1、习题解答 习 题 1.1 1 试判断下列试验是否为随机试验： （ 1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动； （ 2）在 5 个同样的球（标号 1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号； （ 3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果 解 （ 1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果 （ 2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有 5 个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球 （ 3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用 x 表示，则有( , )x m m ，其中 m 为小包白糖的重量， 为称量结果的误差限 易见每次称量
2、会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生 2写出下列试验的样本空间 （ 1）将一枚硬币连掷三次； （ 2）观察在时间 0 ， t 内进入某一商店的顾客人数； （ 3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过 2 为止 ； （ 4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标 解 （ 1） =（正正正），（正正反），（正 反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反） ； （ 2） =0， 1， 2， 3， ； （ 3） =（ 3,4） ,（ 5,6） ,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)
3、,(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6). （ 4）在单位圆内任取一点，这一点 的坐标设为（ x， y） ,则 x， y 应满足条件 221.xy故此试验的样本空间为 22( , ) | 1.x y x y 3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 A =“两次掷出的点数相同” ， B =“点数之和为 10” ， C =“最小点数为 4” 试分别指出事件 A 、 B 、 C 以及 AB 、ABC 、 AC 、 CA 、 BC 各自含有的样本点 解 A =(1,1) ， (2,2) ， (3,3) ， (4,4) ， (5,5
4、) ， (6,6) ; B =(4,6) ， (5,5) ， (6,4); C =(4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (5,4) ， (6,4); ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , 5 ) , (6 , 6 ) , ( 4 , 6 ) , (6 , 4 ) AB ; ABC AC =(1,1)， (2,2)， (3,3)， (5,5)， (6,6); CA =(4,5)， (4,6)， (5,4)， (6,4); (5,5).BC 4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是 0 次， 1 次， 2 次，
5、 记事件 kA （ k = 1 ， 2 ，）表示“接到的呼唤次数小于 k” ，试用 kA 间的运算表示下列事件： （ 1） 呼唤次数大于 2 ； （ 2） 呼唤次数在 5 到 10 次范围内； （ 3） 呼唤次数与 8 的偏差大于 2 解 (1) 3A ； (2) 11 5AA ； (3) 6 11AA. 5试用事件 A 、 B 、 C 及其运算关系式表示下列事件： （ 1） A 发生而 B 不发生； （ 2） A 不发生但 B 、 C 至少有一个发生； （ 3） A 、 B 、 C 中只有一个发生； （ 4） A 、 B 、 C 中至多有一个发生； （ 5） A 、 B 、 C 中至少有两个
6、发生； （ 6） A 、 B 、 C 不同时发生 解 (1) AB ； (2) ()AB C ； (3) A B C A B C A BC； (4) AB A C BC； (5) AB BC AC； (6) ABC 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件 A 表示被选学生是女生，事件 B 表示该生是大学二年级学生，事件 C 表示该生是运动员 （）叙述 ABC 的意义 （ 2）在什么条件下 ABC C 成立？ （ 3）在什么条件下 AB 成立？ 解 （ 1）该生是二年级女生，但非运动员 （ 2）全学院运动员都是二年级女生 （ 3）全系男生都在二年级 7化简下列各事件： （ 1） ()A B
7、 A ； （ 2） ()A B B ； （ 3） ()A BA ； （ 4） ()A BB （ 5） ( ) ( ) ( )A B A B A A . 解 (1) A B A A； (2) A B B A B ； (3) A B A A B ； (4) A B B ； (5) A B A B A B A A B A B. 习题 1.2 1已知事件 A 、 B 、 AB的概率分别为 0.4， 0.3， 0.6求 ()PAB 解 由公式 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B 及题设条件得 ( ) 0 .4 0 .3 0 .6 0 .1P A B 又 ( ) ( )
