1、模糊 PID 控制器的结果解析及其稳定性分析 B.M. Mohan *, Arpita Sinha Department of Electrical Engineering, Indian Institute of Technology, Kharagpur 721302, India Received 14 July 2006; received in revised form 31 May 2007; accepted 10 June 2007 Available online 14 June 2007 摘 要： 本文 建立在三输入四输出变量模糊集的控制器基础之上 对模糊 PID 控制器的
2、解析。该结构 是基于对输入 /输出为 ,L 隶属度函数，代数积三角形准则 、有界和三角形准则， Mamdami 最小推理方式，中值法反模糊方式之上得出的。文中的有界输入 /输出稳定性的条件是基于小增益定理。最后，以两个数值例子及其仿真结果来论证了 最简 模糊 PID 控制器的可行性和有效性。 1.介绍： 由于传统 PID 控制器的简易性，鲁棒性好，对线性系统控制有效等优点，许多的工业控制仍采用这种控制方法。本文图 1 给出了两种 不同配置的 PID 控制器。但由于其为线性结构，如果系统为高阶大时滞系统，非线性系统，没有精确数学模型的复杂模糊系统或是具有多个不确定因素 的 系统，传统的 PID
3、控制方法就无法非常有效地对其进行控制。上个世纪 90 年代之前，大多数的模糊系统研究侧重在应用领域，而非理论研究。直至 1990 年，研究人员才开始对模糊控制器进行结构解析及稳定性分析。并 如其他传统控制理论，针对一个对象，建立了模糊理论体系。从模糊 PI 及模糊 PD 控制器与其对应传统控制器对上述复杂系统的控制结果的比较可看出其优越性。由于模糊 PI 控制器比模糊 PD 控制器具有更好的优越性，模糊 PD 控制 算法 无法消除稳态误差。但是，模糊 PI 控制器由于其自身的积分操作，在高阶系统 时 ，并不能得到很好的控制效果。为了提高上述的所有性能，本文提出了模糊 PID 控制器。 本文提出
4、了一种基于常规控制器，与模糊逻辑控制器 相 结合的增量式控制器。该控制器是将常规 PID 控制器的参数加上模糊逻辑整定得到的参数 的 增量式模糊 PID 控制器。 BIBO 稳定性的充分条件是小增益定理。事实上，在 1一书中，对模糊控制系统有过深刻的分析，该书针对 Mamdami 型和 Takagi-Sugeno型的模糊模型提出过多种分析 法。 1中给出了一种使用线性矩阵不等式法分析、设计模糊控制系统的详细方法 ，用以处理 Takagi-Sugeno 型模糊模型的系统。 本文提出一种基于图 1 配置 1 的新型模糊 PID 控制器结构。为了能够在线调节模糊控制器参数，文章提出了一种基于峰值观测
5、器的参数自适应算法。提出二级调整策略，做法如下：首先，在大前提下建立模糊比例、积分、微分增益和量化因子的关系，然后，再最优调节该控制参数。 如 配置 1 的模糊 PID 控制，是基于 最小值推理机和算术平均 法 反模糊化的控制器。为了得到更好 的暂态，稳态性能，提出了一种基于函数调节的自适 应方法用来在线 调整模糊逻辑控制器的量化因子。 将模糊 PI 控制器和模糊 PD 控制器结合得到模糊 PID 控制器如图 1 配置 2。其理论基础为结合 PD 和 PI 两种控制。给出了一种基于 增益欲度规格和相位欲度规格 的调整方式，用以确定模糊 PID 控制器的参数。并且 BIBO 稳定性的充分条件也已
6、经确定。多种比例，积分，微分模糊 逻辑控制器的分解形式 （如模糊P+模糊 I+模糊 D,模糊 PD+模糊 I,模糊 PI+常规 D 形式，模糊 P+常规 ID 形式，模糊 PI+模糊 PD 形式）在文中都得到测试和比较。为了得到简单的结构，模糊PID 中的比例 ， 积分，微分 部 分均基于 PID 中的比例，积分 ，微 分的规则确定。 通过基于隶属度函数推理方法，能够系统的学习模糊 PID 控制器。该控制器的分析具有 5 个评定准则：控制作用组成，输出耦合，增益相关性，增益作用交换，规则 /参数增 长。 Mizumoto 已经证明 PID控制器能够利用模糊控制方法如 product-sum-g
7、ravity原理得到参数（代数积三角形规范， Larsen 积 推理 法 ，有界和三角形准则和重心反模糊 法 ），以及简化模糊推理规则的方法（模糊集为连续相同论域的情况下。）然而，当系统给定的复杂推理结果为非线性形式时，则 min-max-gravity 方式无法建立并简化其模糊推理形式来的到 PID 控制器。但是 product-sum-gravity 方式能够建立该推理，并能在原先模糊规则的基础上扩展隶属度函数来简化模糊推理规则。 本文的目的是 ： 解析基于代数积三角形准则、有界和三角形准则，输入输出为 ,L 隶属度函数、非线性控制规则， Mamdami 最小推理方式，中值法反模糊方式的控
8、制器 ；分析和给出 模糊 PID 控制系统的 BIBO 稳定性的充分条件 。最后，分析并讨论了模糊 PID 控制器相比于 PID 控制器的优越性。并给出 了两个仿真结果。 本文有一下章节组成，第二章论述了典型模糊 PID 控制器的基本组成部分；第三章则给出了模糊 PID 的结构分析；第四章是关于模糊 PID 控制系统的 BIBO稳定分析；第五章是关于模糊 PID 控制器的设计研究；而第六章则给出了仿真结构，第七部分为结论总结。 图 1.PID 控制器 （ a） .配置 1 （ b） .配置 2 （ c） .配置 3 2.模糊 PID 控制器的组成 增量控制信号由离散时间 PID 控制器 (式
