1、9.7 抛物线2014 高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法1 抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线2 抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py( p0)标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图
2、形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下难点正本 疑点清源1 抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简2 抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离， 等于焦点到抛物p2线顶点的距离牢记它对解题非常有益3 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程1 动圆过点(
3、1,0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案 y 24x解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0) 的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.2 若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26 y22答案 4解析 因为椭圆 1 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y22px 的焦点为(2,0)，x26 y22则 p4.3 (2012重庆 )过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB| ，| AF|0)，则 M 到焦点的距离为 xM 2 3，p2 p2p2，y
4、24x .y 4 28，20|OM| 2 .4 y20 4 8 35 设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ( )A. B2,2 12，12C1,1 D 4,4答案 C解析 Q(2,0)，设直线 l 的方程为 yk (x2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得k2x2(4k 28)x4k 20，由 (4k 28) 24k 24k264(1k 2)0，解得1k1.题型一 抛物线的定义及应用例 1 已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA| PF|的最小值，并求出
5、取最小值时点 P 的坐标思维启迪：由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，求|PA| PF|的问题可转化为求|PA| d 的问题解 将 x3 代入抛物线方程y22x，得 y .6 2，A 在抛物线内部，如图6设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知|PA| |PF| PA|d，当 PAl12时，|PA|d 最小，最小值为 ，即|PA| |PF| 的最小值为 ，此时 P 点纵坐标为 2，代入72 72y22x，得 x 2，点 P 的坐标为(2,2)探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大
6、的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2011辽宁)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( )A. B1 C. D.34 54 74答案 C解析 |AF| BF|x Ax B 3，12x Ax B .52线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .xA xB2 54题型二 抛物线的标准方程和几何性质例 2 抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2 y29 相交，公共弦 MN 的长为 2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与
7、准线方程5思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数解 由题意，抛物线方程为 x22ay (a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，N 在 y 轴右侧，则|MA |AN|，而|AN| .5|ON| 3，|OA| 2，N( ，2) 32 52 5N 点在抛物线上，52a (2)，即 2a ，52故抛物线的方程为 x2 y 或 x2 y.52 52抛物线 x2 y 的焦点坐标为 ，准线方程为 y .52 (0，58) 58抛物线 x2 y 的焦点坐标为 ，准线方程为 y .52 (0， 58) 58探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p
8、的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程如图，已知抛物线 y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8，求抛物线的方程解 设直线 OA 的方程为 ykx，k0，则直线 OB 的方程为y x，1k由Error! 得 x0 或 x .2pk2A 点坐标为 ，B 点坐标为(2pk 2，2pk)，(2pk2，2pk)由|OA |1，|OB|8，可得Error!解方程组得 k664，即 k24.则 p2 .16k2k2 1 45又 p0，则 p ，故所求抛物线方程为 y2 x.255 455题型三 直线与抛物线的位置关系例 3 (2011江西)已知过抛物线 y22px (p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于2A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(x10 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；
