1、1北京邮电大学通信原理笔记第一章 绪 论1.1 信息、消息、信号信息是要表示和传送的对象（内容） ，例如：“2001 年 7 月 13 日北京申奥成功”即为一条信息。信息由消息表示，消息是表示信息的媒体，象语言、文字、图象、符号、声音等。同一条信息可以用不同的消息表示。例如前面用中文表示的申奥信息也可由英文、法文、俄文、德文、日文等其他文字表示，也可用不同语言等其他方式表示，这说明信息和消息有密切的关系，但它们并不等同。消息可分为连续消息和离散消息两大类。离散消息的可能取值是离散的、可数的，例如文字、符号等都是离散消息。连续消息的可能取值是连续的、不可数的，例如语音、音乐、活动图象等都是连续消
2、息。取两种值的离散消息称为二元消息或二进制消息（例如取1，0 或 1，1） ；取值数大于二的称为多元消息或多进制消息。信号是与消息对应的某种物理量，通常它是时间的函数，例如随着时间变化的电压（电流） ，随时间变化的电磁波等都是信号，这种信号统称为电信号。利用电信号传送信息的通信称为电通信，简称电信。随时间变化的光（激光）称为光信号，利用光信号传输信息的系统称为光通信系统。信号常常由消息变换而来。传输离散消息的通信系统通常称为数字通信系统；传输连续消息的通信系统称为模拟通信系统。由于数字通信系统具有模拟系统不具有的许多优点，所以得到了迅速的发展和应用。数字通信的特点可归纳为：1 抗干扰能力强，可
3、消除噪声积累；可消除噪声积累；2 差错可控，传输性能好；3 便于与各种数字终端接口，用现代计算技术对信号进行处理、加工、变换、存储，形成智能网；4 便于集成化，从而使通信设备微型化；5 便于加密处理，且保密强度高。事物总是一分为二的，一般来说，数字通信的许多优点都是用比模拟通信占据更宽的系统频带为代价而换取的。以电话为例，一路模拟电话通常只占据 4KHz 宽带，但一路接近同样话音质量的数字电话可能要占据 2060KHz 的宽带，因此数字通信的频带利用率不高。数字通信的另一个缺点是对同步要求高，系统设备比较复杂。1.2 模拟通信系统与数字能信系统图 11 模拟通信统模型2图 12 数字通信统模型
4、1.3 离散消息的信息量离散消息的各种可能取值称作其元素，简称元，在通信技术中常称其为符号或码元。由消息的元素组成的集合称为消息集，例如：由 26 个英文字母 abcd.xyz 组成的集合就是一个 26 元的（或 26 进制的）消息集。信息通常由消息集的元素构成的序列表示，例如由 26 个英文字母组成的词或句子就是这种表示信息的序列。序列中每一个元素所表示的平均信息量与消息集的进制和各元素在序列中的出现概率有关。设由 M 个符号 x1,x2,x3xixM构成的 M 元消息集的无素 xi 在序列中出现的概率为：p(x i)i=1、2、.M，且各符号在序列中出现相互独立，则每一个符号平均信息量等于
5、： i ii btpxH12 )21( / )(log)(符 号由于 H 同热力学中的熵形式一样，故通常又称它为消息集的符号熵，单位为 bit/符号。可以证明，当消息集的各个元素（符号）在消息序列中等概独立出现时，其符号熵最大，等于：bit/符号 （13）MMi 221logl当二元消息集的元素在消息中等概率独立出现时，其符号熵最大，等于：H2=1 bit/符号这个信息量就定为离散消息信息量的单位，称为 bit。例如：某消息集的符号熵等于 3 bit/符号，则其每一个符号所表示的平均信息量为 3 bit，换句话说，如果用二进制符号表示此消息集的符号，则平均须用 3 个二进制符号。1.4 通信系
6、统的主要性能指标通信系统的最主要的性能指标是其有效性和可靠性。有效性是指在给定信道内传输的信息量的多少，可靠性是指接收信息的准确程度。这两者是相互有联系又有矛盾的，且可以互换。模拟通信系统的有效性通常用单位带宽内传送的电话路数或电视路数表示，而可靠性是用接受端的输出信噪比来度量。数字通信系统的有效性的主要性能指标是传输速率、频带利用率。可靠性主要是差错率。1传输速率1）码元传输速率（R g）码元传输速率简称传码率，也称码元速率或符号速率。它被定义为单位时间（s 1）内传输码元的数目，单位为波特，记为 Baud 或 B。码元速率与所传的码元进制无关，即码元可以是多进制的也可以是二进制的。通常一个
7、 M 进制的码元可以用 log2M 个二进制码元表3示。码元速率双叫做调制速率。它表示信号调制过程中，1 秒中内调制信号波形的变换次数。如果一个单位调制信号波形的时间长度为 T 秒，则调制速率为（14）BTR2）信息传输速率（R b）信息传输速率简称传信率，又称信息速率。它被定义为单位时间（s 1）内传递的信息量（bit 数） ，单位是比特/秒，也记为 bit/s 或 bps。2频带利用率频带利用率可以有两种表示方法，一种是单位带宽中的传码率，即：B/,Hz (15)fRB或单位带宽内的传信率，即：bit/s，Hz (16)fb其中：f 为系统带宽。严格讲，第二种表示方法更为确切地反映了系统的