8、( ) ( ) 0 . 4 0 . 1 0 . 3P A B P A B P A P A B 2设 1( ) ( ) ( ) 4P A P B P C ， ( ) 0P AB ， 1( ) ( ) 16P A C P B C， 求（ 1） A 、B 、 C 中至少有一个发生的概率；（ 2） A 、 B 、 C 都不发生的概率 。 解 （ 1） 由已知 ( ) 0P AB ，且有 ABC AB ，所以由概率的单调性知 ( ) 0P ABC 再由概率的加法公式，得 A 、 B 、 C 中至少有 一个发生的 概率 为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )32 = 0 .6 2
9、 54 1 6P A B C P A P B P C P A BP A C P B C P A B C （ 2）因为“ A 、 B 、 C 都不发生 ”的对立事件为“ A 、 B 、 C 中至少有一个发生 ”，所以得 P（ A 、 B 、 C 都不发生 ） =1-0.625=0.375。 3设 ()P A p ， ()PB q ， ()P A B r ，求 ()PAB ) ， ()PAB ， ()PAB ) 解 . 由 P A B P A P B P A B 得 P A B P A P B P A B p q r 则 P AB P A P AB p p q r r q P AB P B P A
10、B q p q r r p 11P A B P A B P A B r 4设 A 、 B 、 C 是三个随机事件，且有 CABA ， ， ( ) 0.9PA ， ()PB C = 0.8 ，求 ()P A BC 解 因 1P B C P B C P B C 则 1 1 0.8 0.2P BC P B C 又由 ,A B A C知 A BC ，于是 0 . 9 0 . 2 0 . 7P A B C P A P B C 5某城市共有 A 、 B 、 C三种报纸发行 . 已知该市某一年龄段的市民中，有 45%的人喜欢阅读 A 报， 34%的人喜欢阅读 B 报， 20%的人喜欢阅读 C报， 10%的人
11、同时喜欢阅读A 报和 B 报， 6%的同时人喜欢阅读报 A 和 C报， 4%的人同时喜欢阅读 C 报和 B 报， 1%的人 A 、 B 、 C三种报纸都喜欢读 . 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（ 1）至少喜欢读一种报纸；（ 2）不喜欢读任何一种 报纸； （ 3）只喜欢读 A 报；（ 4）只喜欢读一种报纸 . 解 设 A 、 B 、 C分别表示 从该市这一年龄段的市民中任选一人 喜欢读 A 报 、 B 报 、C报 由题设知 ( ) 0 . 4 5 , ( ) 0 . 3 4 , ( ) 0 . 2 0P A P B P C ( ) 0 .1 0 , ( ) 0 .0 4
12、, ( ) 0 .0 6( ) 0 .0 1 0P A B P B C P A CP A B C （ 1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸 的概率 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )=0 .45 +0 .34 +0 .2 0.1 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 1 0 .8P A B C P A P B P C P A BP A C P B C P A B C （ 2） 该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种 报纸的概率 ( ) ( ) 1 ( )= 1 0 .8 = 0 .2P A B C P A B C P A B C (3) 该市这
13、一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 A 报 的概率 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =0.45 0.1 0.0 6 0.0 1=0.3P AB C P AB P AB CP A P AB P AC P AB C (4) 同理可以求得： 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 B 报 的概率 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =0.34 0.1 0.0 4 0.0 1=0.2 1P AB C P AB P AB CP B P AB P BC P AB C 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 C报 的概率 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
