1、高中数学研究性学习案例分析 研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，倍受各方关注。本市2006 年的春 季、秋季高考都尝试把研究型的数学试题引进了试卷，取得了良好效果。然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑 战 ,是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项。进才中学张雪明结合自身教学实践，提出一些学习案例，期望能给读者一些参考。 背景与问题 在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中 ,发现呈现如图所示的现象： (1)猜想交汇点性质 ; (2)结合猜想 ,根据物理学原理，对上述现象提出假
2、说 ; (3)将假说数学化 ; (4)对假说的真假加以证明 ; (5)自我评价以下探索过程 . 现与探索 (1)焦点 ; (2)假说：根据物体平衡的重心性质判断，当细棒长度不小于抛物线通径时，当且仅当细棒过抛物线焦点时它的中点到桌面距离最小；反之，当且仅当细棒平行于桌面时它的中点离桌面距离 最小。 (3)数学化 :已知抛物线方程是 x2=2py,焦点是 F，现有长度为定值 a 的抛物线的弦 AB， AB中点为 M。则当 |AB|2p 时，只要 AB 过 F， M到 x轴的距离最小；而当 |AB|2p 时，只要 AB与 x 轴平行， M 到 x 轴的距离最小。 (4)证明： 方法一：如图，记 A
3、、 B、 M在准线上的射影分别是 A1、 B1、 M1，因为总有|FA|+|FB|AB| ，所以 2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|AB|=a ， 即当 AB 过焦点时 M到准线距离取得最小值 ,为 |AB|的一半 ,此时 M到 x 轴距离最小。不过这个方法只证明了 AB 长不小于 2p时的情形。 方法二：令 AB 所在的直线方程是： y=kx+b,代入 x2=2py 得 x2-2pkx-2pb=0， 如令 A(x1,y1)、 B(x2,y2)则有 x1+x2=2pk,x1x2=-2pb。 所以由弦长公式可得： a2=|AB|2=(1+k2)(2pk)2+8pb， 上为增
4、函数可知 k=0 时 y1+y2 最小 (因而 M到 x轴距离最小 )，此时 AB 平行x轴； 方法三： “ 物理 ” 方法。 如图， 对于后一条件易证明弦恰过 焦点，对于前一条件，当然是指弦与 x轴平行了。 综上所述，当弦长不小于通径时，它过焦点时重心最低；当弦长小于通径时，它平行于 x 轴 (这样的弦因为太 “短 “，不能够过焦点 )时重心最低。从而根据物理学原理证明了原数学问题。 (5)上述探索的过程表明： “ 数理相通，数学与物理是人们从不同角度认识世界的两种表面迥异但内涵相同的东西。总之它们可以互相证明、变通。如本题，一旦理解了它的物理含义，则它其中隐含的东西就昭然若揭，思路明晰了。
5、 ” (此稿由新民晚报 东方网大力神超级高考讲座提供 ) 进才中学 张雪明 高中数学新课程理念的教学实践 对两节数学优质课的案例分析 1.案例背景 广 东省高中数学课程改革已历时五年，其改革理念中有许多亮点，如教学理念倡导以学生为主体，教师为主导；如关于学习方式，倡导自主探索、动手实践、合作交 流、阅读自学等学习数学的方式，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。但在实践中，具体实施情况与原来构想确有相当大的差距，传 统的讲授式教学依然占据统治地位，其根源在于新课程理念与高考升学压力以及传统的教学方式存在巨大而现实的矛 盾。从知识的传输效率来看，完全的接受式在单 位时间知识
6、的传输效率明显高于自主探究式，但从学习的效益尤其是能力培养方面，新课程理念倡导的方式又具有明显优势。怎样解决理念与实践的矛盾呢，并使之 成 为教学常态呢？下面先看看两个教学案例的片段： 2.两个案例 案例 1. 在高一数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角中，教师引导学生复习了平面向量的数量积、向量的模、向量的夹角等概念后，强调了数量积定义的几何特征 . 教师进而指出两个向量的和、差以及数乘可以 通过坐标进行运算 ,既方便又简洁 .以前研究了平面向量数量积的几何表示形式，那么对于向量的数量积还有哪些需进一步研究的问题呢？ 生甲：向量可以用坐标表示，那么，能否用坐标表示数量积 ？ 生乙：如果能够
7、，怎样用 、 的坐标表示 ？ 此时，教师板书本节课课题 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，并作了进一步的铺垫，设 ，即 ，然后，由两名学生在黑板上板演，其他学生在演算本上同步演算，大约 6 分钟后得到结论 = .在此基础上，学生通过进一步演算得到了模及夹角的坐标表示式 . 案例 2.高 二数学正弦定理中，教师引导学生复习了 直角三角形中三角函数的定义，在 中，有，注意到,即可 整理出 .指出这是一个涉及三角形边、角关系的十分优美、和谐的关系式 . 师：该式是在直角三角形情景推出的，下一步我们需研究什么问题？ 生： 上述结论在任意三角形中是否成立？ 师：大家可以尝试一下！ (并让一名学生在黑板
