1、 大连理工大学 本科 毕业设计（论文） 多自由度 结构动力学直接积分法的稳定性分析 Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural Dynamics 学 院（系）： 运载工程与力学学部 专 业： 工程力学系 学 生 姓 名： 施志伟 学 号： 200731034 指 导 教 师： 杨迪雄 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 大连理工大学 Dalian University of Technology 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 - I - 摘 要 直接积分法是解决结
2、构动力学问题的重要方法，精度和稳定性是它的两个重要指标，本文利用自动控制理论与结构动力学知识有机结合，研究探讨了直接积分法的稳定性问题以及稳定性条件。 本文由浅入深，首先介绍了结构动力学的基础知识、 然后介绍了几种常见的直接积分法，包括 Newmark 法、 Wilson- 法、 Runge-Kutta 法和 HHT- 法，并且用时域分析中矩阵特征值分析的方法分析了 Newmark 法的稳定性，给出了 Newmark 法的稳定性条件；接着详细讲解了自动控制理论中的重要知识，包括反馈控制、控制系统的数学模型（ 主要介绍了微分方程和传递函数）、开环系统、闭环系统以及根轨迹等； 最后将结构动力学知识
3、与自动控制理论结合，以 MATLAB 为工具，分析了多 自由度系统在线弹性结构和非线性结构下的稳定性。 通过改变振动微分方程的形式，运用自动控 制理论的闭环系统及根轨迹概念，可以分析直接积分法处理非线性动力学问题时的稳定性 ，本文中主要分析了 Newmark 法的稳定性 。 在线弹性系统中，根据叠加原理我们可以研究单 自由度系统的稳定性来得到多自由度系统的稳定性，本文 以单自由度系统为例分析了多自由度系统的稳定性；在非线性系统中，本文以简单的二自由度结构为例，分析了多自由度系统的稳定性。 关键词 ： 多自由度系统；直接积分法； 非线性；稳定性； 控制理论 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳
4、定性分析 - II - Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural Dynamics Abstract Direct integration algorithms are the important method to solve the problem of structure dynamics. Precision and stability are its two important indexes, This paper combine automatic control
5、theory with structural dynamics knowledge to study the direct integration algorithms stability problem and stability conditions. This paper first introduce the basic knowledge of structure dynamics, then introduce several direct integration algorithms, including Newmark method, Wilson method, Runge
6、- Kutta method and HHT- method. The condition of stability of Newmark method is given by the eigenvalue analysis of matrix of time-domain analysis, Explain the important knowledge of automatic control theory, including feedback control, control systems mathematical model (mainly introduce differenti
7、al equation and transfer function), the open loop system, closed-loop system and root locus, etc.; At last combine structural dynamics knowledge with automatic control theory, use MATLAB for tools, analyzes the stability of the MDOF system under the linear elastic structure and the nonlinear structu
8、re. By changing the form of the vibration differential equation, using automatic control theory of closed-loop system and root locus concept, you can analyze the stability of the direct integration algorithms with nonlinear dynamic problems. In this paper, we analyze the stability of the Newmark int
9、egration algorithm. In the linear elastic structure system, based on the principle, we can get the stability of MDOF system by analyzing the SDOF system. Taking the SDOF system as an example, we get the stability of MDOF system in this paper. Taking the simple two-degree-of-freedom system as an exam
10、ple, we analyze the stability of the MDOF system. Key Words： MDOF； Direct Integration Algorithm； Nonlinear； Stability; Control Theory 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 - III - 目 录 摘 要 . I Abstract . II 引 言 . 1 1 结构动力学基础。 . 4 1.1 结构动力学简介 . 4 1.2 结构动力学运动微分方程 . 4 1.2.1 单自由度系统 . 4 1.2.2 多自由度系统 . 4 1.3 动力响应的求解方法 .
