1、 导数及其应用高考题精选1.（2010 海南高考理科 T3）曲线 2xy在点 1,处的切线方程为（ ）（A） 21yx （ B） 21yx （C ） 3yx （D ）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选 A.因为 2()yx，所以，在点 1,处的切线斜率 12()xky，所以，切线方程为 2()yx，即2，故选 A.2.（2010山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单位：万件）的函数关系式为31824x，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（
2、 ）(A) 13 万件 (B) 11 万件(C) 9 万件 (D) 7 万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选 C， 281yx,令 0y得 9x或 （舍去） ，当9x时 0y；当 9x时 0，故当 时函数有极大值，也是最大值，故选 C.3.（2010山东高考理科7）由曲线 y= 2x,y= 3围成的封闭图形面积为（ ）（A）12(B) 14(C) 13(D) 712【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能
3、力.【思路点拨】先求出曲线 y= 2x,y= 3的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选 A,由题意得: 曲线 y= 2x,y= 3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为 1230-)d=（1-42,故选 A.4.（2010辽宁高考理科10）已知点 P 在曲线 y= 1xe上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）(A)0, 4) (B),)23(,4(D) 3,)4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即 tan的范围，再根据正切函数的性质求 的范围。【规范解答】选 D
4、.224,1444 11()(22100,tan,3D4xxx xxxyeeeeyyA当 且 仅 当 ， 即 时 “ ”成 立 。又 。设 倾 斜 角 为 ， 则又 ， ， 。 故 选5.（2010湖南高考理科4）421dx等于（ ）A、 2ln B、 2ln C、 ln D、 ln2【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住 x1的原函数.【规范解答】选 D .42d=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010江苏高考8）函数 y=x2(x0)的图像在点(a k,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为
5、ak+1, kN其 中 ，若 a1=16，则 a1+a3+a5的值是_【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由 0y，即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。【规范解答】由 y=x2(x0)得， 2yx，所以函数 y=x2(x0)在点 (ak,ak2)处的切线方程为： 2(),kkyaxa当 0y时，解得 2kax，所以 1135,6412ka.【答案】217.（2010江苏高考4）将边长为 1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一
6、块是梯形，记2(S梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 S 的最小值是 _ _。【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为 x，然后用 x分别表示梯形的周长和面积，从而将 S 用 x 表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为 x，则：22(3)4(3)01)11xxS方法一：利用导数的方法求最小值。 24(3)()1xSx，224(6)(1(3)()3xxS22 26)()()3xx 1()0,3Sxx，当 ,时， ()0,S递减；当1,)3x时， ()0,Sx递增；故当13x时，S 的最小值
7、是2。方法二：利用函数的方法求最小值令13,(23),(,)xtt，则：2244186633tSt故当1,8t时，S 的最小值是2。【答案】32【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.（2010陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个 点 M（x,y）,则点 M 取自阴影部分的概率 为 ；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为112
8、300.Sxd阴 影所以点 M 取自阴影部分的概率 为 3P阴 影长 方 形答案：139 （2010 海南高考理科 T13）设 y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有 0f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxd,先产生两组（每组 N 个）区间0,1上的均匀随机数 1x, 2, N和 1y,2y, N,由此得到 N 个点 (,)ixy（i=1,2, ,N）,在数出其中满足 1()fx（ （i=1,2, ,N） ）的点数 1，那么由随机模拟方法可得积分0d的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后
9、结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知， ,xy所有取值构成的区域是一个边长为1 的正方形，而满足 i ()if的点 (,)i落在 y=f(x)、 0y以及 1x、0x围成的区域内，由几何概型的计算公式可知10()fxd的近似值为1N.答案：110.（2010北京高考理科8）已知函数 f( x)=In(1+ )-x+ 2k， ( 0)。() 当 =2 时，求曲线 y= f( x)在点(1 ， f(1)处的切线方程；() 求 f( x)的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。【思路点拨】 （1）求出 (1)f
10、，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由 k讨论 ()fx的正负，从而确定单调区间。【规范解答】 （I）当 2k时， 2()ln1)fxx，1()2fxx由于 (1)lnf，3f，所以曲线 ()yfx在点 (1,)f处的切线方程为3ln2即 l0xy（II ）1(1)()kxf ， (,)x.当 0k时， ()fx.所以，在区间 1,0上， ()0fx；在区间 (0,)上， ()0fx.故 ()fx的单调递增区间是 1,，单调递减区间是 ,.当 01k时，由()0kxf，得 1x， 20k所以，在区间 (,0)和1(,)k上， ()f；在区间1(,)上，()0fx故 ()fx的单调递增区间
11、是 (1,0)和 (,)k，单调递减区间是1(0,)k.当 1k时，2()xf故 ()fx的单调递增区间是 (1,).当 1k时， ()01kxf，得 1(,0)kx， 2x.所以在区间 (,)k和 (,)上， ()f；在区间1(,)k上，()0fx故 ()f得单调递增区间是1(,)k和 (0,)，单调递减区间是1(,0)k【方法技巧】（1） ()yfx过 0,()fx的切线方程为 00()()yfxfx。（2）求单调区间时要在定义域内讨论 内的正负。11.（2010安徽高考文科20）设函数 sinco1fxx，0x，求函数 fx的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数 ()fx求导，分析导数 ()fx的符号情况，从而确定 ()fx的单调区间和极值。【规范解答】 ()12()4xx解 ： 由 f(x)=sin-cox+1,00,所以“32()afxbxcd在（-，+）内无极值点”等价于“ 20f在（-，+ ）内恒成立” 。由（*）式得 295,4bac。又 ()4(1)解09()0a得 1,9a即 的取值范围 1,9【方法技巧】 （1）当 ()fx在 0的左侧为正，右侧为负时， 0x为极大