8、上探索解决 ). 5分钟后，二十多个学生得到了结论，包括在黑板上板演的学生 . 但所画的三角形几乎都是锐角三角形 .有少数学生画的三角形的顶角为钝角，遇到了一些麻烦，师生共同探讨，完善了证明，指出证明正弦定理时分类讨论的必要性以及怎样分类讨论 . 师：结论 对于任意三角形均成立， 退到直角三角形中，易于发现,而 ,请问，你有何发现？ 生： ， 也就是说，当若干个三角形内接于同一半径的圆时， 这个比值为定值，即该圆的直径 。 上述两个案例的课堂教学结构基本上呈现为： 设置情景、提出问题 探究解决、形成结论 适度拓展、发展能力 变式练习、反思矫正 归纳小结、纳入系统等五个环节，教学中，教师把学生思
9、维活动的着力点放在提出问题、探究解决两个环节，并且力争让学生 独立地提出核心问题或在教师的引导下提出核心问题，然后让学生能够独立地解决该问题或在教师的指导下解决该问题，如案例 1 中用坐标表示平面向量的数量积的提出以及解决完全由学生来完成，案例 2中一般三角形的正弦定理由学生提出，而完善的证明则是在教师的指导下，由学生完成的，其它环节主要是以教师的讲解为主，师生互动为辅 . 3.案 例分析 3.1 较好地体现了通过“ 自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”的 新课程理念 这两个案例中，教师将核心问题提出以及解决由学生独立完成，或在教师的引导下提出核心问题，并且在教师的指导下由学生解决该
10、问题，提高了学生提出问题与解决问题的意识以及提出问题、分析问题与解决问题的能力，使学生知识和能力均有较大发展，较好地体现了新课程理念。 3.2 充分体现了 “以学生为主体，教师为主导”的教学理念 由于高中数学有相当多的教学内容具有较强的抽象性、又具有一定的运算能力要求，如果只用自主探究的方式组织教学，必然在教学效果、效率以及在有限时间内促进学生最大发展等方面大打折扣；但若完全采用讲授式教学，又不利于学生自主性的发挥 .这就要求教师能够将两者有机结合，既能体现学生的主体地位，又能体现教师的主导作用 .这两个案例将本节课的核心问题由学生提出并加以解决，其它内容则采用启发式、讲授式完成，符合 “以学
11、生为主体，教师为主导”的教学理念 . 3.3 能够使新课程理念的实施成为教学常态 课堂教学必然要注重教学效率与效益，显 然，两个案例很好地解决了这个问题 .传统的讲授式教学之所以难以割舍，不仅仅因为教师易于操控教学进程，更主要的原因是单位时间内传输的信息量大；新课程倡导的教法和学法难以全面实施，不是教师的意识或能力问题，而是传输知识的效率不高，虽然对培养学生的能力等效益很好 .因此，这两节课较好地解决了新课程理念与现实教学的矛盾，因而能成为教学的常态，使学生每节课都能有机会体验提出问题、分析问题、解决问题的这一重要思维历程 .新课程实施以来，有的地区说研究性学习一学期一次，仅在公开课、观摩课时
12、作为点缀，这使新课程理念的实施大打折扣 。 3.4 有效地解决了继承与发展的关系 毋 庸讳言，新课程倡导的教学方法和学习方法与国内教学实际有相当大的差距，因而带来教师教学上的困惑、迷茫和无所适从，其根源在于没有处理好新方法与有效的 传统方法的关系，两种教学方式反差过大，也就是说，没有处理好教学方法的发展与继承的关系问题。上述两个案例都能够从学生知识储备和能力实际出发，从问题 的提出、问题的探究解决贯穿着启发式教学，在单位教学时间里有效解决了问题，课堂中始终洋溢着学生积极主动的探索精神和积极思考的学习形态，是一种有益 的、有意义的尝试与教学实 践。 新 课程理念实施过程遇到的诸多困难和挫折，正反
13、映出新课程理念与教学现实的巨大矛盾，抱怨于事无补，而是要有效解决这一矛盾。这就要求教师积极进行教育教学 研究，有研究的实践与体验，能够在教学实践中提出问题，能够找到问题的关键，能够揭示问题的本质，能够带领学生突破问题的难点，从而寻找到有价值的方法与 思路 .教学方法的选择要考虑到教学内容的难度，也要考虑到学生学习能力、知识储备的客观实际，在此基础上，选择的具体教学方式应以最大限度发挥学生主体性为准则，也就是说，选择教学方法时定位要准确 .完全的教授式教学方式不 能笼统的斥为失去学生主体性，完全的主体性也不能使各个层次的学生获得最大而有效发展，将两者生硬地割裂是不客观的 . （邮编： 52312
14、9 联系电话： 13686104629） 浅谈高中数学案例分析与研究性学习的方法 数学研究性学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲身去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。 从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。 一 研究性学习课题的大概类型： 1.知识探究型。即对基础知识的研究，这是学生研究课题中的最低层次。 2.社会调查型。通过对社会
