1、三试确定以下两组应变状态能否存在( 为常数), 并说明为什么？BAK,(1) (存在)xyyxKx2,),(2(2) (不存在)0yBA四计算题1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。解：主要边界条件，bxpxy;0， q次要边界条件，在 上，满足；)(0yxFdb2)(0bby2.图中所示的矩形截面体，在 o 处受有集中力 和力矩 作用，试用应力函数F2/bM求解图示问题的应力分量，设在 A 点的位移和转角均为零。23BxA解：应用应力函数求解，（1） 校核相容方程 ，满足 04（2） 求应力分量，在无体力时，得， BAxy260xy考察主要边界条件， ，均满足。 bxy
2、考察次要边界条件，在 上，0，满足；)(0yx，得 ； Fdxby0)(bB2，得 。 b 8FA代入，得应力的解答， )231(xFy0xy上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。 43. 图中所示的悬臂梁，长度为 ，高度为 ， ，在边界上受均匀分布荷载 ，试验lhlq应力函数 5232AyBxCyDxEy能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载 P 的作用。若应力函数 ，试求23BxA各应力分量。解：（1）检验相容方程是否满足，由 0)(4（2）求应力分量：0xBy2Ax6xy（3）由边界条件： 边，由圣维南原理可得：hpdxah
3、y)(可得： aB4/2)(0xay可得： 8apA（4）应力分量为： 0xapy2430xy5. 试推导平面问题的 y 方向的平衡微分方程 0yxyf解：x yyx xxydyy yy dxxxyxy dyyyxyx dxx xx yxfyf C以 y 轴为投影轴，列出投影平衡方程 ； 0xF0)( dxyfdyxxxyyy 约简之后，两边除以 ，得0yxyf2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，（ 为杆件密度，g 为重力加速度） ，并设 =0。ffyx,试用位移法求解杆件竖向位移及应力。 （14 分）（平面问题的平衡微分方程： ， ；用0xyxf0yxyf位移分量表
4、示的应力分量表达式： ， ，)(12yvxuEx )(12xuyvE）)()12yuxvExy解：据题意，设位移 u=0，v =v(y)，按位移进行求解。根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：(a),0)21(12 xfyyxE(b) .)(22 yfuv将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而 (b) 式第二式成为 Egyv2可由此解出(c).2BAyv本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且 0)(,0)(lyyglo题 七 图 将(c) 代入，可得 lEgAB，0反代回(c)
5、，可求得位移： )2(ylvgy4、设有函数 ，hyqyhqx3232 514（1）判断该函数可否作为应力函数？（3 分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l h） 。 （15 分）解： （1）将 代入相容方程 ，显然满足。因此，该函数可以作02444yx为应力函数。（2）应力分量的表达式： 2323232461,46yhqxyqyyqxxyyx考察边界条件：在主要边界 yh/2 上，应精确满足应力边界条件qhhyhy 232104232hyhyq62232hyhyxx在次要边界 x0 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
6、Ox/题九图 )(0342/02/ 奇 函 数 dyhqdyhxh2/302/ hxh02/dyxh在次要边界 xl 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件： )(03462/322/ 奇 函 数 dyhqhyqlyhlxh 22/ 3322/ qlldhlxh qlyqlyhlxh 2/ 232/ 46对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载 q 的问
7、题。1. （12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 （板厚 ）1图 5-1解：在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：2hy， ； ，lqx202hyx02hy12qhyx在次要边界 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚0时，1， ，20hNxFdy20hxMyd20hSxyFd在次要边界 上，有位移边界条件： ， 。这两个位移边界l lxulv条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：， ，lqFdyhNx2102620 qlhlFydShx 2hSy2. （10 分）试考察应力函数 ， ，能满足相容方程，并求出应
8、力分量（不3cxy计体力） ，画出图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图 5-2解：（1）相容条件：将 代入相容方程 ，显然满足。3cxy02444yx（2）应力分量表达式： ， ，x620y23cy（3）边界条件：在主要边界 上，即上下边，面力为 ，hyhxhy22243chhyx在次要边界 上，面力的主失和主矩为lx,023202 43hhxyh hcdydy2320 322 4360hhxylxhhl hcdydlldycy弹性体边界上的面力分布及在次要边界 上面力的主失量和主矩如解图所示。lx,03. （14 分）设有矩形截面的长竖柱，密度为
9、，在一边侧面上受均布剪力 q, 如图 5-3所示，试求应力分量。 （提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ）0x图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ，0x(1) 假设应力分量的函数形式。 0x(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为 。将 代入应gfyx,x力公式 有 对 积分，得 ， 2yx2yx （a） 。 （b）xf1其中 ， 都是 的待定函数。xff1x(3)由相容方程求解应力函
10、数。将式（b）代入相容方程 ，得040414dxffy这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的 y 值都应该满足） ，可见它的系数和自由项都必须等于零。 ， ，两个04dxf041dxf方程要求， (c)CxBAxf23231EDf中的常数项， 中的一次和常数项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为 y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数(d)2323 xxx（4）由应力函数求应力分量。， (e)02xxfy， (f)gyEDBAfyy 2662. (g)Cxxxy 23(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边 的主要边界条件：b， ， 。0
11、2bx02xyqbxy2将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：，自然满足； 2bx 04322CBbAbxy(h)qbxy22(i)由（h） （i） 得 bB2（j）考察次要边界 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界0y条件为； 得 026202 EbdxDdxbyb0E， 得 23202bybD 04332202 bCAdxbqAxdxbyb（k）由（h） （j） （k）得 , 2q将所得 A、B、C、D、E 代入式（e ） （f ） （g）得应力分量为：， ， 0xybqxyy26 432xbqxy4图示曲杆，在 边界上作用有均布拉应力 q，在自由端作用有水平集中力 P。r试写出其边界条件（除固定端外） 。题二（4）图（1） ；0 ,brbrq（2） 0arar（3） sin cos PdrPdbb2rba1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距 d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ） （13 分）BA2sin题三（1）图解： 很小， ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。dPdM将应力函数 代入，可求得应力分量：),(r