14、( ) = 0.20 0.06 0.04 0.01= 0.11P A B C P A C P A B CP C P A C P B C P A B C 故 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸 的概率 ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 .3 + 0 .2 1 0 .1 1 = 0 .6 2P A B C A B C A B C P A B C P A B C P A B C 6 设 ( ) 0P AB ， 则下列说法哪些是正确的？ （ 1） A 和 B 不相容；（ 2） A 和 B 相容；（ 3） AB 是 不可能事件；（ 4） AB 不 一 定是不可能事件 （ 5） ( )
15、0PA 或 ( ) 0PB ；（ 6） ( ) ( )P A B P A 。 解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以 （ 4） 正确； 又因为 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P A B P A ， 所以 （ 6） 正确 . 习题 1.3 1将 10 本书任意放到书架上，求其中仅有的 3 本外文书恰排在一起的概率 解 设 A “ 3 本外文书排在一起”。 10 本书总的排法有 10！种； 3 本书排成一列共有 3！种，将这 3 本书排列后作为一个元素与另外 7 本书在一起有 8！种排法，所以，事件 A 含有的样本点数为 3!8! ，故 3 !8 ! 1 0 .0 6
16、6 7 .1 0 ! 1 5PA 2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率 解 设 A “能打开门”。样本空间的样本 点总数是 210 45C ，事件 A 含有的样本点数为 2 1 13 3 7C CC ，则 2 1 13 3 7210 3 2 1 2 4( ) 0 .5 3 3 .4 5 4 5C C CPA C 3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是 5 ，末位是 3 ，中间号不是 0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率 解 设 A “试拨一次即拨对”。由题意，样本空间的样本点总数为 37A 个，而正确的号码只有一个。因此 3711( )
17、0 .0 0 4 8 .7 6 5PA A 4从装有 5 只红球 4 只黄球 3 只白球的袋中任意取出 3 只球，求下列事件的概率： （ 1）取到同色球； （ 2）取到的球的颜色各不相同 解 （ 1）设 A “取到 3 只同色球”。任取 3 只球的样本点总数是 312 220C ，取到 3 只红球的样本点数是 35 10C ，取到 3 只黄球的样本点数是 34 4C ，取到 3 只白球的样本点数是 33 1C ，则 3335 4 3312 1 0 4 1 1 5( ) 0 .0 6 8 2 .2 2 0 2 2 0CCCPA C （ 2） 设 B “取到的球颜色各不相同”。任取 3 只球的样本
18、点总数是 312 220C ，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是 1 1 15 4 3 60C C C ，则 1 1 15 4 3312 60( ) 0 .2 7 2 7 .220C C CPB C 5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出 1 球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率 解 （ 1）设 A “取到 3 只同色球”。 样本空间的样本点总数是 312 1728 ，取到 3 只红球的样本点数是 35 125 ，取到 3 只黄球的样本点数是 34 64 ，取到 3 只白球的样 本点数是 33 27 ，则 3 3 335 4
19、3()121 2 5 6 4 2 7 2 1 6 0.1 25 .1 7 2 8 1 7 2 8PA 设 B “取到的球颜色各不相同”。 任取 3 只球的样本点总数是 312 1728 ，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是 1 1 1 35 4 3 3 360C C C A ，则 1 1 1 35 4 3 33 360( ) 0 . 2 0 8 3 .1 2 1 7 2 8C C C APB 6一部四 卷的文集 ,按任意次序放到书架上 ,问各卷自左向右 ,或自右向左的卷号的顺序恰好为 1,2,3,4 的概率是多少 ? 解 设 A =文集排列为 1,2,3,4 或
20、 4,3,2,1 的次序 ，而一切可能的排列总数为 4!,n 有利于所讨论的事件的排序项序总数为 k=2,即按 1,2,3,4 及 4,3,2,1 两种次序排列。则所求概率为 21() 4 ! 12kPA n =0.0833 7从 5 双不同的的鞋中任取 4 只 ,求这 4 只 鞋中至少有两只配成一双的概率 . 解 （ 1）设 A =“ 4 只鞋中至少有两只配成一双 ，因为有利于事件 A 的取法总数为1 2 25 8 5CC C （即先从 5 双中任取一双，再在其余 8 只中任取 2 只的取法共有 1258CC 种。 25C 是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用 1258CC 中扣掉）
