1、第 1 页 共 12 页求数列通项公式的十种方法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列123n13na132n是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a23，所以数列 的通项公式为 。()22nna3()2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列1n132na是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列2na ()2n的通项公式。n二、利用 1(2)nSnna例 2若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意正整数nSTnanb， .求数列 的通项公式；(1
2、)a34nSn解： 22() 231adSnn2 分 当23435TSnn1,58nTb时当 4 分2, 6262.1nbTb时练习：1. 已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解: 10 Sn=an2+5an+6， 10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 10Sn1 =an1 2+5an1 +6(n2)， 由得 10 an=(an2 an1 2)+6(an an1 )，
3、即( an+an1 )(an an1 5)=0 an+an1 0 ， an an1 =5 (n2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a1=3 时， a3=13， a15=73 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a1， a3， a15不成等比数列 a13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三、累加法第 2 页 共 12 页例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12n1n123212()()()()
4、21()()1nnnaaaan 所以数列 的通项公式为 。na2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而12na12na求出 ，即得数列 的通项公式。1231()()()()nnaa n例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11nna， na解：由 得 则123na123nna123211211()()()()333()(3nnnn an 所以 1.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1231nna1231nna进而求出 ，即得数列 的122()()()()nna na通项公式。第 3 页 共 12 页四、累乘法例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式
5、。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5nn132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而1()nna 12()5nn求出 ，即得数列 的通项公式。13212naa n例 7 已知数列 满足 ，求 的通n11231()(2)n naa， na项公式。解：因为 1231()()n na所以 1231n na用式式得 1.nna则 1()2)nn故 1()na所以 13222 !(1)4.nanana 第 4 页 共
6、12 页由 ， ，则 ，又1231()(2)n naaa 212na取 得 1a知 ，则 ，代入得 。!345所以， 的通项公式为na!.2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1()2)nna1(2)na进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列1322naa n时 ，的通项公式。n五.构造等差或等比 或1nnapq1()nnapf例 8（2006 年福建卷）已知数列 满足*1,2().naN求数列 的通项公式；n解： *12(),aN1nn是以 为首项，2 为公比的等比数列。.n即 2*1().aN例 9已知数列 中， , ，求 。na11()2nnana解：在 两边乘以
7、 得：11()2n 1(2)1令 ，则 ,解之得：ab1nbnb所以 2n练习. 已知数列 满足 ，且 。an ）（ 2n1a2n81a4（1）求 ；321，（2）求数列 的通项公式。an解： （1） 3a152，第 5 页 共 12 页（2） n1nnn1n 2)a(2a2n 12)(an六、待定系数法例 10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11356nnaa， na解：设 1152()nnaxx将 代入式，得 ，等式两边消去123nn 13525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得a1525nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na15
8、2na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1235nna152()nnaa从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列5nan的通项公式。n例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana， na解：设 2 21()()()n nxyzxyz将 代入式，得21345nan，则22 2(1)()()n nxyzaxyz第 6 页 共 12 页2 22(3)(4)(5)n naxynxyzaxyz等式两边消去 ，得 ，n2 234(5)zn解方程组 ，则 ，代入式，得2452x
9、yz3108xyz2 213()0(1)(3)n nana由 及式，得218023108na则 ，故数列 为以213()0(1)2nan2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2183，则 。1302nna43108na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为2145nn，从而可知数列2 213()0(1)8(308)nana是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后23108na再求出数列 的通项公式。na七、对数变换法例 13 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取511237nn， 10nn， 5123nna常用对数得 l
10、gllg2a设 1l()5(l)n nxyaxy11第 7 页 共 12 页将式代入 式，得 ，两边消去11 5lgl3g2(1)5(lg)n naxnyaxy并整理，得 ，则5lgna()xy，故l3g25xylg34216y代入 式，得 11 1lg3lglg3lg2l()5()444164n naa 12由 及 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等l3l216nlg3l27416比数列，则 ，因此1ggl (l)44na 1111 16 6444411 6614444553l23l
11、g2lg(7)5lglgll(32)l(32)l7g(nnnn nn1641)l32nnn则 。11545647nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa第 8 页 共 12 页，从而可知数列1lg3lg2lg3lg2l()5()41644164n naa是等比数列，进而求出数列 的通项l3lg2164na公式，最后再求出数列 的通项公式。na八、迭代法例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nn()(2)1321)()12(3)2(1)132()!annnnnna 又 ，
12、所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nan评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nn 1lg3()2lgnna1l3()2nn由累乘法可推知 ，从132112ll !lgl5nna而 。1()3!25na九、数学归纳法例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 122()8139nnaa， na第 9 页 共 12 页解：由 及 ，得1228(1)3nna189a21223422()2458183()(3)9401a由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2(1)na（1）当 时， ，所以等式成立
13、。21()89（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()138()1()(1)()3()1()kkkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk第 10 页 共 12 页根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2()4nb故 ，代入 得11()nna1124)6nnnaa2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数311432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnnb()nb4()3na。2()343na评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na
