1、学号： 哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 求极限的若干方法学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 求极限的若干方法学生姓名 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学年 月课题来源：由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义：在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。无论是在中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要
2、，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。国内外同类课题研究现状及发展趋势：作研究函数最基本的方法极限思想，
3、早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元 263 年创立了“割圆术” ，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19 世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李
4、广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：一、 介绍求极限的多种方法二、 利用夹逼准则、单调有界准则、函数的连续性等方法求极限，在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透
5、彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。三、 研究实际数学问题中有关极限的求法，寻求解决问题的途径。课题研究起止时间和进度安排：2011.09.012011.10.02 指导教师给学生下达任务2011.10.022011.11.25 完成开题报告的初稿，交指导教师审阅2012.03.152012.04.07 完成毕业论文，交给指导教师审阅2012.04.282012.04.25 毕业论文答辩指导教师审查意见：指导教师 （签字）年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任
6、 （签字）年 月院（系）审查意见：_院（系）主任 （签字）年 月学 士 学 位 论 文题 目 求极限的若干方法学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学年 月目 录摘 要 .1关键词 .1一、函数极限的定义性质及作用 .1二、函数极限的计算及多种求法 .21.定义法 .22.利用极限四则运算法则 .33.利用夹逼性定理求极限 .34.利用两个重要极限求极限 .45.利迫敛性来求极限 .46.用洛必达法则求极限 .57.利用定积分求极限 .68.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 .69.利用变量替换求极限 .710.利用
7、递推公式计算或证明序列求极限 .711.利用等价无穷小量代换来求极限 .812.利用函数的连续性求极限 .913.利用泰勒公式求极限 .1014.利用两个准则求极限 .1015.利用级数收敛的必要条件求极限 .1216.利用单侧极限求极限 .13总结 .13参考文献 .14外文摘要 .151求极限的若干方法 摘 要:在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解，因此弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多
8、细节作了具体注解，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余。关键词：夹逼准则 单调有界准则 洛必达法则 微分中值定理学 习 微 积 分 学 ， 首 要 的 一 步 就 是 要 理 解 到 ， “极 限 ”引 入 的 必 要 性 。 因 为 ， 代数 是 人 们 已 经 熟 悉 的 概 念 ， 但 是 ， 代 数 无 法 处 理 “无 限 ”的 概 念 。 所 以 为 了 要 利用 代 数 处 理 代 表 无 限 的 量 ， 於 是 精 心 构 造 了 “极 限 ”的 概 念 。一、函数极限的定义性质及作用在 “极 限 ”的 定 义 中 ， 我 们 可 以
9、知 道 ， 这 个 概 念 绕 过 了 用 一 个 数 除 以 的 麻0烦 ， 而 引 入 了 一 个 过 程 任 意 小 量 。 就 是 说 ， 除 数 不 是 零 ， 所 以 有 意 义 ， 同 时 ， 这 个过 程 小 量 可 以 取 任 意 小 ， 只 要 满 足 在 的 区 间 内 ， 都 小 于 该 任 意 小 量 ， 我 们 就 说他 的 极 限 为 该 数 你 可 以 认 为 这 是 投 机 取 巧 ， 但 是 ， 他 的 实 用 性 证 明 ， 这 样 的 定义 还 算 比 较 完 善 ， 给 出 了 正 确 推 论 的 可 能 ， 这 个 概 念 是 成 功 的 。限的概念
10、是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数 列 极 限 标 准 定 义 ： 对 数 列 ， 若 存 在 常 数 ， 对 于 任 意 ， 总 存 在nxa0正 整 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ， 那 么 称 是 数 列 的 极 限 。Nnanx函 数 极 限 标 准 定 义 ： 设 函 数 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 ， 若 存 在 常 数 ，,fx A对 于 任 意 ， 总 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ，
11、那 么 称0XnxA是 函 数 在 无 穷 大 处 的 极 限 。Afx设 函 数 在 处 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 若 存 在 常 数 ， 对 于 任 意0， 总 存 在 正 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ， 那 么 称 是 函 数00x0xA2在 处 的 极 限 。fx0函 数 极 限 具 有 的 性 质 ：性质 1（唯一性） 如果 存在，则必定唯一limxaf性质 2（局部有界性） 若 存在，则 在 的某空心邻域内有界0()f0x性质 3（保序性） 设 li,lixaxafbc性质 4（迫敛性）设 ，且在某 内有00()()hA0(;)Ux，则 .()()fx
12、gh0limx数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二、函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设 是一个数列, 是实数,如果对任意nXa给定的 ,总存在一个正整数 ，当 时,都有 ,我们就称 是数Nna列 的极限.记为 .nXlimnXa