8、频带利用率。3可靠性指标数字通信系统的可靠性指标是差错率，常用误码率和误信率表示。误码率（也称误符号率）为接收码元错误的概率，可表示为：（17）传 输 总 码 元 数错 误 码 元 数eP误信率（也称误比特率）是信息比特错误的概率，可表示为：（18）传 输 总 比 特 数错 误 比 特 数b显然，对于二进制有：Pb=Pe对于多进制，我们以八进制为例说明：八进制符号 x0,x1,x7 与二进制符号 1，0 的编码关系如图所示：X0000X1001X2010X3011X4100X5101X6110X7111假设传送了 1000 个八进制符号，接受端错判了 10 个符号，则误码率约为 1%。传送的
9、1000 个八进制符号等价于 3000 个二进制符号，错误的 10 个八进制符号引起的二进制符号的错误数目小于 30。因为由上图可见，由 X0 错到 X1 或 X2 或 X4 只引起一个二进制符4号的错误，由 X0 错到 X3 或 X5 或 X6 引起两个二进制符号的错误，而由 X0 错到 X7 才引起三个二进制符号的错误。由此可见，对于多进制通信系统，误信率（误比特率）小于误码率。第二章 随机过程2.1 随机过程的基本概念2.1.1 定义随机过程是随时间变化的随机变量，它的实现（样本函数）是时间函数。无穷多个样本函数（实现）的集合构成一个随机过程。我们用大写字母 X（t）,Y（t）,Z（t）
10、,等表示随机过程；用小写字母 x(t),y(t),z(t)等表示对应的随机过程的实现（样本函数） 。在确定的时刻 t1，随机过程 X(t1),是一个随机变量在时刻 t1,t2,X(t1),X(t2)构成一个二维的随机向量；在时刻 t1,t2,t3,tn,X(t1),X(t2),X(t3),X(tn)，构成一个 n 维的随机向量。2.1.2 分布函数和概率密度随机过程 X(t)在任意一个时刻 t1 的取值是随机变量 X(t1)，则随机变量 X(t1)小于或等于某一数值 x1 的概率：（21）)(),(11xtXptF称作随机过程 X(t)饿一维分布函数。如果存在（22）),(,11tfxt则称
11、f1(x1,t1)为 X(t)的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，通常还需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。X(t)的 n 维分布函数被定义为).,;,.(2121nnntxF)(.,() nxtXtXP（23）如果存在 ).,;,.(.).,;,(“ 21212121 nnnnn txfxtF（24）则称其为 X(t)的 n 维概率密度函数。显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。2.1.3 随机过程的数字特征在实际工作中，有时不需要了解随机过程的分布函数和概
12、率密度，只需知道随机过程的某些数字特征，如均值、方差及相关函数等即可满足需要。下面介绍几种主要的数字特征：（1）均值（数学期望或统计平均）：（25）dxtftXE),()(15并记为 EX（ t） =a(t)。均值表示随机过程的摆动中心。（2）方差： 222)()()()( tatXEtaXEtD（26）212,tdxtfDX（ t） 常记为 2（t） 。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在某时刻对于其均值的偏离程度。当均值 a(t)=0 时，方差为 2（t）=EX（t） 2 （27）均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻统计特性的重要数字特征，为了描述随机过程在两个不同时刻
13、状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。（3）相关函数：在衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用自协方差函数 B（t 1，t 2）和自相关函数 R（t 1，t 2）来表示。其定义分别为：（28）)()(, 21taXatE（29）)(221tRX（ t） 与 Y(t)的互相关函数定义为：（210）)(),(2121tYY2.2 平稳随机过程2.2.1 狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程，又称严平稳妥过程。其 n 维分布函数和 n 维概率密度与时间起点无关。平隐随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。例如，其一维概率密度与时间无关（211）)(,(11xft