9、11)产生 1 d d dP I du k T u K T u k T K v k T K d k T K a k T （ 1） 其中， dDdIdP K,K,K 各 代表数字 PID 控制器的比例积分微分参数。速度，位移和 加速度 有下式（ 24） 得到： 11d kT d k Tv kT Td kT e kTv kT v k Ta kT T)(kTe 是由 )()( kTykTr 得到的误差信号，是输入给定信号， )(kTy 为系统输出， T为采样周期。离散时间位移 )(td 速度 )(tv ，当 t=kT 时，与前一时刻的误差的差异得到 )(tv 、 )(ta 如式（ 2）、（ 4）所示
10、。式（ 1）速度算法在数字 PID 控制器中应用非常广泛。基于图 1 配置 3 的模糊 PID 结构（图 2）有下面几个部分组成。 （ 2） （ 3） （ 4） 2.1 量化因子 模糊逻辑控制器的输入变量可以乘以一个正则化因子映射到区间 , ll 上，,a vd NNN NN 各为 d， v， a， u 的正则化因子，反标准化因子将标准输出映射回物理输出域。 -1NN 为 NN 的倒数，称为反标准化因子。这些量化因子相当于常规 PID 控制器的增益系数， DIP K,K,K 2.2 模糊化 模糊化能够将控制器的输入标准化为一定值给模糊集，因此，能够启动推理机，并运用控制规则。模糊 PID 控制
11、器有 3 个输入：误差信号 )(kTe (即位移 )(td )，)(kTe 的一阶微分（即速度 )(tv ）和二阶微分（即加速度 )(ta ）。这些输入均模糊化为 ,L 隶属度函数如图 3， dN， vN， aN 为正则化输入。其中 ,L 隶属度函数 如下所示： 120nxL x lxl l x lll x L （ 5） 021pxL x lxl l x lll x L （ 6） 图 2.模糊 PID 控制系 统 dN(k-1) dN(k) vN(k-1) vN(k) aN(k) vN(k) dN(k) - + - + 1x 1/T 1x Na 1/T Nv Nd fuzzify Infere
12、nce Engine Rule base defuzzify 1uN + + 1x aN(k) vN(k) dN(k) 注意： 1n x p x （ 7） 图 3 输入变量的隶属度函数 该模糊控制器只有一个输出，即增量控制输出 u（ kT）标准输出量 UN 的隶属度函数如图 4，常数 l， L， m， M 为设计者给出。 2.3 控制规则库 以下规则是以图 3 图 4 输入输出模糊集得出。 R1:If dN=n*dsup supd v dkkM M MTd k v k 20 24su pa v dkM M or MTTak(22 ）（ 23） ;d d d v v v a a aM N M M
13、 N M M N M 这里 dN(k) 、 vN(k)、 aN(k) , ll 331 2 11 1 1 222 33 ddu NNN N NMu k y k G e k N d k MN D T D D T D T D T 其中 21 32MNd AN uT B （ 24） 这里 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 27 1 7 1 7 1a d a d v a v a d v d vA l l M M l M M T l l M M l M M T l l M M l M M 接着，我们有 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41 5
14、 1 d v a d v v a a d d v aB l M M M M M M M M M l M M M l 2 2 2 2 2y k y k G e k o r e k e k 2 （ 25） 所以非线性模糊 PID控制系统 BIBO 稳定的充分条件是模糊 PID控制器的参数必须满足不等式 21r 1，其中 21,rr 如式 24.25 定义。 5.最简模糊 PID 控制器的设计 等式 10，可写成 1 2 323 v d au N N N N N NMu k T v k T d k T a k TN D D D （ 26） 现在，我们将式（ 26）与式（ 1）比较，很明显可以看到 ，
15、模糊 PID 控制器非常类似于线性 PID 控制器。其中 N1,N2,N3,D 不是常数而是正则化输入 dN(kT)，vN(kT)和 aN(kT)的非线性函数。模糊 PID 控制器是一个具有动态增益的非线性PID 控制器。其中 123 vPduMN NK ND223 dId uMN NK ND323 aDd uMN NK ND（ 27） KPd， KId， KDd，各代表了动态比例增益，积分增益，微分增益。特别的，线性 PID 控 制器的增益 dDdIdP KKK 为常数，即静态。因此，我们同样可以定义一个静态增益的模糊 PID 控制器，只要令式（ 27）中的 dN(kT)=vN(kT)=aN(kT)=0，得到 ,P s v Is d D s aK N K N a n d K N （ 28） 这里 DSISPS KKK , 分别表示静态比例增益，积分增益，微分增益。其中
