南京2012届高三第一次调研测试.DOC

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1、高三数学试卷第 1 页 (共 14 页)南京市 2012 届高三第一次调研测试数 学 2011.09注意事项:1.本试卷共 160 分.考试用时 120 分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后,交回答题纸.参考公式:一组数据的方差 ,其中 为这组数据的平均数.22221()()()nsxxxn一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)1计算 。0co32.若复数 为纯虚数,则 m= 。2(,)miRi是 虚 数 单 位3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,则其方差

2、为 。4.已知等比数列a n的各项均为正数.若 a1=3,前三项的和为 21,则 a4+a5+a6= 。5.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 .若 ,|,PQQ且 123P, , ,则 。1|2,xxR6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为 。7.已知扇形的周长为 8cm,则该扇形面积的最大值为 cm2。8.过椭圆 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线,与该椭圆的另一个交点为 M,与 y21(0)xyab轴的交点为 B.若 AM=MB,则该椭圆的离心率为 。9.若方程 在区间 上有解,则满足所有条件的 k 的值的和为 lg|5x(,1)kR。10.如图,海岸线上有相距 5 海里的两

3、座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 750 方向,与 A 相距海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 600 方向,与 B 相距 5 海里的32C 处.则两艘船之间的距离为 海里.S 1I 1While S5IEnd WhilePrint I第(6)题DCBA高三数学试卷第 2 页 (共 14 页)11.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点.若截面BC 1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 。12.设 p:函数 在区间 上单调递增;q: .如果“ ”是真命题, “p 或|()2xa

4、f(4,)log21apq”也是真命题,那么实数 a 的取值范围是 。13.如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 中点.若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值是 。AMN14.已知函数 ,A,B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率 k 总满足41(),2fxax,则实数 a 的值是 。142k二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15 (本题满分 14 分)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,球:(1)该队员只属于一支球

5、队的概率;(2)该队员最多属于两支球队的概率;第(11)题B1A1ABCC1DMD CBAN第(13)题篮球 25羽毛球32 314乒乓球高三数学试卷第 3 页 (共 14 页)16 (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD=60 0,Q 为 AD 中点.(1)若 PA=PD,求证:平面 PQB平面 PAD;(2)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,试确定实数 t 的值,使得 PA/平面 MQB.17.(本题满分 14 分)已知函数 .2()cos3sincofxx(1)求函数 在区间 上的值域;,6(2)在ABC 中,若 , ,求 的值.()

6、fCis()cos()BACtanA18.(本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 上横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为2ypx5.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点 C 是抛物线上的动点 .若以点 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4,求证:圆 C 过定点.19.(本题满分 16 分)设 ,函数 .0a2()|ln1|fxax(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程;()yf(2)当 时,求函数 的最小值.,20.(本题满分 16 分)在数列 中,已知 ,且 .na10p2*13,nanN(1)若数列 为等差数列,求 p 的值;(2)求数列 的前 n 项和

7、 ;S(3)当 时,求证: .21iaBQPADMCO高三数学试卷第 4 页 (共 14 页)南京市 2012 届高三第一次调研测试数学附加题 2011.09注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.3.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后,交回答题纸.21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 41:几何证明选讲如图,已知四边形 ABCD 内接于O ,EF/CD,FG 切O 于点 G.求证 E

8、F=FG.B. 选修 42:矩阵与变换已知矩阵 , .在平面直角坐标系中,设直线 在矩阵01M10N210xy对应的变换作用下得到曲线 F,求曲线 F 的方程.NC. 选修 44:坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,P 是椭圆 上任意一点,求点 P 到42xy214xy直线 l 距离的最大值.D. 选修 45:不等式选讲已知 a,b 为正数,求证: .149abF GBE CDA.O高三数学试卷第 5 页 (共 14 页)【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知

9、圆 ,定点 .动圆 M 过点 F2,且与圆 F1 相内切.21:()16Fxy2(,0)F(1)求点 M 的轨迹 C 的方程;(2)若过原点的直线 l 与( 1)中的曲线 C 交于 A,B 两点,且ABF 1 的面积为 ,求直线 l32的方程.23.已知 .23 *01()()(1)()(1)2,)n nxaxaxaxN(1)当 时,求 的值;52345(2)设 .试用数学归纳法证明:当 时,23,nnnbTbb.()nT O xy F2F1 M高三数学试卷第 6 页 (共 14 页)南京市 2012 届高三第一次模拟考试数学参考答案 2011.9一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5