14、f而二维概率密度函数只与时间间隔有关其中：);,(),;(21212 ftxf 12t（212）2.2.2 广义平稳随机过程广义平衡随机过程，又称宽平稳随机过程。其定义为：若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而相关函数仅与时间间隔 有关，即（213）)(,()12Rtat则称其为广义平稳随机过程。在通信系统中所遇到的信号及噪声的大多数均可视为广义平稳随机过程。后面的分析中如果不加特殊说明，平稳随机过程均指广义平稳随机过程。可以证明，狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程；广义平稳随机过程不一定是狭义平稳随机过程。62.2.3 广义平稳随机过程的性质1 各态历经性（遍历性）设 x（t）是平稳随
15、机过程 X（t）的任意一个实现（样函数） ，若 X（t）的数字特征（统计平均）可由 X（t）的时间平均代替，即（214）dtxtTRtatdxTa22222)(1lim)()li(li 则称平稳过程 X(t)具有各态历经性，简称遍历性。注意，只有平稳随机过程才具有遍历性，在能信系统中所遇到的随机信号和器声，一般均能满足遍历条件。2自相关函数的性质设 X(t)为平稳随机过程，则其自相关函数具有如下性质：(1)R(0)=EX2(t)=S (X(t)的平均功率 ) （215）(2)R（）= （） （R()是偶函数） （216）(3)R()R(0) （R()的上界） （217）(4)R()=E 2X(
16、t) （X(t)的直流功率） （218）(5)R(0)R()= 2 （方差，X(t)的交流功率）（219）3功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度表示其单位带宽中平均功率在不同频率上的分布情况。可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 Px()与其自相关函数 Rx() 是一对傅立叶变换，即2)-( )(21)0(, 1 21)( 20- )(dPRdepXXxjXx有时当由前可知， 是随机过程的总平均功率 S。由此可以看出 PX（）的tE物理含义，即单位带宽中的平均功率。关系式（220）和（221）在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。2.2.4
17、白噪声1定义：白噪声是带宽非常大的噪声的数学模型。其定义为：均值为 0 的平稳随机过程，其功率谱密度在整个频段为一常数。通常用 n(t)表示白噪声，其功率谱密度为：（223） - 2)(0nP7相据关系式（221）可以得到白噪声的自相关函数为：（224）)()(onR2白噪声的某些特性令： 非 随 机为 确 定 函 数其 中 t dtnT:,)(0可以证明， 是高斯随机变量，其均值（数学期望）及方差可由以下方法求得：令 的数学期望为 a 则：2D25)-( :, 1)()(2)()()(): 0)( )(00 211210 211210 21121022101220TntdtdtttntttE
18、dttntttdtEEaDdttntEaoToTTTTT有时当 的 方 差 为(226)2.3 高斯随机过程1定义任意 n 维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。2重要性质（1）若高斯过程是广义平衡的，则也是狭义平稳的；（2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；（3）若干个高斯过程之和的过程仍是高期型；8（4）高斯过程经过线性过线变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。3一维概率密度和分布函数1）概率密度函数高斯过程在给定任一时刻上，则是一高期随机变量，其概率密度函数可表示为 22)(1)(axePxf式中，a 及 2 为两个常量。当 a=0,=1 时，称 f(x)为