11、 5 2 直接积分法 . 6 2.1 直接积分法的原理 . 6 2.2 直接积分法的分类 . 6 2.3 常用的直接积分法 . 7 2.3.1 Newmark 法 . 7 2.3.2 Wilson-法 . 8 2.3.3 Runge-Kutta 法 . 10 2.3.4 HHT-法 . 10 2.4 时域积分法的稳定性分析 . 11 3 自动控制理论基础 . 13 3.1 自动控制理论发展综述 . 13 3.2 反馈控制 . 13 3.3 控制系统的数学模型 . 14 3.3.1 数学模型 . 14 3.3.2 微分方程 -建立 . 15 3.3.3 传递函数 . 16 3.4 开环系统与闭环
12、系统 . 18 3.5 根轨迹 . 19 4 线弹性结构动力学直接积分法的稳定性分析 . 21 4.1 多自由度线弹性结构动力学的稳定性分析 . 21 4.2 线弹性下的 Newmark 法稳定性分析 . 23 5 非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 . 26 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 - IV - 5.1 非线性结构动力学研究现状 . 26 5.2 多自由度系统直接积分法的闭环系统表示 . 26 5.3 非线性下的 Newmark 法稳定性分析 . 29 结 论 . 38 参 考 文 献 . 39 致 谢 . 40 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 1
13、 引 言 在结构动力学问题中，直接积分法是求解结构动力响应的有效数值方法。它的基本思想是将动力方程在时间域上离散化，即化为对时间的差分格式，然后根据初始条件并利用直接积分法，逐步求出一系列离散时刻上的动力学响应值。 迄今为止已近出现了许多的直接积分法，著名的得到广泛应用的例如 Newmark 系列方法（ Newmark,1959）、 Wilson-法（ Wilson,1968）、 HHT 法（ Hilber、 Hughes、Taylor,1977）以及数学家所推崇的四阶 Runge-Kutta 法、改良的 Newmark 精细积分法等等，无论是从加速度、速度、位移关系的离散模拟，还是从能量角度
14、势能原理，或者从如何消除计算机的舍入误差实现精细积分，数学力学工作者们多个方面研究直接积分法的特性，并创造或改良出新的具有更好特性的直接积分法。 直接积分法的特性包括其显性、隐性区别，精度，稳定性等。 直接积分算法按照是否需要求解耦联方程组可以分为隐式与显式方法。显式方法不需要求解耦联方程组，计算量小，但显式方法受稳定性条件的限制计 算步长不能取得过大；隐式方法需要求解耦联方程组，计算量大，但由于其不受稳定性条件限制，故计算步长可以取得较大。目前显式与隐式方法的使用有着较大的交集，这主要是因为目前计算模型不是很复杂、自由度数目不是很多，显式方法与隐式方法所消耗的时间与占用的内存相差不大。在多数
15、情况下，要根据经验来决定采用哪一种积分方法较为合适。但无论采用哪一种方法，目的都是为了提高计算效率，获得较精确的计算结果。与隐式方法相比，尽管显式方法的条件是稳定的，计算时间步长必须较小，但对于大型结构体系的动力反应问题，特别是需要考虑体系非线性时 ，采用条件稳定的显式积分方法求解动力反应有时也是非常有利的，并且对于隐式方法来说，受计算精度要求的限制，计算步长也不可能取得太大。在对大型复杂结构非线性动力反应进行分析时，精度、稳定性与耗时之间的矛盾日益突出，影响和制约了结构动力反应分析的发展。如果能够建立具有更高精度和更好稳定性的显式方法，或者节约存储空间和计算时间的更好的隐式方法，对大型复杂结
16、构的科学分析和设计将具有重要的理论和实际意义。 在用直接积分法求解系统的运动方程时，该方法的稳定性是一个非常重要的概念。计算机数值计算必然存在数据的舍入误差，因而 时间步长并非完全一样。如果以任意的时间步长所取得的解不是无界地增长或振荡，则这种方法是无条件稳定的；如果只在时间步长小于某一特定数值时或必须满足某些条件时，不会产生解的无界的增长或振荡，则这种方法是条件稳定的；否则，如果任意的时间步长所取得的解会无界增长或振荡，这种方法是不稳定的。 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 2 研究直接积分法的稳定性有多种方法。在时域上分析直接积分法的稳定性已经得到了广泛研究。可以从直接 积分
17、法的时域迭代格式出发，研究迭代格式的转换矩阵的特性。线性代数理论给出了要使 迭代结果不发散，转换矩阵必须满足的条件。这可以判断一个具 体的直接 积分法是否稳定、是否无条件稳定以及其稳定性条件。 Newmark 于 1959 年提出的为了求解结构受到阵风和地震荷载作用的动力学问题的单步积分方法，是工程界常用的一种方法，也是学习 直接积分法入门必学的方法。它是整个直接 积分法的发展的一块基石，后来许多的方法，都是在 Newmark 系列方法的基础上改良而成。而 Newmark 系列方法的许多特性，包括稳定性、精度等，都已经得到了广泛而深入的研究。 在时域上研究直接 积分法已经很成熟。振幅衰减（ A