15、的研究调查，提出研究性学习的课题。 3.创造发明型。在学生研究性学习课程中，最高的研究层次应是创新发明。通过自已 的努力，以科技创造为目标，进行认真的科技发明尝试，并能取得成果。 4.学术研究型。在研究性学习中，经过研究探索写出学术论文，这个层次较高。 二、高中数学的研究性课题选择举例 1.社会生活实践方面 （ 1）现在到银行存钱是我们生活中最平常不过的事情，但从中可得出一个研究性课题。 “ 银行存款利息和利税的调查。探讨在银行存款方式的选择中的数学原理： 1）各种银行存款的利息 2）存款的本金和的计算 （ 2）比较各种情况下的存款和利息与利税的关系，确定方案。使在5 年内的收益最大。 （ 3
16、） 2.热门问题 （ 1）足球运动员在射门时，面对对方守门员，射门时的角度、球速与守门员扑球时的移动速度有何关系，能将球射入球门？足球运动员在何处射门最好 (不考虑其它因素 )？ （ 3） 现在人们的投资方式有很多，比如购买了人寿保险或银行投资。请你用所学的数学等知识说明对于不同单位的人、不同年龄的人，如何合理的购买能使受保人得到最 大的保障；根据你的研究，你可以向保险公司提供什么的建议？某人在 40 岁时参加保险，或将应交保额逐年存入银行，假设此人预期寿命为 75 岁，请你对这两种 投资方式进行比较，确定此人是投保收益大，还是存银行收益大。 3.其它问题。如最优化问题： 无盖盒子的最大容积问
17、题 ，用一张边长为 a 的正方形铁皮，如何制作一个无盖长方体盒子 ,使其容积最大 ? 三、高中数学研究性课题中教师主导作用 教师根据学生探究情况，作适当的点拔，主要是方法上的引导： 如何进行分类讨论，分类有哪些原则？ 研究函数的性质可按哪些步骤进行？各种性质之间有哪些内在联系？ 如何作一个函数的图象？如何制作电脑动画？ （ 1）类比应用 在交流、总结之后，教师给出给出相同类型的的 问题，让学生运用自己的研究成果去独立解决，学生在自主地完成任务之后产生的喜悦之情是不言而喻的，从而更加增强了研究性学习的信心。 （ 2） 深化总结 师生交流后，及时引导学生总结、反思。让学生讲一讲研究学习过程中思维受
18、阻情况，讲一讲交流后的感受、启示。本课题重在引导学生学习研究问题的 一般操作程序，掌握常用的思维方法：从特殊到一般的归纳推理，由此及彼的类比推理等等。通过研究过程的反思总结，学生逐渐积累起研究的经验，掌握研究的方 法，从而真正学会研究。 （ 3）推广延伸 在完成上述课题后，教师引导学生思考能否作 进一步的推广和再探究。让有一定能力的同学继续探究，使学生体会到，知识是无限的，学习和探索的过程也是永无止境的。 立足课堂，让学生以研究者的身份参与研究学习，增强了学生的主体意识。由于学生亲身参与探索，经过自主的思维活动而获得了知识印象特别深刻。 四、高中数学研究性课题中让电脑成为研究性学习的帮手。 随
19、 着教育现代化的推进，电脑和数学软件正在象 “ 黑板、粉笔 ”一样走进寻常数学教学之中，它为研究性学习的开展开辟了更加广阔的渠道。运用电脑技术，可以把文 字、声音、图形、动画、色彩与闪烁结合起来，在探索问题、培 养学生创新能力方面，有着独到的作用。如利用几何画板研究函数 y=asin(x+) 的图象 及性质，学生可以亲身感悟到图象的形成过程及变化规律，这是传统教学手段永远无法做到的。 学生通过实验、观察、猜想、证明、检验，亲身经历了知识每一发生形成过程，真正进入了一个研究者的角色。 数学教育不仅关注学习结果，更关注结果是如何发 生、发展的。学生通过对一主题的探究构建起教师希望学生掌握的知识。因
20、此高中数学不少教学内容适合于开展研究性学习。教师应当鼓励学生按自己的认知方式主 动建构，我们相信不同的学生建构起的知识是 不一样的，因此研究性学习要非常注重学生之间的交流、评价和反馈，通过资源共享，检查、落实教学目标 高中数学教学中 “余弦定理 ”教学案例分析 创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的 “最近发展区 ”。 “余弦定理 ”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。 一设计思路 建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边 的衣食住行，大到宇宙、星
21、体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题 一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出 发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识 经验作为新知识的生长点，引导学生从 原有的知识经验中 “ 生长 ” 出新的知识经验。 二、教学过程 1、设置情境 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为 60