10、分,共 70 分)1 22 32 4168 54 65 1274 8 91 10 118 12 (4,) 13 3136 1492二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15 (本题满分 14 分)解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员2 分(1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 A 4 分则 P(A) 3 5 420 35答:随机选取一名队员,只属于一支球队的概率为 8 分 35(2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B 10 分则 P(B)1P( )1 B 220 910答:随机抽取一名队员,该队员

11、最多属于两支球队的概率为 14 分91016 (本题满分 14 分)证明:(1)因为 PAPD ,Q 为 AD 的中点,所以 PQAD连接 BD,因为 ABCD 为菱形, DAB60,所以 ABBD所以 BQAD2 分因为 BQ 平面 PQB,PQ 平面 PQB,BQ PQQ所以 AD平面 PQB2 分因为 AD 平面 PAD,所以平面 PQB平面 PAD2 分(2)当且仅当 t 时,PA平面 MQB2 分13证明如下:连接 AC,设 ACBQO,连接 OM在AOQ 与 COB 中,因为 ADBC,所以 OQA OBC, OAQ OCB所以AOQ COB所以 所以 2 分AOOC AQCB 1

12、2 AOAC 13在CAP 与COM 中,当 t 时,因为 , ACP OCM,13 COCA CMCP 23所以CAPCOM所以 CPA CMO所以 APOM 2 分因为 OM 平面 MQB,PA 平面 MQB, /BQPADMCO高三数学试卷第 7 页 (共 14 页)所以 PA平面 MQB以上每步可逆,当 PA平面 MQB 可得 t 2 分1317 (本题满分 14 分)解:(1)f(x) 1cos2x sin2x2sin(2x )1 3 分36因为 x ,所以 2x 5 分6 3 6 6 56所以 sin(2x )1所以12sin(2x )212 6 6所以 f(x)0,3即函数 f(

13、x)在 , 上的值域为0,3 7 分6 3(2)由 f(C)3 得,2sin(2C )12,所以 sin(2C ) 6 6 12在ABC 中,因为 0C ,所以 2C 6 6 136所以 2C 所以 C ,所以 AB 9 分6 56 3 23因为 2sinBcos(A C )cos(AC )所以 2sinB2sinAsinC 11 分因为 B A ,C 所以 2sin( A) sinA23 3 23 3即 cosAsinA sinA即( 1)sinA cosA3 3 3 3所以 tanA 14 分sinAcosA18 (本题满分 16 分)解:(1)根据题意,抛物线 y22px 的准线方程为

14、x ,且 p0 2 分p2因为抛物线上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,所以该点到准线 x 的距离也为 5所以p2p2故所求抛物线的标准方程为 y24x 5 分(2)因为点 C 在抛物线上,故可设点 C 为( ,t)t24所以点 C 到 y 轴的距离为 t24高三数学试卷第 8 页 (共 14 页)因为圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 4,所以圆 C 的半径 r 14t4 648 分所以圆 C 的方程为(x )2(yt )2( )2t24 14t4 64即 x2y 2 x2ty t 240 10 分t22(方法一)因为圆 C 是动圆所以当 t0 时,圆 C 的方程为 x2y 240, 当

15、t2 时,圆 C 的方程为 x2y 22x 4y0 联立,得 解得 或 14 分x2 y2 4 0 ,x2 y2 2x 4y 0 ) x 2,y 0, )把(2,0)代入圆 C 方程,左边 220 2 22t 0t 240右边,方程成立,所以圆 C 恒过定t22点(2,0)把( , )代入圆 C 的方程得,左边 t2 t 不恒为 0,即随着 t 的变化而变化65 85 85 165故点( , )可能不在圆 C 上65 85所以圆 C 恒过定点(2,0) 16 分(方法二)将方程 x2y 2 x2tyt 240 整理为t22(1 )t2 2yt( x2y 24) 0 14 分x2式对任意实数 t