18、D）和周期延长（ PE）（ Chopra 2001）是评价直接积分法的两 个标准。直接 积分法频域的性质是近期研究的主要内容。Ramirez（ 1992）得到对应 Nermark 法的离散转换函数，并且研究了它的频率响应的大小和相位误差特性。 Mugan 和 Hulbert（ 2001a,b）拓展了这个工作到其他的直接 积分法，并且研究了它们的频率响应。 Mugan（ 2003）发现频域分析能描述一个积分法所有的时域特性。 在自动控制工程理论中传递 函数用于描述一个线性 时不变系统的输入和输出的关系。它分为连续和离散两类。连续传递 函数是响应的 Laplace 变换与输入的 Laplace 变
19、换之比；而离散传递 函 数 则 是响应的 Z 变换与输入的 Z 变换之比。 多自由度直接积分法的稳定性可以分析单自由度直接 积分法的稳定性得到。对于一个单自由度振动系统，其振动方程可以看做一个自动控制理论中的时域数学模型，输入量是外力，输出量是动力响应（位移、速度、加速度）。因此，一个连续传递函数相当与一个微分方程，而一个离散传递 函数相当于一个差分方程，均描述系统的动力学响应。在控制理论中，一个连续转换函数的输出，与使用相同的输入到一个相对应的离散转换函数中得到的输出是一样的（ Ogata 1995）。 在自动控制理论中，传递函数的稳定性特性可 通 过分析传递函数的极点在复数域上的位置来得到
20、。对于一个具体的直接 积分法，通过 Z 变换得到其对应的离散传递函数之后，可以通过分析这个离散传度函数的极点来分析积分法的稳定性。利用 MATLAB 软件，可以作出离散传递函数对应的零极点图，进而可以得到这个积分法的稳定性特性。 自动控制理论中的传递函数，用结构框图表示，有开环与闭环两种形式。线弹性振动系统的传递函数即是开环形式，而非线性振动系统，通过对振动方程式的变形，可以看到非线性系统对应的传递函数是闭环形式，反馈增益就是非线性刚度。根轨迹图是对应某一参数变化的传递函数的 极点变化图，可以看到极点的变化趋势。对应非线性刚度多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 3 的变化，用 MA
21、TLAB 软件可以作出根轨迹图，直观得到直接 积分法应用于非线性问题时的稳定性。 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 4 1 结构动力学基础 。 1.1 结构动力学简介 结构动力学是研究 工程结构的动力特性及其在动态作用下的动力响应和稳定性的学科 ，它是结构力学的一个分支， 着重研究结构对于动载荷的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。结构动力学同结构静力 学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力 和阻尼力 ， 在外加 动载荷作用下，结构会发生振动，它的任一部分或者任意取出的一个微体将在外载荷、弹性力、惯性力和阻尼
22、力的共同作用下处于达朗伯原理意义下的平衡状态。通过位移及其导数来表示这种关系就得到运动方程。运动方程的建立、求解和分析是结构动力学理论研究的基本内容 。 工程结构的动力问题有两大类，一类是求结构的自振频率（固有频率）及相应的振型，另一类是求在任意动力载荷（例如冲击力、风、海浪或地震）作用下结构位置、变形或内力等随着时间的变化规律。 对结构进行动力分析的目的就是要保证结构在使用期间，在可能发生的动力载荷作用下能够正常 地工作，并确保其安全可靠。 1.2 结构动力学 运动微分方程 1.2.1 单自由度系统 单自由度系统的振动研究中的最简单的一类系统，它的运动微分方程为 ： ( ) ( ) ( )
23、( )m x t cx t kx t F t (1.2.1) 式中， m 为系统质量， x 为系统位移， k 为系统刚度， c 为阻尼系数， ()Ft 为强迫力 ，并且有定义： 粘滞阻尼系数 2cm ，振动系统的固有频率 2 km ， 自振频率 2f ，自振周期 1122 kT f 。 1.2.2 多自由度系统 多自由度系统的运动微分方程为 ： ( ) ( ) ( ) ( )t t t t M u C u K u f (1.2.2) 其中， M 为质量阵， K 为刚度阵， C 为阻尼阵， ()tf 为外部激励向量， ()tu 为系统的位移向量。 多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析 5 设多自由度系统为 n阶 线弹性多 自由度系统，则质量阵 M 、刚度阵 K 、阻尼阵 C 可以写成如下形式 ： nmmmM00000021nkkkkkkkK0000322221ncccccccC0000322221（ 1.2. ） 其中， jm 、 jk 和 jc （ j =1,2,3 n）分别表示系统中第 j 个自 由度的质量、刚度和阻尼系数。 1.3 动力响应的求解方法 求振动系统在任意激励和初始条件下的响应，关键是求 Duhamel 积分，可采用解析或数值积分来完成。当外部激励复杂、系统自由度数较多时，解析解法很难处理。此时就需要使用数值积分的方法来求动力响应，即直接积分法。
