1、 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题:目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )0xln(12)x1(cos)x(A) (B) (C) (D) (2,),(,)210,2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B) sinyx sinyx(C) (D) 121(3) 设函数 具有 2 阶导数， ，则在区间 上 （ ()fx()0(1)(gxfxf0,）(
2、A) 当 时， (B) 当 时，0ff )f()fxg(C) 当 时， (D) 当 时，()x()x(x(4) 曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ 2741ty1t）(A) (B) (C) (D)05010510(5) 设函数 ，若 ，则 （ ()arctnfx()fxf20limx）(A) (B) (C) (D)1231213(6) 设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足(,)uxyD及 ，则 20uxy20（ ）2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二2(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得(,)uxyD(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
3、(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得(,)xy(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得uDD(7) 行列式 （ 0abcd）(A) (B) 2()abc 2()adbc(C) (D) d2(8) 设 均为 3 维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量12,kl1323,kl组线性无关的 （ 123,）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) _.125dxx(10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则()
4、f ()fx21),0,2x(7)f_.(11) 设 是由方程 确定的函数，则 _.(,)zxy2274yzexz1(,)2dz(12) 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程rrL(,),r是_.(13) 一根长为 1 的细棒位于 轴的区间x2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二3上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 _.0121xxx(14) 设二次型 的负惯性指数为 1，则 的取值范围为123232, 4f aa_.三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限1
5、2lim.lnxtxedtx(16)(本题满分 10 分)已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极y21y20yyx小值.(17)(本题满分 10 分)设平面区域 计算 .2,14,0,Dxyxy2sinDxydx(18)(本题满分 10 分)设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若(fu(ecos)xzf2 2(4ecos)xxzzyxy，求 的表达式.(0),)0ff()fu(19)(本题满分 10 分)设函数 的区间 上连续，且 单调增加， .证明：(,fxga,b()fx0()1gx(I) ,0)atdx(II) .( ()gbgt baffdx(20)(本题满分 11 分) 设
6、函数 ，定义函数列(x,01f121(),()(),ffxfx，记 是由曲线1()nnf nS2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二4，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .()nyfx1xlimnS(21)(本题满分 11 分)已知函数 满足 ，且 求曲线(,fy2(1)fy2(,)1()l,fyy所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.(,)0fxy(22)(本题满分 11 分)设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.12340AE(I)求方程组 的一个基础解系；x(II)求满足 的所有矩阵.B(23)(本题满分 11 分)证明 阶矩阵 与 相似.n1 012n 2014 年全国硕士研
7、究生入学统一考试数学二52014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题:目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )0xln(12)x1(cos)x(A) (B) (C) (D) (2,), 1(,)210,2【答案】B【解析】由定义 1000ln(12)()imlilimxxx所以 ，故 .当 时， 是比 的高阶无穷小，所以 ，即 .21(cos)2102故选 B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B)
8、 sinyx2sinyx(C) (D) 1 1【答案】C【解析】关于 C 选项： .1sinsinlimlim10xxx，所以 存在斜渐近线 .1lisin0xiyyx2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二6故选 C(3) 设函数 具有 2 阶导数， ，则在区间 上 （ ()fx()0(1)(gxfxf0,1）(A) 当 时， (B) 当 时，0ff )f()fxg(C) 当 时， (D) 当 时，()x()x(x【答案】D【解析】令 ，则0(1)()Fgfxff,0F, .()()xffx ()()fx若 ，则 ， 在 上为凸的. ()0fx0F,1又 ，所以当 时， ，从而 . 1x
9、()0Fx()gxf故选 D.(4) 曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ 2741xty1t）(A) (B) (C) (D)05010510【答案】C【解析】 1112 21143tttttdyxd3322,011ykRkq故选 C2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二7(5) 设函数 ，若 ，则 （ ()arctnfx()fxf20limx）(A) (B) (C) (D)1231213【答案】D【解析】因为 ，所以 2()1fxf2()xf2 22200001()arctnlimlilimli3xxxxf故选 D.(6) 设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有 2 阶连续偏导
10、数，且满足(,)uyD及 ，则 20uxy20（ ）(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得(,)D(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得uxy(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得(,)(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得xyDD【答案】A【解析】记222,0,uuABCBACxy相 反 数则 ,所以 在 内无极值，则极值在边界处取得.=C-0()故选 A(7) 行列式 ( )0abcd(A) (B) 2()ab2()adbc(C) (D)2adbc22bcad2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二8【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列
11、 000abababcdcdcd()()abab.2dc(8) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组123,akl13ak23la线性无关的 ( )123,(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】 . 132312301klkl记 ， ， . 若 线性)1323Akl123B10klC123,无关，则 ，故 线性无关. ()()rBCr1323,kl举反例. 令 ，则 线性无关，但此时 却线性相关. 302, 123,综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关的kl1323,kl123,必
12、要非充分条件. 故选 A二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) _.125dxx【答案】 382014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二9【解析】 11 122 1arctn524348xdxdxx (10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则()fx4()fx21),0,2x(7)f_.【答案】1【解析】 且为偶函数210,2fxx，则 ，又 且为奇函数，故2fxxc=c2,0，又 的周期为 4，fx71ff(11) 设 是由方程 确定的函数，则 _.(,)zy2274yzexz1(,)2dz【答案】 12dx【解析】对 方程两边
13、同时对 求偏导274yzez,xy210()2yzzxzzey当 时,1,xy0故 11(,)(,)22zz故 1(,)2 ()dzxdyxdy2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二10(12) 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是limnSrL(,),)2r_.【答案】 2yx【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，cosinixry于是 对应于,2r,0,2切线斜率 cosindyx0,2dyx所以切线方程为 20yx即 2=yx(13) 一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的x121xx质心坐标 _.【答案】 20【解析】质心横坐标10xd3112 21000 42112 31000 5=1xdxxd=523x(13) 设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值范围21231132, 4fxxaxa