16、 都成立的充要条件是 即 x 2,y 0 )所以圆 C 恒过定点(2,0) 16 分19 (本题满分 16 分)解:(1)当 a1 时,f(x )x 2| lnx1|当 0xe 时,f(x)x 2lnx1,f (x) 2x 2 分1x令 x1 得 f(1)2,f (1) 1,所以切点为(1,2),切线的斜率为 1所以曲线 yf(x )在 x1 处的切线方程为 xy10 5 分(2) 当 xe 时,f(x )x 2alnxa,f (x)2x (x e) ax因为 a0,所以 f(x)0 恒成立所以 f(x)在 e,)上为增函数故当 xe 时,y minf( e)e 2 7 分当 xe,即 x1

17、,e 时,f(x)x 2alnxa,f (x )2x (x )(x )(1 xe ) ax 2x(i)当 1,即 0a2 时, f (x)在 x(1,e )时为正数,所以 f(x)在1 ,e上为增函数故当 x1 时,y min1a,且此时 f(1)f(e)(ii)当 1 e ,即 2a2e 2 时,f (x)在 x(1, )时为负数,在 x( ,e)时为正数,高三数学试卷第 9 页 (共 14 页)所以 f(x)在1, )上为减函数,在( ,e上为增函数故当 x 时,y min ln ,且此时 f( )f(e)3a2 a2 a2(iii)当 e,即 a2e 2 时, f (x) 在 x(1,e

18、)时为负数,所以 f(x)在1,e 上为减函数在故当xe 时,y min f(e)e 213 分综上所述,当 a2e 2 时,f( x)在 xe 时和 1xe 时的最小值都是 e2,所以此时 f(x)的最小值 f(e)e 2;当 2a2e 2 时,f( x)在 xe 时最小值为 e2,在 1xe 时,最小值为 f( ) ln( ),3a2 a2 a2而 f( )f(e),所以此时 f(x)的最小值 f( ) ln 3a2 a2 a2当 0a2 时,f(x )在 xe 时最大值为 e2,在 1xe 时最小值为 f(1)1a,而 f(1)f(e) ,所以此时 f(x)的最小值为 f(1)1a所以函

19、数 yf(x )的最小值为 ymin 16 分20 (本题满分 16 分)解:(1)设数列a n的公差为 d,则 ana 1(n1) d,a n1 a 1nd由题意得,a 1(n1) d(a1 nd)n 23n2 对 nN *恒成立即 d2n2(2a 1dd 2)n( a12a 1d)n 23n2 所以 即 或d2 1,2a1d d2 3,a12 a1d 2, ) d 1,a1 2, ) d 1,a1 2 )因为 a1p0,故 p 的值为 2 3 分(2)因为 an1 ann 23n2(n1)( n2),所以 an2 an1 (n2)( n3)所以 5 分an 2an n 3n 1当 n 为奇

20、数,且 n3 时, , , a3a1 42 a5a3 64 anan 2 n 1n 1相乘得 ,所以 an p当 n1 时也符合ana1 n 12 n 12当 n 为偶数,且 n4 时, , , a4a2 53 a6a4 75 anan 2 n 1n 1相乘得 ,所以 an a2ana2 n 13 n 13因为 a1a26,所以 a2 所以 an ,当 n2 时也符合6p 2(n 1)p所以数列a n的通项公式为 an 7 分当 n 为偶数时,S np 2p p p 6p 10p n2 2(n 1)p 2p高三数学试卷第 10 页 (共 14 页) p n(n 2)8 n(n 4)2p当 n

21、为奇数时,S np 2p 3p p6p 10p 14p 2np n 12p p 2p (n 1)(n 3)8 (n 1)(n 3)2p所以 Sn 10 分(3)当 n 为偶数时, 4( )n i=12ai2 2a12 2a22 2a32 2an 12 2an2 1a1a2 1a3a4 1an 1an4 123 145 1n(n 1)2 123 134 145 1n(n 1) 1(n 1)(n 2)2( ) 13 分12 13 13 14 1n 1 1n 2 nn 2当 n 为奇数,且 n2 时, n i=12ai2 2a12 2a22 2a32 2an 12 2an24( ) 4( )1a1a2 1a3a4 1an 2an 1 2an2 123 145 1(n 1)n2( ) 123 134 1(n 1)n 1n(n 1) n 1n 115 分又因为对任意 nN*,都有 ,n 1n 1 nn 2故当 n2 时, 16 分n i=12ai2 n 1n 1

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