19、标准正态概率密度函数。2）正态分布函数正态分布函数是正态概率密度函数的积分，即： x dzaePFxXP22)(1)( 通常高斯分布概率积分函数，简称概率积分表示，其定义为： xdze221)(这个积分只能利用数值法计算，一般数学手册中有它的数值表，可以查阅。正态分布函数可以由概率积分函数表示： axFxXP)(可以证明： xzdeerfxerfc2)(1)(: ;221;)(其 中称作互补误差函数； zdexerfx02)(称作误差函数。第二章 确定信号分析2.1 引言通信系统中利用信号表示信息和传关信息.一般信号是时间的函数.确定信号是指可以用确定的时间函数表示的信号.实际载荷信息的各种信
20、号是许多信号的集合体，并具有一定的统计规律性.这种信号称作随机信号，将在第三章研究.本章研究的确定信号可以是随机信号的样函数（实现）或是载波信号的数学模型.2.2 确定信号的分类9分类方法很多，例如，分为周期信号和非周期信号，能量信号与功率信号，模拟信号与数字信号，基带信号与频带信号等，本章主要用第一和第二种分类法.2.2.1 周期信号定义：若 对于任何 t 值成立，其中 T 为任一常数，则称 f(t)为周期信)()Ttf号，T 为其周期.性质：1）若 T 是 f(t)的周期，则 nT 也是 f(t)的周期.其中 n 为任意整.即：)()ntf2） T/a的 周 期 等 于as3） TTcdt
21、xftf00: )()( 为 任 意 常 数其 中4）同周期信号的和、差、积也是周期信号，且具有同一周期.例如：e ix=cosx+于 sinx 的周期为 22.2.2 能量信号与功率信号 ., .,:,. ,.)(,)( :),()(,212因 此 不 是 能 量 信 号无 限 大 周 期 信 号 的 能 量因 而 是 能 量 信 号等例 如限 的非 限 时 信 号 也 有 能 量 有号 为 能 量 信限一 般 限 时 信 号 的 能 量 有为 能 量 信 号则 称若 在 电 阻 上 消 耗 的 能 量 为则 电 流压表 示 一 欧 姆 电 阻 上 的 电若 etfEdtfE AtfiVtf
22、f .)(,0)(1lim)(2 为 功 率 信 号则 称但的 平 均 功 率若 tfdtfTttf 不艰看出周期信号是功率信号.非周期不限时信号也可能是功率信号，例如，随机噪声的样函数（实现）等.2.3 周期信号的三角付立叶级数（谐波分析）令 f(t)为周期信号，周期为 T,且满足狄里赫利条件*（一般实际信号均满足） ，则 f(t)可展开为以下级数： Tctn tntdtfbatf)(1: (2.31) sios)(o 000式 中 tdntfTbttfancCnc00si)(2其中：c 为常数，其值可任选。通常选 c= 2T10则有： 202020 sin)( cos)( )(1 TTnT
23、n tdtfbtdtfadtfa *狄里赫利条件为：在一个周期内 f(t)只有有限个一类不连续点，且可将 T 分为有限个区间，在每一个区间内 f(t)为单调断数.令： 0,);cos(sincos 0000 actntbta nn则有： 002.3 )c()(nnttf 由式（2.3.2）可见，周期信号展开为许多不同幅度、频率和相位的正弦信号之和。这些信号称作 f(t)的谐波。其中：c 0 为直流分量，c 1cos( 0t+ )称为 f(t)的一次谐波（又称基波， ）c ncos(n 0t+ )称作 f(t)的 n 次谐波。C n 与 的关系称作 f(t)的幅度频率特性，简称幅-频特性，它表示
24、不同谐波幅度大小与频率的关系。 n 与 的关系称作 f(t) 的相位-频率特性，简称相-频特性，它表示不同谐波相位与频率的关系。不难看出 cn n 仅在 =n 0 处有值（n=1 ， 2， 3， ）因此，C n n 与 的关系是离散的，因此称作离散频谱。（也称线频谱） 。谱线间隔为 ，T 愈大， 0 愈小，即谱线愈密。02.4.周期信号的指数付立叶级数利用欧拉公式 ).(exjxj 142 )(21cos可以将三角付立叶级数化为指数信立叶级数。后者分析和计算比较方便，因此应用广泛。据式（2.4.1）有： ). (ecectnc jnndjnn 2422os0 令： nnjnjnFeF : , 且则 f（ t） 可表示为： 2 2.4 )(1: .3 )( TdjnnndjntetfFt-其 中一般情况，F n， F-n 是复数，若 f(t)是实函数，则 Fn 和 F-n 一对共轭复数，即：Fn=F*n见式(2.4.2)此时有： |Fn|=|F-n|= nnc;2|Fn|与 的关系称作 f(t)的幅度-频率特性，简称幅度频谱，它表示 f(t) 的各谐波分量的幅