22、 ，油泵顶点 B与车箱支点 A之间的距离为 1.95m，AB与水平线之间的夹角为 620 ， AC 的长为 1.40m，计算 BC的长（保留三个有效数字）。 2、提出问题 师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模） 能，在三角形 ABC，已知 AB 1.95m,AC 1.40m， B AC 60 620 6620 ，求 BC 的长。 师：能用正弦定理求解吗？为什么？ 不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。 师：这个问题的实质是什么？ 在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知A
23、C b， BC a，角 C，求 AB。 3、解决问题 师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化） 可以先在直角三角形中试探一下。 直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角 C为直角）斜三角形 ABC 中（如图3），过 A作 BC 边上的高 AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造） 师：垂足 D 一定在边 BC 上吗？ 不一定，当角 C为钝角时，点 D在 BC 的延长线上。 （分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题） 在锐角三角形 ABC 中，过 A作 AD 垂直 BC 交 BC 于 D，在直角三角形 AD
24、B 中， AB 2 AD 2 BD 2 ，在直角三角形 ADC 中， AD ACsinC, CD ACcosC 即 AD bsinC, CD bcosC 又 BD BC-CD,即 BD a-bcosC c 2 =(bsinC) 2 +(a -bcosC) 2 =b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2 -2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 在钝角三角形 ABC 中，不妨设角 C 为钝角，过 A 作 AD 垂直 BC 交 BC 的延长线于D， 在直角三角形 ADB 中
25、， AB 2 AD 2 BD 2 ，在直角三角形 ADC 中， AD ACsin（ -C） ,CD ACcos（ -C），即 AD bsinC, CD -bcos C，又 BD BC CD,即 BD a-bcosC c 2 =(bsinC) 2 +(a -bcosC) 2 =b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2 -2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 同理可证 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 师：大家回想
26、一下，在证明过程易出错的地方是什么？ 4、反思应用 师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？ 知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上） 解：由余弦定理，得 BC 2 AB 2 AC 2 -2AB.ACcosA 1.952 1.402-21.951.40cos6620 3.571 BC1.89
27、(m) 答：顶杆 BC 约长 1.89m。 师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？ 不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。 师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？ 已知三角形的两边与一边的对角或两角与一 角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。 三、教学反思 本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学 生成为余弦定理的 “ 发现者 ” 和 “ 创造者 ” ，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力
28、目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的 “ 定理教学 ” 提供了一些有 用的借鉴。 高中数学问题教学法教学案例分析 -直线的斜率 一、案例背景 高中数学课程标准指出 “ 学生的数学学习活动 不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手 实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的 “ 再创造 ” 过程。 ” ， “ 高中数学课程应 该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学 概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，
