1、 1专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有及等差数列和等比数列的通项公式。211nSann例 1 已知数列 中 ， ，求数列 的通项公式a2+sna评注 在运用 时要注意条件 ，对 n=
2、1 要验证。1nnas2n2、累加法：利用恒等式 求通项公式的方法叫累加法。它是求型如211+.naa的递推数列的方法（其中数列 的前 n 项和可求） 。1+fn f例 2 已知数列 中 ， ，求数列 的通项公式n1212+3na评注 此类问题关键累加可消中间项，而 可求和则易得(fn） na3、.累乘法：利用恒等式 求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如3211nna0a的递推数列的方法1nnaggn数 列 可 求 前 项 积2例 3 已知数列 中 ，求数列 的通项公式na1nsana评注 此类问题关键是化 ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。1nag4、转化法：通过变换递推关系，将非
3、等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：凑配、消项变换如将一阶线性递推公式 （q, d 为常数， ）通过凑配变成1naq0,1q= ，或消常数项转化为1ndaq1ndaq 211nna例 4、已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式n1nan点评： 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列（2）倒数变换如将一阶分式递推公式 （c,d 为非零常数）取倒数得1nncad1nndac例 5 已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式na112nnan点评： 此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。对数变换如将一
4、阶分式递推公式 取对数1pnac0,1ncp3可得 1lglgnnapc例 6 已知数列 中， ， ，且 ，求数列 的通项公式0210nnana点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于 的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换na换元变换如将一阶分式递推公式 （q,d 为非零常数，q1，d1）1qd变换成 ，令 ，则转化为一阶线性递推公式1nnaqdnb例 7 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式n113+2na*Nna评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnapa12解法：先把原递推公式转化为 )(1nsts其
5、中 s，t 满足 ，再应用前面转化法（4）类型的方法求解。 qt例 8 . 已知数列 中， , , ，求 。na12annna3147、叠代法 例 9 已知数列 的前 项和 满足 求数列 的通项公式。nanS1,)(2nanna8、归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。例 10 数列 满足 ,求数列 的通项公式na2nnsa*Nna四、实战演练1、2012辽宁卷 已知等比数列a n为递增数列，且 a a 10,2(ana n2 )5a n1 ，则数列 an的通项25公式为 an_.2、 在数列 n中， 31a, )1(1nan，求
6、通项公式 na.3、设数列 na是首项为 1 的正项数列，且 0)(121nnnaa（n=1,2,3） ，则它的通项公式是 =54、已知数列 na，其中 2,1a，且当 n3 时， 1221nna，求通项公式 na。5、设正数列 0a， 1， n， a，满足 2na21n= 1a )2(n且 10a，求 n的通项公式.五、能力提升（逆推法）已知数列 的前 项和 与 满足： 成等比数列，且 ，求数nanSa21,nS)(1a列 的前 项和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnaS点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列 的前 项和 的递nanS推公式，
7、是一种最佳解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6由递推关系求数列的通项公式答案例 1 解： 当 由 = =2n1nnas22+-11n当 时 不满足 故13s3,na例 2 解：由 可知12+nan1212nn= + = 1211.n a .341n2当 时也成立。故有 =n例 3 解：当 n=1 时 由 可得11as12a由 = 可得1nnas1nnn= =3211nna232145当 n=1 时也成立。故有 =n例 4 解法一 ：由 可得 ，又 ，故数列 是首项凑 配 变 换 12na12nna12a1na为 2，公比为 2 的等比数列， ，即1n解法二（消项变换） 1n
8、1n-得 ，故数列 是首项为 公比为 2 的等比数1naa21na2a列即 ，再用累加法得2n例 5 解:由 可得 即1nna12na12na数列 是以 1 为首项 2 为公差的等差数列。 =1+2（n-1）,即nn 12na例 6 解：由 ，且 可得 ，即0a210nna1lg2lna1lgn7数列 是以 为首项以 2 为公比的等比数列lg1na1lga= 即 220n例 7 解：由 可得 即 令13+n132nna13(1)2nna12nab数列 是以 为首项以 为公比的等比数列即12nnbnb n= 即na32na例 8 解：由 可转化为nnn12 )(112nnsatsa即 或nnns
9、tatsa12)(3tt13t这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试） ，则31ts1ts )(312nnaa是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型 1 的方na1 12a311)(nn法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,n)(n2101 )3()3(nna 31又 ，所以 。11)(47nn例 9 解：由 21aSa当 2n时，有 ,)1(2)(1nnnn 1(),221nn， .121()nna.)1(233)()(121nnn 经验证 也满足上式，所以a )1(23nna8方法二、112(),nna1 1222()()()()33nnnnaaa 构造数列
10、公比为-2 首项为 的等比数列（以下略）()3n3例 10 解：易求 ， ，由此可猜想 下面用数学归纳法证明：当12,a4715,8a12na时，左边= ，右边= =1，猜想成立；1n11假设 n=k 时命题成立，即 ，那么由已知 12ka2kksa11()kk由-可得 2aa= = ，即当 时命题也成立。12kka1k12kk1nk由，可知命题对任何 都成立。*nN点评： 此类问题关键是利用归纳假设的 证明 n=k+1 时命题成立。ka方法二、 时 1n112aS时 2 11()2()2nnnnna可构造等比数列（以下略）四、实战演练1、(公式法)2 n 解析 本小题主要考查等比数列的概念与
11、性质解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题关键由已知条件 为等比数列，可知，2( ana n2 )5a n1 2(a na nq2)5a nq2q 25q20q 或an122，又因为 是 递增数列， 所以 q2.由 a a 10得 a5 q532，所以 a12，a na 1qn1 2 n.an 252、 （累加法） 解：原递推式可化为： 则 ,1a 31344a， nan11逐项相加得： nan1.故 n4.3、 （累乘法） 解：原递推式可化为：)()1(1nnn=0 na10， 1n9则 ,43,2,132aa， na1 逐项相乘得： na1，即 n= .4、 （换元法与累加法
12、的综合）解 由 221a得： 1)()(211na，令11nnb，则上式为 21nb，因此 nb是一个等差数列， 2b，公差为 1.故.。由于 112312121 nnn aaa又 )(bb所以 2an，即 5、 （换元法与累乘法综合）解 将递推式两边同除以 21na整理得：121nn设 nb= 1a，则 01ab=1， 12nb，故有 12nb是公比为 2，首项为 2 的等比数列12()nnnn 即 1na=2.nb1()na逐项相乘得： n= )( 2) ，考虑到 10a，故 222)1()1(nna )(n . (1n五、能力提升解：由题意： 21(),nnSa1na 2 11()()2nnnSS112.2nnSS10当 时 1n1aS当 时 时也符合212()3nnn1 ()3na