21、，所以有 1 2 25 8 5410 0 .6 1 9 0 5 .C C CPA C 8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率 解 设 A =“前两个邮筒内没有信”。 因为每封信有 4 种投法，所以两封信共有 24 16 种投法，而 A 所包含的样本点数为 2 ，从而 22( ) 0.25.16PA 9一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中 有 4 个人的生日在同一个月份的概率 解 设 A =“ 6 位同学中有 4 个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是 12 个月份中的一个月份， 6 位同学的生日可能有 612 种不同分布方式，而事件 A 的样本点数为4 1 26 12
22、11CC，于是，所求概率为 4 1 26 1 26 11( ) 0 .0 0 7 3 .12CCPA 10某货运码头仅能容一船卸货 ,而甲已两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。 解 设 x,y 分别表示两 船 到达某地的时刻 ,用 A 表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间 ( , ) | 0 2 4 , 0 2 4 ,x y x y 事件 ( , ) | 2 1 A x y x y y x 或 显然这是一个几何概型，故 222112 3 + 2 2()22( ) = = 0 . 8
23、 7 9 3 .( ) 2 4m A APA m 的 面 积的 面 积 习题 1.4 设 ( ) 0.5PA ， ( ) 0.6PB 问 (1) 什么条件下 ()PAB 可以取最大 值，其值是多少？（）什么条件下 ()PAB 可以取最小值，其值是多少？ 解 （）因为 | 0 . 5 |P A B P A P B A P B A. 要使 ()PAB 最大 ，则需 |PBA 最大，当 ( | ) 1P B A 时， ()PAB 可以取最大 值，此时 ( )=0.5P AB ； (2) 因为 + 0 . 5 0 . 6 ( )P A B P A P B P A B P A B 所以 ( ) 1P A
24、 B 时， ()PAB 取最小值，此时 ( )=1.1-1=0.1P AB 2设箱中有 5 个零件，其中 2 个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率 解 设 ( 1,2,3)iAi 表示第 i 次取到合格品，则所求概率为 1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( | )2 1 1 15 4 10P A A A P A P A A P A A A 3由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记为事件 A ）的概率为 415 ,刮风（记为事件 B ）的概率为 715 ，既刮风又下雨的概率为 110 求 ( | ) , ( | ) ( ) .
25、P A B P B A P A B及 解 由题设知 4()15PA ， 4()15PB ， 1()10P Ab ，则 ( ) 1 / 1 0 3( | ) ( ) 7 / 1 5 1 4P A BP A B PB ( ) 1 / 1 0 3( | ) ( ) 4 / 1 5 8P A BP B A PA ( ) ( ) ( ) ( )4 7 1 1 9 1 5 1 5 1 0 3 0P A B P A P B P A B 4某工厂生产的产品中 36 为一等品， 54 为二等品， 10 为三等品从中任意取出 1 件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率 解 设 A “取出的产品为一等品”，
26、B “取出的产品为二等品”， C “取出的产品为三等品”，则 3 6 % , 5 4 % , 1 0 % .P A P B P C 故所求概率为 36% 0 . 4 .1 1 1 0 %P A C PAP A C PCPC 5 一批电子元件中，甲类的占 80 ，乙类的占 12 ，丙类的占 8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为 0.9 、 0.8 和 0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率 解 设 A “任取一个元件为甲类”， B “任取一个元件为乙类”， C “任取一个元件为丙类”， D “达到指定要求”，则有 8 0 % , 1 2 % , 8 %P A P B
27、 P C 0.9 , 0.8 , 0.7P D A P D B P D C 故由全概率公式，有 P D P A P D A P B P D B P C P D C 0 . 8 0 . 9 0 . 1 2 0 . 8 0 . 0 8 0 . 7 0 . 8 7 2 . 6某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱 甲厂 每箱装 100 个，废品率为 0.06 ，乙厂每箱装 120 个，废品率是 0.05 ，求： （ 1）任取一箱，从中任取 1 个为废品的概率； （ 2）若将所有产品开箱混放，则任取 1 个为废品的概率为多少？ 解 （ 1）设 1A “任取一箱为甲厂的产品”， 2A “任取一箱为乙厂的产品”， B “任取一个产品为废品”，则 12,AA构成完备事件组，由 全概率公式，有 1 1 2 2P B P A P B A P A P B A320 .0 6 0 .0 5 0 .0 5 655
