一点， lOP： y=kx 将 代入上式得 2x2+3y2-4x-6y=0 Q点的轨迹为去掉原点的椭圆。 法二 ：设 Q(x， y)是所求轨迹上任一点，设 P(x1， y1)， R(x2， y2) 令 ， P、 Q、 R三点的横坐标同号、纵坐标也同号。
